高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.3.2 平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示 2.3.3 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算課件3 新人教A版必修4.ppt

2 3 2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示2 3 3平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 1 平面向量的正交分解的定義把一個(gè)向量分解為兩個(gè) 的向量 2 平面向量的坐標(biāo)表示 1 建系選基底 在平面直角坐標(biāo)系中 分別取與 軸 軸方向相同的兩個(gè) i j作為基底 互相垂直 x y 單位向量 2 定義坐標(biāo) 對于平面內(nèi)的一個(gè)向量a 由平面向量基本定理知 有且只有一對實(shí)數(shù)x y 使得a 則有序數(shù)對 叫做向量a的坐標(biāo) 3 特殊向量的坐標(biāo) i 1 0 j 0 1 0 0 0 xi yj x y 3 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 1 若a x1 y1 b x2 y2 r 則 a b a b a 2 重要結(jié)論 已知向量的起點(diǎn)a x1 y1 終點(diǎn)b x2 y2 則 x1 x2 y1 y2 x1 x2 y1 y2 x1 y1 x2 x1 y2 y1 1 判一判 正確的打 錯(cuò)誤的打 1 兩個(gè)向量的終點(diǎn)不同 則這兩個(gè)向量的坐標(biāo)一定不同 2 向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo) 3 在平面直角坐標(biāo)系中 兩相等向量的終點(diǎn)坐標(biāo)一樣 解析 1 錯(cuò)誤 由于向量可以平移 無論向量在何位置 它的坐標(biāo)不變 終點(diǎn)不同的兩個(gè)向量的坐標(biāo)可以相同 2 錯(cuò)誤 向量的坐標(biāo)是把向量的起點(diǎn)平移到原點(diǎn)時(shí)終點(diǎn)的坐標(biāo) 3 錯(cuò)誤 兩相等向量的坐標(biāo)相等 與它們的終點(diǎn)無關(guān) 答案 1 2 3 2 做一做 請把正確的答案寫在橫線上 1 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi) 已知i j是兩個(gè)互相垂直的單位向量 若a 2i 3j 則向量用坐標(biāo)表示a 2 若向量a 3 5 b 3 2 則a b 3 若點(diǎn)a 3 1 點(diǎn)b 4 6 用坐標(biāo)表示向量 解析 1 由于i j是兩個(gè)互相垂直的單位向量 則a 2 3 答案 2 3 2 a b 3 5 3 2 0 7 答案 0 7 3 4 6 3 1 1 5 答案 1 5 要點(diǎn)探究 知識點(diǎn)1平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示1 對向量正交分解的認(rèn)識 1 向量的正交分解是平面向量基本定理的一種特例 2 正交分解的兩個(gè)基向量互相垂直 構(gòu)成正交基底 2 解讀平面向量的坐標(biāo)表示 1 向量的坐標(biāo)只與始點(diǎn)和終點(diǎn)的相對位置有關(guān) 而與它們的具體位置無關(guān) 2 向量確定后 向量的坐標(biāo)就被確定了 3 引入向量的坐標(biāo)表示以后 向量就有兩種表示方法 一種是幾何法 即用向量的長度和方向表示 另一種是坐標(biāo)法 即用一對有序?qū)崝?shù)表示 有了向量的坐標(biāo)表示 就可以將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決 3 點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)的區(qū)別和聯(lián)系 1 區(qū)別 意義點(diǎn)的坐標(biāo)反映點(diǎn)的位置 它由點(diǎn)的位置決定 向量的坐標(biāo)反映的是向量的大小和方向 與位置無關(guān) 表示形式如點(diǎn)a x y 向量a x y 當(dāng)平面向量平行移動(dòng)到時(shí) 向量不變 即 x y 但的起點(diǎn)o1和終點(diǎn)a1的坐標(biāo)都發(fā)生了變化 2 聯(lián)系 向量a的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的起點(diǎn) 終點(diǎn)的具體位置沒有關(guān)系 只與其相對位置有關(guān)系 把坐標(biāo)原點(diǎn)作為表示向量a的有向線段的起點(diǎn) 這時(shí)向量a的坐標(biāo)就由表示向量a的有向線段的終點(diǎn)唯一確定 即終點(diǎn)的坐標(biāo)就是向量a的坐標(biāo) 4 相等向量坐標(biāo)之間的關(guān)系由向量的坐標(biāo)定義知 兩向量相等等價(jià)于它們的坐標(biāo)相等 若a x1 y1 b x2 y2 則a b x1 x2且y1 y2 微思考 1 相等向量的坐標(biāo)相同嗎 相等向量的起點(diǎn) 終點(diǎn)的坐標(biāo)一定相同嗎 提示 由向量坐標(biāo)的定義知 相等向量的坐標(biāo)一定相同 但是相等向量的起點(diǎn) 終點(diǎn)的坐標(biāo)可以不同 2 以原點(diǎn)o為起點(diǎn)作向量 a 點(diǎn)a的位置由誰確定 提示 由a唯一確定 即時(shí)練 1 已知向量a 2 3 b 2 3 則下列結(jié)論正確的是 a 向量a的終點(diǎn)坐標(biāo)為 2 3 b 向量a的起點(diǎn)坐標(biāo)為 2 3 c 向量a與b互為相反向量d 向量a與b關(guān)于原點(diǎn)對稱 2 下列說法不正確的是 a 若將 x0 y0 平移 使起點(diǎn)m與坐標(biāo)原點(diǎn)o重合 則點(diǎn)n的坐標(biāo)為 x0 y0 b x0 y0 的相反向量的坐標(biāo)為 x0 y0 c 若直線mn與y軸垂直且 x0 y0 則必有y0 0d 若 x0 y0 是一個(gè)單位向量 則x0小于1 解析 1 選c 因?yàn)閍 2 3 b 2 3 所以a b 2 3 2 3 0 0 0 即a b 2 選d a正確 將 x0 y0 平移 其坐標(biāo)不變 又因?yàn)槠瘘c(diǎn)在原點(diǎn)的向量的坐標(biāo)就是其終點(diǎn)坐標(biāo) 所以使起點(diǎn)m與坐標(biāo)原點(diǎn)o重合 則點(diǎn)n的坐標(biāo)為 x0 y0 b正確 的相反向量為 其坐標(biāo)為 x0 y0 c正確 因?yàn)橹本€mn與y軸垂直 將 x0 y0 平移 使起點(diǎn)m與坐標(biāo)原點(diǎn)o重合 則點(diǎn)n落在x軸上 其坐標(biāo)為 x0 0 所以y0 0 d錯(cuò)誤 若 x0 y0 是一個(gè)單位向量 則 1 x0 1 知識點(diǎn)2平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算1 兩個(gè)向量和 差 的坐標(biāo)由于向量a x1 y1 b x2 y2 等價(jià)于a x1i y1j b x2i y2j 則a b x1i y1j x2i y2j x1 x2 i y1 y2 j 即a b x1 x2 y1 y2 同理可得a b x1 x2 y1 y2 這就是說 兩個(gè)向量和 差 的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和 差 2 實(shí)數(shù)與向量積的坐標(biāo)由a x y 可得a xi yj 則 a xi yj xi yj 從而 a x y 這就是說實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo) 知識拓展 向量的三種運(yùn)算體系 1 圖形表示下的幾何運(yùn)算 此運(yùn)算體系下要注意三角形法則 平行四邊形法則的應(yīng)用 2 字母表示下的幾何運(yùn)算 此運(yùn)算體系下一方面要注意運(yùn)算律的應(yīng)用 另一方面要注意等運(yùn)算法則的應(yīng)用 3 坐標(biāo)表示下的代數(shù)運(yùn)算 此運(yùn)算體系下要牢記公式 且細(xì)心運(yùn)算 若已知有向線段兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo) 則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo) 再進(jìn)行坐標(biāo)運(yùn)算 微思考 1 求向量的坐標(biāo)需要知道哪些量 提示 求向量的坐標(biāo) 需要知道點(diǎn)a和點(diǎn)b的坐標(biāo) 2 向量可以平移 平移前后它的坐標(biāo)會發(fā)生變化嗎 提示 向量確定以后 它的坐標(biāo)就被唯一確定 所以向量在平移前后 其坐標(biāo)不變 即時(shí)練 1 已知點(diǎn)a 1 2 點(diǎn)b 4 0 則向量 2 已知a 2 1 b 1 4 則2a 3b 解析 1 由于點(diǎn)a 1 2 點(diǎn)b 4 0 所以向量 4 0 1 2 3 2 答案 3 2 2 2a 3b 2 2 1 3 1 4 4 2 3 12 7 10 答案 7 10 題型示范 類型一平面向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算 典例1 1 已知 2 4 2 6 則 a 0 5 b 0 1 c 2 5 d 2 1 2 2014 懷化高一檢測 已知o是坐標(biāo)原點(diǎn) 點(diǎn)a在第一象限 xoa 60 求向量的坐標(biāo) 解題探究 1 題 1 中向量與向量 兩向量有什么關(guān)系 2 題 2 中的坐標(biāo)與a點(diǎn)的坐標(biāo)有什么關(guān)系 探究提示 1 2 因?yàn)橄蛄康钠瘘c(diǎn)在原點(diǎn) 所以其坐標(biāo)與點(diǎn)a的坐標(biāo)相同 自主解答 1 選d 因?yàn)?2 2 6 4 4 2 所以 2 1 2 設(shè)點(diǎn)a x y 則x y 即所以 方法技巧 平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧 1 若已知向量的坐標(biāo) 則直接應(yīng)用兩個(gè)向量和 差及向量數(shù)乘的運(yùn)算法則進(jìn)行 2 若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo) 則可先求出向量的坐標(biāo) 然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算 3 向量的線性坐標(biāo)運(yùn)算可完全類比數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行 變式訓(xùn)練 2014 北京高考 已知向量a 2 4 b 1 1 則2a b a 5 7 b 5 9 c 3 7 d 3 9 解析 選a 2a b 2 2 4 1 1 5 7 補(bǔ)償訓(xùn)練 1 2014 萍鄉(xiāng)高一檢測 已知a x 2 b 5 y 2 若 4 6 則x y的值為 a x 9 y 2b x 1 y 10c x 1 y 10d x 1 y 10 解析 選b 5 x y 2 2 4 6 所以x 1 y 10 誤區(qū)警示 由于沒有把握好向量的坐標(biāo)與點(diǎn)a和點(diǎn)b的坐標(biāo)的關(guān)系 本題易發(fā)生 x 5 2 y 2 4 6 解得x 9 y 2的錯(cuò)誤 2 已知四邊形abcd為平行四邊形 o為對角線ac bd的交點(diǎn) 3 7 2 1 求的坐標(biāo) 解析 因?yàn)?2 1 3 7 5 6 所以 類型二坐標(biāo)形式下相等向量的運(yùn)算 典例2 1 2014 煙臺高一檢測 若向量a x 3 x2 3x 4 與相等 已知a 1 2 b 3 2 則x的值為 a 1b 1或4c 4d 1或 4 2 已知m 2 1 n 0 5 且點(diǎn)p在mn的延長線上 mp 2 pn 則p點(diǎn)坐標(biāo)為 3 2014 合肥高一檢測 已知平面上三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為a 2 1 b 1 3 c 3 4 求點(diǎn)d的坐標(biāo) 使這四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn) 解題探究 1 題 1 中由a與相等 這兩向量的坐標(biāo)有什么關(guān)系 2 題 2 中由點(diǎn)p在mn的延長線上 mp 2 pn 會得到怎樣的相等向量 3 題 3 中的四點(diǎn)有可能會構(gòu)成哪幾種平行四邊形 需要分情況討論嗎 探究提示 1 相等向量的坐標(biāo)對應(yīng)相等 2 因?yàn)辄c(diǎn)p在mn的延長線上 mp 2 pn 所以3 需分不同的情況討論 有可能構(gòu)成的平行四邊形為abcd 平行四邊形acdb 平行四邊形acbd 自主解答 1 選a 因?yàn)?3 2 1 2 2 0 a 所以解得x 1 2 選a 因?yàn)辄c(diǎn)p在mn的延長線上 mp 2 pn 所以又 0 5 2 1 2 6 所以 4 12 故點(diǎn)p的坐標(biāo)為 2 11 3 當(dāng)平行四邊形為abcd時(shí) 設(shè)d x y 由 1 2 3 x 4 y 且得d 2 2 當(dāng)平行四邊形為acdb時(shí) 設(shè)d x y 由 1 2 x 3 y 4 且得d 4 6 當(dāng)平行四邊形為acbd時(shí) 設(shè)d x y 由 5 3 1 x 3 y 及得x 6 y 0 故d 6 0 故d點(diǎn)坐標(biāo)為 2 2 或 4 6 或 6 0 延伸探究 若題 1 中將a b兩點(diǎn)的坐標(biāo)改為 a x 2 b 11 2 又如何求解呢 解析 選c 因?yàn)?11 2 x 2 11 x 0 a 所以解得x 4 方法技巧 坐標(biāo)形式下向量相等的條件及其應(yīng)用 1 條件 相等向量的對應(yīng)坐標(biāo)相等 2 應(yīng)用 利用坐標(biāo)形式下向量相等的條件 可以建立相等關(guān)系 由此可求某些參數(shù)的值 變式訓(xùn)練 已知點(diǎn)a 1 5 若向量與向量a 2 3 同向 且 3a 求點(diǎn)b的坐標(biāo) 解析 設(shè)b x y 則 x 1 y 5 又 3a 6 9 所以解得故b 5 14 易錯(cuò)誤區(qū) 混淆向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)而致錯(cuò) 典例 2014 宿州高一檢測 已知a 2 3 b 5 4 c 7 10 點(diǎn)p在第三象限 則 的取值范圍為 解析 設(shè)p x y 則 x y 2 3 x 2 y 3 又因?yàn)?5 4 2 3 7 10 2 3 3 1 5 7 3 5 1 7 所以 x 2 y 3 3 5 1 7 即解得因?yàn)辄c(diǎn)p在第三象限 所以解得 1 答案 1 常見誤區(qū) 防范措施 1 明確向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)的區(qū)別當(dāng)且僅當(dāng)向量的起點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí) 向量坐標(biāo)與其終點(diǎn)的坐標(biāo)相同