利用C程序編寫格拉姆-施密特正交化的過(guò)程.doc

利用C程序編寫格拉姆-施密特正交化的過(guò)程格拉姆-施密特正交化 在線性代數(shù)中，如果內(nèi)積空間上的一組向量能夠組成一個(gè)子空間，那么這一組向量就稱為這個(gè)子空間的一個(gè)基。GramSchmidt正交化提供了一種方法，能夠通過(guò)這一子空間上的一個(gè)基得出子空間的一個(gè)正交基，并可進(jìn)一步求出對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交基。這種正交化方法以Jrgen Pedersen Gram和Erhard Schmidt命名，然而比他們更早的拉普拉斯（Laplace）和柯西（Cauchy）已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了這一方法。在李群分解中，這種方法被推廣為巖澤分解（Iwasawa decomposition）。在數(shù)值計(jì)算中，GramSchmidt正交化是數(shù)值不穩(wěn)定的，計(jì)算中累積的舍入誤差會(huì)使最終結(jié)果的正交性變得很差。因此在實(shí)際應(yīng)用中通常使用豪斯霍爾德變換或Givens旋轉(zhuǎn)進(jìn)行正交化。記法 ：維數(shù)為n的內(nèi)積空間 ：中的元素，可以是向量、函數(shù)，等等 ：與的內(nèi)積 ：、張成的子空間 ：在上的投影基本思想Gram-Schmidt正交化的基本想法，是利用投影原理在已有正交基的基礎(chǔ)上構(gòu)造一個(gè)新的正交基。設(shè)。是上的維子空間，其標(biāo)準(zhǔn)正交基為，且不在上。由投影原理知，與其在上的投影之差是正交于子空間的，亦即正交于的正交基。因此只要將單位化，即那么就是在上擴(kuò)展的子空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基。根據(jù)上述分析，對(duì)于向量組張成的空間()，只要從其中一個(gè)向量（不妨設(shè)為）所張成的一維子空間開(kāi)始（注意到就是的正交基），重復(fù)上述擴(kuò)展構(gòu)造正交基的過(guò)程，就能夠得到的一組正交基。這就是Gram-Schmidt正交化。算法首先需要確定已有基底向量的順序，不妨設(shè)為。Gram-Schmidt正交化的過(guò)程如下：這樣就得到上的一組正交基，以及相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交基。例考察如下歐幾里得空間Rn中向量的集合，歐氏空間上內(nèi)積的定義為 =bTa：下面作GramSchmidt正交化，以得到一組正交向量：下面驗(yàn)證向量與的正交性：將這些向量單位化：于是就是的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基底。不同的形式隨著內(nèi)積空間上內(nèi)積的定義以及構(gòu)成內(nèi)積空間的元素的不同，Gram-Schmidt正交化也表現(xiàn)出不同的形式。例如，在實(shí)向量空間上，內(nèi)積定義為：在復(fù)向量空間上，內(nèi)積定義為：函數(shù)之間的內(nèi)積則定義為：與之對(duì)應(yīng)，相應(yīng)的GramSchmidt正交化就具有不同的形式。利用C程序編寫格拉姆-施密特正交化的過(guò)程C語(yǔ)言程序如下：#include #include #define N 3 /N表示基的個(gè)數(shù)#define M 4 /M表示維數(shù)float zj(float a,float b) /這是求內(nèi)積函數(shù)int i;float k=0;for(i=0;iM;i+)k+=ai*bi;return k;main()float pNM,bNM,kN;int i,j,m;for(i=0;iN;i+) printf(請(qǐng)輸入第%d個(gè)向量：n,i+1); for(j=0;jM;j+) scanf(%f,pi+j);for(i=0;iN*M;i+)b0i=p0i;/下面是正交化過(guò)程for(i=1;iN;i+) /i表示第i個(gè)向量 for(m=0;mi;m+) km=zj(bi,bm)/zj(bm,bm); /km表示正交化過(guò)程中向量前的系數(shù) for(j=0;jM;j+) /j表示每個(gè)向量中的坐標(biāo) for(m=0;mi;m+) bij-=km*bmj; printf(正交化結(jié)果為：n); for(i=0;iN;i+) printf(第%d個(gè)向量是：n,i+1); for(j=0;jM;j+) printf(%g ,bij); putchar(n);/下面是單位化過(guò)程 for(i=0;iN;i+) for(j=0;jM;j+) pij=bij/sqrt(zj(bi,bi); printf(n單位化結(jié)果為：n); for(i=0;iN;i+) printf(第%d個(gè)向量是：n,i+1); for(j=0;jM;j+) printf(%g ,pij); putchar(n);實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下：實(shí)踐課總結(jié)： 在這次實(shí)踐課的課題討論中，我所在的這個(gè)組個(gè)個(gè)都發(fā)揮自己得能動(dòng)性。都積極主動(dòng)。拿到課題后，我們馬上討論分工，針對(duì)自己所分到得板塊去查閱資料，然后再次討論總結(jié)，最后每個(gè)人都提出問(wèn)題共同解決。 當(dāng)然，在整個(gè)過(guò)程中遇到問(wèn)題也是必然的。例如，由于對(duì)C語(yǔ)言不熟練而導(dǎo)致在程序設(shè)計(jì)時(shí)遇到種種困難，多而雜得程序設(shè)計(jì)在排版上不能讓讀者一目了然，感覺(jué)有點(diǎn)凌亂，并且在第一次試講過(guò)程中老師和細(xì)心得同學(xué)都提出了幾個(gè)疑議。下來(lái)后我們?cè)俅斡懻?。針?duì)那些問(wèn)題并進(jìn)行機(jī)上調(diào)試。結(jié)果得出，我們得設(shè)計(jì)可能繁雜冗長(zhǎng)了些，但沒(méi)有錯(cuò)，因?yàn)檩斎霑?shū)上得例子后可以得到正確