高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 不等式、推理與證明 6.2 二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題課件 理.ppt

第二節(jié)二元一次不等式 組 與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題 知識(shí)梳理 1 二元一次不等式 組 表示的平面區(qū)域 邊界直線 公共部分 2 線性規(guī)劃中的有關(guān)概念 不等式 組 不等式 組 解析式 一次 可行解 最大值或最小值 最大值 最小值 3 確定二元一次不等式 組 表示的平面區(qū)域的方法確定二元一次不等式 組 表示的平面區(qū)域時(shí) 經(jīng)常采用 直線定界 特殊點(diǎn)定域 的方法 1 直線定界 不等式含等號(hào) 直線在區(qū)域內(nèi) 不含等號(hào) 直線不在區(qū)域內(nèi) 2 特殊點(diǎn)定域 在直線上方 下方 取一點(diǎn) 代入不等式成立 則區(qū)域就為上方 下方 否則就是下方 上方 特別地 當(dāng)c 0時(shí) 常把原點(diǎn)作為測(cè)試點(diǎn) 當(dāng)c 0時(shí) 常選點(diǎn) 1 0 或者 0 1 作為測(cè)試點(diǎn) 特別提醒 1 判斷二元一次不等式表示的平面區(qū)域的常用結(jié)論把a(bǔ)x by c 0或ax by ckx b或ykx b則區(qū)域?yàn)橹本€ax by c 0上方 2 若y kx b則區(qū)域?yàn)橹本€ax by c 0下方 2 最優(yōu)解與可行解的關(guān)系最優(yōu)解必定是可行解 但可行解不一定是最優(yōu)解 最優(yōu)解不一定唯一 小題快練 鏈接教材練一練1 必修5p86練習(xí)t3改編 不等式組表示的平面區(qū)域是 解析 選c x 3y 6 0表示直線x 3y 6 0左上方部分 x y 2 0表示直線x y 2 0及其右下方部分 故不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)檫x項(xiàng)c所示部分 2 必修5p93習(xí)題3 3a組t2改編 已知x y滿足則z 3x y的最小值為 解析 由題意畫出平面區(qū)域如圖 當(dāng)直線z 3x y經(jīng)過點(diǎn)a時(shí) z取得最小值 由可得即點(diǎn)a 1 3 所以zmin 3x y 3 1 3 0 答案 0 感悟考題試一試3 2015 安徽高考 已知x y滿足約束條件則z 2x y的最大值是 a 1b 2c 5d 1 解題提示 正確畫出平面區(qū)域的可行域 是一個(gè)三角形 再數(shù)形結(jié)合計(jì)算求值 解析 選a 根據(jù)題意畫出約束條件確定的可行域 如圖所示 因?yàn)閦 2x y 則y 2x z 可知過圖中點(diǎn)a 1 1 時(shí) z 2x y取得最大值 1 故選a 4 2015 廣東高考 若變量x y滿足約束條件則z 3x 2y的最小值為 解析 選c 不等式組所表示的可行域如圖所示 由z 3x 2y得y 依題當(dāng)目標(biāo)函數(shù)直線l y 經(jīng)過a時(shí) z取得最小值 即zmin 3 1 2 5 2015 全國(guó)卷 若x y滿足約束條件則z 3x y的最大值為 解析 畫出可行域如圖所示 目標(biāo)函數(shù)y 3x z 當(dāng)z取到最大值時(shí) y 3x z的縱截距最大 即將直線移到點(diǎn)c時(shí) 解得c 1 1 zmax 3 1 1 4 答案 4 考向一平面區(qū)域的面積問題 典例1 1 2016 北京模擬 在平面直角坐標(biāo)系xoy中 不等式組表示圖形的面積等于 a 1b 2c 3d 4 2 2016 鄭州模擬 已知不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)閐 若直線y kx 1將區(qū)域d分成面積相等的兩部分 則實(shí)數(shù)k的值是 解題導(dǎo)引 1 畫出不等式組所表示的平面區(qū)域 根據(jù)圖形便可計(jì)算面積 2 畫出不等式組表示的平面區(qū)域 直線y kx 1過定點(diǎn) 0 1 利用面積相等確定直線經(jīng)過的區(qū)域邊界上的點(diǎn) 然后代入求k值 規(guī)范解答 1 選b 不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖 對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)檎叫蝍bcd 其中a 0 1 d 1 0 邊長(zhǎng)ad 則正方形的面積s 2 故選b 2 區(qū)域d如圖中的陰影部分所示 直線y kx 1經(jīng)過定點(diǎn)c 0 1 如果其把區(qū)域d劃分為面積相等的兩個(gè)部分 則直線y kx 1只要經(jīng)過ab的中點(diǎn)即可 由方程組解得a 1 0 由方程組解得b 2 3 所以ab的中點(diǎn)坐標(biāo)為代入直線方程y kx 1得 解得答案 規(guī)律方法 求平面區(qū)域面積的方法 1 利用一般方法求解 畫出不等式組表示的平面區(qū)域 若不能直接畫出 應(yīng)利用題目的已知條件轉(zhuǎn)化為不等式組問題 再作出平面區(qū)域 對(duì)平面區(qū)域進(jìn)行分析 若為三角形應(yīng)確定底與高 若為規(guī)則的四邊形 如平行四邊形或梯形 可利用面積公式直接求解 若為不規(guī)則四邊形 可分割成幾個(gè)三角形分別求解再求和即可 2 利用幾何意義求解 利用幾何意義求解的平面區(qū)域問題 也應(yīng)作出平面圖形 利用數(shù)形結(jié)合的方法去求解 變式訓(xùn)練 2014 安徽高考 不等式組表示的平面區(qū)域的面積為 解析 如圖所示 可得點(diǎn)a 0 2 b 2 0 c 8 2 根據(jù)圖形計(jì)算可得s abc 2 2 2 2 4 答案 4 加固訓(xùn)練 1 不等式組所表示的平面區(qū)域的面積等于 解析 選c 平面區(qū)域如圖所示 解得a 1 1 易得b 0 4 c bc 所以s abc 2 2016 汕頭模擬 已知約束條件表示面積為1的直角三角形區(qū)域 則實(shí)數(shù)k的值為 a 1b 1c 0d 2 解析 選a 先作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域 如圖 要使陰影部分為直角三角形 當(dāng)k 0時(shí) 此三角形的面積為 3 3 1 所以不成立 所以k 0 則必有bc ab 因?yàn)閤 y 4 0的斜率為 1 所以直線kx y 0的斜率為1 即k 1 故選a 3 設(shè)動(dòng)點(diǎn)p x y 在區(qū)域 上 過點(diǎn)p任作直線l 設(shè)直線l與區(qū)域 的公共部分為線段ab 則以ab為直徑的圓的面積的最大值為 a b 2 c 3 d 4 解析 選d 作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示 則根據(jù)圖形可知 以ab為直徑的圓的面積的最大值s 4 4 求不等式組所表示的平面區(qū)域的面積 解析 如圖 平面區(qū)域?yàn)橹苯翘菪?易得a 0 2 b 2 2 c 2 7 d 0 5 所以ad 3 ab 2 bc 5 故所求區(qū)域的面積為s 3 5 2 8 考向二線性規(guī)劃相關(guān)問題 考情快遞 考題例析 命題方向1 求目標(biāo)函數(shù)的最值 典例2 1 2015 全國(guó)卷 若x y滿足約束條件則z 2x y的最大值為 本題源自人a必修5p91練習(xí)t1 2 2015 全國(guó)卷 若x y滿足約束條件則的最大值為 解題導(dǎo)引 1 此題為截距型 根據(jù)約束條件畫出可行域 在三角區(qū)域的頂點(diǎn)處取得最值 2 此題為斜率型 作出可行域 由斜率的意義知 是可行域內(nèi)一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率 數(shù)形結(jié)合可求最值 規(guī)范解答 1 畫出可行域如圖所示 目標(biāo)函數(shù)y 2x z 當(dāng)z取到最大值時(shí) y 2x z的縱截距最大 故將直線移到點(diǎn)b 3 2 時(shí) zmax 2 3 2 8 答案 8 2 作出可行域如圖中陰影部分所示 由斜率的意義知 是可行域內(nèi)一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率 由圖可知 點(diǎn)a 1 3 與原點(diǎn)連線的斜率最大 故的最大值為3 答案 3 母題變式 1 本例題 1 條件不變 求z 2x y的最小值 解析 由例題解析知 當(dāng)將直線移到點(diǎn)a時(shí) 取得最小值 a點(diǎn)是直線2x y 1 0和x 2y 1 0的交點(diǎn) 所以a點(diǎn)坐標(biāo)為 1 1 所以z的最小值為zmin 2 1 1 3 2 本例題 1 條件變?yōu)榍髗 2x y的最大值 解析 作圖易知可行域?yàn)橐粋€(gè)三角形 當(dāng)直線z 2x y過點(diǎn)a 2 1 時(shí) z取最大值 最大值是3 命題方向2 求參數(shù)的值或范圍 典例3 1 2015 福建高考 變量x y滿足約束條件若z 2x y的最大值為2 則實(shí)數(shù)m等于 a 2b 1c 1d 2 2 2014 安徽高考 x y滿足約束條件若z y ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一 則實(shí)數(shù)a的值為 a 或 1b 2或c 2或1d 2或 1 解題導(dǎo)引 1 將目標(biāo)函數(shù)變形為y 2x z 結(jié)合題意 對(duì)m分類討論 畫出可行域 結(jié)合圖象 可找出最優(yōu)解 進(jìn)而求出m的值 2 作出可行域 分析題干可知線性目標(biāo)函數(shù)對(duì)應(yīng)直線與可行域某一邊界重合 進(jìn)而可求解 規(guī)范解答 1 選c 如圖所示 當(dāng)m 0時(shí) 比如在 的位置 此時(shí)為開放區(qū)域無(wú)最大值 當(dāng)m 2時(shí) 比如在 的位置 此時(shí)在原點(diǎn)取得最大值不滿足題意 當(dāng)0 m 2時(shí) 在點(diǎn)a取得最大值 所以代入得m 1 2 選d 由線性約束條件可得其圖象如圖所示 由圖象可知直線z y ax經(jīng)過ab或ac時(shí)取得最大值的最優(yōu)解不唯一 此時(shí)a 2或 1 技法感悟 線性規(guī)劃兩類問題的解決方法 1 求目標(biāo)函數(shù)的最值 畫出可行域后 要根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解 常見的目標(biāo)函數(shù)有 截距型 形如z ax by 距離型 形如 斜率型 形如 2 求參數(shù)的值或范圍 參數(shù)的位置可能在目標(biāo)函數(shù)中 也可能在約束條件中 求解步驟為 注意對(duì)參數(shù)取值的討論 將各種情況下的可行域畫出來 在符合題意的可行域里 尋求最優(yōu)解 題組通關(guān) 1 2015 福建高考 若變量x y滿足約束條件則z 2x y的最小值等于 解析 選a 畫出可行域如圖所示 當(dāng)目標(biāo)函數(shù)平移至b點(diǎn)時(shí)截距最大 所以把點(diǎn)b坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)可得zmin 2 1 2 2014 全國(guó)卷 設(shè)x y滿足約束條件且z x ay的最小值為7 則a a 5b 3c 5或3d 5或 3 解析 選b 方法一 畫出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域 如圖所示 聯(lián)立解得所以當(dāng)a 0時(shí)a為z x ay的最小值為 不滿足題意 當(dāng)a 0時(shí) 由z x ay得y 要使z最小 則直線y 在y軸上的截距最大 此時(shí)最優(yōu)解不存在 當(dāng)a 0時(shí) 當(dāng)直線過點(diǎn)a時(shí)截距最小 z最小 此時(shí)z 7 解得a 5 舍去 或a 3 方法二 先畫出可行域 然后根據(jù)圖形結(jié)合選項(xiàng)求解 當(dāng)a 5時(shí) 作出不等式組表示的可行域 如圖1 陰影部分 由得交點(diǎn)a 3 2 則目標(biāo)函數(shù)z x 5y過a點(diǎn)時(shí)取得最大值 zmax 3 5 2 7 不滿足題意 排除a c選項(xiàng) 當(dāng)a 3時(shí) 作出不等式組表示的可行域 如圖2 陰影部分 由得交點(diǎn)b 1 2 則目標(biāo)函數(shù)z x 3y過b點(diǎn)時(shí)取得最小值 zmin 1 3 2 7 滿足題意 3 2014 浙江高考 當(dāng)實(shí)數(shù)x y 滿足時(shí) 1 ax y 4恒成立 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 解析 作出不等式組所表示的區(qū)域 由1 ax y 4 由圖可知 a 0且在 1 0 點(diǎn)取得最小值 在 2 1 點(diǎn)取得最大值 所以a 1 2a 1 4 故a的取值范圍為答案 考向三線性規(guī)劃實(shí)際應(yīng)用 典例4 1 2015 陜西高考 某企業(yè)生產(chǎn)甲 乙兩種產(chǎn)品均需用a b兩種原料 已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品需原料及每天原料的可用限額如表所示 如果生產(chǎn)1噸甲 乙產(chǎn)品可獲利潤(rùn)分別為3萬(wàn)元 4萬(wàn)元 則該企業(yè)每天可獲得最大利潤(rùn)為 a 12萬(wàn)元b 16萬(wàn)元c 17萬(wàn)元d 18萬(wàn)元 2 2016 蕪湖模擬 某玩具生產(chǎn)公司每天計(jì)劃生產(chǎn)衛(wèi)兵 騎兵 傘兵這三種玩具共100個(gè) 生產(chǎn)一個(gè)衛(wèi)兵需5分鐘 生產(chǎn)一個(gè)騎兵需7分鐘 生產(chǎn)一個(gè)傘兵需4分鐘 已知總生產(chǎn)時(shí)間不超過10小時(shí) 若生產(chǎn)一個(gè)衛(wèi)兵可獲利潤(rùn)5元 生產(chǎn)一個(gè)騎兵可獲利潤(rùn)6元 生產(chǎn)一個(gè)傘兵可獲利潤(rùn)3元 用每天生產(chǎn)的衛(wèi)兵個(gè)數(shù)x與騎兵個(gè)數(shù)y 表示每天的利潤(rùn)w 元 怎樣分配生產(chǎn)任務(wù)才能使每天的利潤(rùn)最大 最大利潤(rùn)是多少 解題導(dǎo)引 1 把企業(yè)的生產(chǎn)實(shí)際抽象為不等式組 表示出目標(biāo)函數(shù) 畫出可行域 根據(jù)可行域可找出最優(yōu)解 2 把公司生產(chǎn)的約束條件 翻譯 成不等式組 畫出可行域 可求目標(biāo)函數(shù)最值 規(guī)范解答 1 選d 設(shè)每天生產(chǎn)甲 乙兩種產(chǎn)品分別為x噸 y噸 利潤(rùn)為z萬(wàn)元 則目標(biāo)函數(shù)為z 3x 4y 作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域 陰影部分 即可行域 由z 3x 4y得平移直線由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)a時(shí) 直線在y軸上的截距最大 此時(shí)z最大 解方程組即a的坐標(biāo)為 2 3 所以zmax 3x 4y 6 12 18 即每天生產(chǎn)甲 乙兩種產(chǎn)品分別為2噸 3噸 能夠產(chǎn)生最大的利潤(rùn) 最大的利潤(rùn)是18萬(wàn)元 2 依題意 每天生產(chǎn)的傘兵個(gè)數(shù)為100 x y 所以利潤(rùn)w 5x 6y 3 100 x y 2x 3y 300 約束條件為整理 得 目標(biāo)函數(shù)為w 2x 3y 300 如圖所示 作出可行域 初始直線l0 2x 3y 0 平移初始直線經(jīng)過點(diǎn)a時(shí) w有最大值 最優(yōu)解為a 50 50 所以wmax 2 50 3 50 300 550 元 答 每天生產(chǎn)衛(wèi)兵50個(gè) 騎兵50個(gè) 傘兵0個(gè)時(shí)利潤(rùn)最大 為550元 易錯(cuò)警示 解答本例題 2 容易出現(xiàn)以下錯(cuò)誤 1 弄不清約束條件 列不等式組時(shí)寫錯(cuò)不等號(hào)的方向 2 忽略總生產(chǎn)時(shí)間不超過10小時(shí)的條件 或用不等式表示不準(zhǔn)確 規(guī)律方法 利用線性規(guī)劃解決實(shí)際問題的一般步驟 1 審題 仔細(xì)閱讀材料 抓住關(guān)鍵 準(zhǔn)確理解題意 明確有哪些限制條件 借助表格或圖形理清變量之間的關(guān)系 2 設(shè)元 設(shè)問題中起關(guān)鍵作用的 或關(guān)聯(lián)較多的 量為未知量x y 并列出相應(yīng)的不等式組和目標(biāo)函數(shù) 3 作圖 準(zhǔn)確作出可行域 平移找點(diǎn) 最優(yōu)解 4 求解 代入目標(biāo)函數(shù)求解 最大值或最小值 5 檢驗(yàn) 根據(jù)結(jié)果 檢驗(yàn)反饋 變式訓(xùn)練 2016 南安模擬 某電視機(jī)廠計(jì)劃在下一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)兩種型號(hào)電視機(jī) 每臺(tái)a型或b型電視機(jī)所得利潤(rùn)分別為6和4個(gè)單位 而生產(chǎn)一臺(tái)a型或b型電視機(jī)所耗原料分別為2和3個(gè)單位 所需工時(shí)分別為4和2個(gè)單位 如果允許使用的原料為100個(gè)單位 工時(shí)為120個(gè)單位 且a或b型電視機(jī)產(chǎn)量分別不低于5臺(tái)和10臺(tái) 應(yīng)當(dāng)生產(chǎn)每種類型電視機(jī)多少臺(tái) 才能使利潤(rùn)最大 解析 設(shè)生產(chǎn)a型電視機(jī)x臺(tái) b型電視機(jī)y臺(tái) 則根據(jù)已知條件知線性約束條件為 線性目標(biāo)函數(shù)為z 6x 4y 根據(jù)約束條件作出可行域如圖中陰影部分整點(diǎn)所示 作直線l0 3x 2y 0 當(dāng)直線l0平移至過點(diǎn)a時(shí) z取最大值 解方程組所以生產(chǎn)兩種類型電視機(jī)各20臺(tái) 所獲利潤(rùn)最大 加固訓(xùn)練 1 某旅行社租用a b兩種型號(hào)的客車安排900名客人旅行 a b兩種車輛的載客量分別為36人和60人 租金分別為1600元 輛和2400元 輛 旅行社要求租車總數(shù)不超過21輛 且b型車不多于a型車7輛 則租金最少為 a 31200元b 36000元c 36800元d 38400元 解析 選c 設(shè)旅行社租用a型客車x輛 b型客車y輛 租金為z 則線性約束條件為目標(biāo)函數(shù)為z 1600 x 2400y 畫出可行域 圖中陰影部分所示 可知目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)n 5 12 時(shí) 有最小值z(mì)min 36800 元 2 某農(nóng)戶計(jì)劃種植黃瓜和韭菜 種植面積不超過50畝 投入資金不超過54萬(wàn)元 假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量 成本和售價(jià)如下表 為使一年的種植總利潤(rùn) 總利潤(rùn) 總銷售收入 總種植成本 最大 那么黃瓜和韭菜的種植面積 單位 畝 分別為 a 50 0b 30 20c 20 30d 0 50 解析 選b 設(shè)黃瓜 韭菜的種植面積分別為x y畝 則總利潤(rùn)z 4 0 55x 6 0 3y 1 2x 0 9y x 0 9y 此時(shí)x y滿足條件畫出可行域如圖 得最優(yōu)解為a 30 20 3 某公司生產(chǎn)甲 乙兩種桶裝產(chǎn)品 已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗a原料1千克 b原料2千克 生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗a原料2千克 b原料1千克 每桶甲產(chǎn)品的利潤(rùn)是300元 每桶乙產(chǎn)品的利潤(rùn)是400元 公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計(jì)劃中 要求每天消耗a b原料都不超過12千克 通過合 理安排生產(chǎn)計(jì)劃 從每天生產(chǎn)的甲 乙兩種產(chǎn)品中 公司共可獲得的最大利潤(rùn)是 a 1800元b 2400元c 2800元d 3100元 解析 選c 設(shè)某公司生產(chǎn)甲產(chǎn)品x桶 生產(chǎn)乙產(chǎn)品y桶 獲利為z元 則x y滿足的線性約束條件為目標(biāo)函數(shù)z 300 x 400y 作出可行域 如圖中四邊形oabc的邊界及其內(nèi)部整點(diǎn) 作直線l0 3x 4y 0 平移