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23.雙曲線的參數(shù)方程拋物線的參數(shù)方程1雙曲線的參數(shù)方程(1)中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線1的參數(shù)方程是(為參數(shù))規(guī)定參數(shù)的取值范圍為(1)雙曲線(為參數(shù))的焦點(diǎn)坐標(biāo)是_(2)將方程(t為參數(shù))化為普通方程是_(1)可先將方程化為普通方程求解;(2)利用代入法消去t.(1)將化為1,可知雙曲線焦點(diǎn)在y軸,且c4,故焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,4)(2)由ytan2t,將tan tx代入上式,得yx2,即為所求方程(1)(0,4)(2)yx2(1)解決此類問(wèn)題要熟練掌握雙曲線與拋物線的參數(shù)方程,特別是將參數(shù)方程化為普通方程,還要明確參數(shù)的意義(2)對(duì)雙曲線的參數(shù)方程,如果x對(duì)應(yīng)的參數(shù)形式是sec ,則焦點(diǎn)在x軸上;如果y對(duì)應(yīng)的參數(shù)形式是sec ,則焦點(diǎn)在y軸上1如果雙曲線(為參數(shù))上一點(diǎn)P到它的右焦點(diǎn)的距離是8,那么P到它的左焦點(diǎn)距離是_解析:由雙曲線參數(shù)方程可知a1,故P到它左焦點(diǎn)的距離|PF|10或|PF|6.答案:10或62過(guò)拋物線(t為參數(shù))的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),如果x1x26,則|AB|_.解析:化為普通方程是x,即y24x,p2.|AB|x1x2p8.答案:8雙曲線、拋物線參數(shù)方程的應(yīng)用連接原點(diǎn)O和拋物線2yx2上的動(dòng)點(diǎn)M,延長(zhǎng)OM到P點(diǎn),使|OM|MP|,求P點(diǎn)的軌跡方程,并說(shuō)明它是何曲線由條件可知,M點(diǎn)是線段OP的中點(diǎn),利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式,求出點(diǎn)P的軌跡方程,再判斷曲線類型設(shè)M(x,y)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn),P(x0,y0)在OM的延長(zhǎng)線上,且M為線段OP的中點(diǎn),拋物線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))用中點(diǎn)公式得變形為y0x,即P點(diǎn)的軌跡方程為x24y.此曲線為拋物線在求曲線的軌跡和研究曲線及方程的相關(guān)問(wèn)題時(shí),常根據(jù)需要引入一個(gè)中間變量即參數(shù)(將x,y表示成關(guān)于參數(shù)的函數(shù)),這種方法是參數(shù)法,而涉及曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí),可根據(jù)曲線的參數(shù)方程表示點(diǎn)的坐標(biāo)3設(shè)P為等軸雙曲線x2y21上的一點(diǎn),F(xiàn)1和F2為兩個(gè)焦點(diǎn),證明:|F1P|F2P|OP|2.證明:如圖,設(shè)雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)為P(x,y),焦點(diǎn)F1(,0),F(xiàn)2(,0),雙曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))則:(|F1P|F2P|)2(sec2 2sec 2tan2)(sec2 2sec 2tan2)(sec 1)2(sec 1)2(2sec2 1)2.又|OP|2sec2 tan22sec2 1,由此得|F1P|F2P|OP|2.4如圖所示,O是直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),A,B是拋物線y22px(p0)上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn),且OAOB,OMAB于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的軌跡方程解:根據(jù)條件,設(shè)點(diǎn)M,A,B的坐標(biāo)分別為(x,y),(2pt,2pt1),(2pt,2pt2)(t1t2,且t1t20),則(x,y),(2pt,2pt1),(2pt,2pt2),(2p(tt),2p(t2t1)因?yàn)?,所?,即(2pt1t2)2(2p)2t1t20,所以t1t21.因?yàn)?,所?,即2px(tt)2py(t2t1)0,所以x(t1t2)y0,即t1t2(x0)因?yàn)?x2pt,y2pt1),(2ptx,2pt2y),且A,M,B三點(diǎn)共線,所以(x2pt)(2pt2y)(y2pt1)(2ptx),化簡(jiǎn),得y(t1t2)2pt1t2x0.將代入,得到y(tǒng)2px0,即x2y22px0(x0),這就是點(diǎn)M的軌跡方程課時(shí)跟蹤檢測(cè)(十一)一、選擇題1曲線(t為參數(shù))的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A(1,0) B(0,1) C(1,0) D(0,1)解析:選B將參數(shù)方程化為普通方程(y1)24(x1),該曲線為拋物線y24x向左、向上各平移一個(gè)單位得到,所以焦點(diǎn)為(0,1)2圓錐曲線(是參數(shù))的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A(5,0) B(5,0) C(5,0) D(0,5)解析:選C由(為參數(shù))得 1,它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(5,0)3方程(t為參數(shù))的圖形是()A雙曲線左支 B雙曲線右支C雙曲線上支 D雙曲線下支解析:選Bx2y2e2t2e2t(e2t2e2t)4.且xetet22.表示雙曲線的右支4點(diǎn)0(0,2)到雙曲線x2y21的最小距離(即雙曲線上任一點(diǎn)與點(diǎn)0的距離的最小值)是()A1 B2 C. D3解析:選C雙曲線方程為x2y21,ab1.雙曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù))設(shè)雙曲線上一動(dòng)點(diǎn)為(sec ,tan ),則2sec2(tan 2)2(tan21)(tan24tan 4)2tan24tan 52(tan 1)23.當(dāng)tan 1時(shí),2取最小值3,此時(shí)有.二、填空題5已知?jiǎng)訄A方程x2y2xsin 22ysin0(為參數(shù))則圓心的軌跡方程是_解析:圓心軌跡的參數(shù)方程為即消去參數(shù),得y212x.答案:y212x6雙曲線(為參數(shù))的兩條漸近線的傾斜角為_(kāi)解析:將參數(shù)方程化為y21,此時(shí)a1,b,設(shè)漸近線傾斜角為,則tan .30或150.答案:30或1507(廣東高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1和C2的參數(shù)方程分別為(t為參數(shù))和(為參數(shù)),則曲線C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)解析:由(t為參數(shù))得y,又由(為參數(shù))得x2y22.由得即曲線C1與C2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)答案:(1,1)三、解答題8已知圓O1:x2(y2)21上一點(diǎn)P與雙曲線x2y21上一點(diǎn)Q,求P,Q兩點(diǎn)距離的最小值解:由題意可知O1(0,2),Q為雙曲線x2y21上一點(diǎn),設(shè)Q(sec ,tan ),在O1QP中,|O1P|1,|O1P|PQ|O1Q|.又|O1Q|2sec2(tan 2)2 (tan21)(tan24tan 4) 2tan24tan 5 2(tan 1)23.當(dāng)tan 1,即時(shí),|O1Q|2取最小值3,此時(shí)有|O1Q|min.|PQ|min1.9已知雙曲線方程為x2y21,為雙曲線上任意一點(diǎn),點(diǎn)到兩條漸近線的距離分別為d1和d2,求證:d1與d2的乘積是常數(shù)證明:設(shè)d1為點(diǎn)到漸近線yx的距離,d2為點(diǎn)到漸近線yx的距離,因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線x2y21上,則可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(sec ,tan )d1,d2,d1d2,故d1與d2的乘積是常數(shù)10過(guò)點(diǎn)A(1,0)的直線l與拋物線y28x交于M,N兩點(diǎn),求線段MN的中點(diǎn)的軌跡方程解:法一:設(shè)拋物線的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),可設(shè)M(8t,8t1),N(8t,8t2),則kMN.又設(shè)MN的中點(diǎn)為P(x,y),則kAP,由kMNkAP知t1t2,又則y216(tt2t1t2)164(x1)所求軌跡方程為y24
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