高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 2.12 定積分的概念與微積分基本定理、定積分的簡單應(yīng)用課件 理.ppt

第十二節(jié)定積分的概念與微積分基本定理 定積分的簡單應(yīng)用 知識梳理 1 定積分的概念 幾何意義和性質(zhì) 1 定積分的定義及相關(guān)概念 定義 一般地 如果函數(shù)f x 在區(qū)間 a b 上連續(xù) 用分點(diǎn)a x0 x1 xi 1 xi xn b 將區(qū)間 a b 等分成n個小區(qū)間 在每個小區(qū)間 xi 1 xi 上任取一點(diǎn) i i 1 2 n 作和式當(dāng)n 時 上述和式無限接近某個常數(shù) 這個常數(shù)叫做函數(shù)f x 在區(qū)間 a b 上的定積分 記作 相關(guān)概念 在中 a與b分別叫做積分下限與積分上限 區(qū)間 叫做積分區(qū)間 函數(shù)f x 叫做被積函數(shù) x叫做 叫做被積式 a b 積分變量 f x dx 2 定積分的幾何意義 x a x b x a x b 3 定積分的性質(zhì) k為常數(shù) 2 微積分基本定理一般地 如果f x 是區(qū)間 a b 上的連續(xù)函數(shù) 并且f x f x 那么 這個結(jié)論叫做微積分基本定理 又叫牛頓 萊布尼茨公式 f b f a 3 定積分的應(yīng)用 1 定積分與曲邊梯形面積的關(guān)系 設(shè)陰影部分的面積為s s s s s 2 定積分與變速直線運(yùn)動的路程及變力做功之間的關(guān)系 s w 特別提醒 1 定積分應(yīng)用的兩條常用結(jié)論 1 當(dāng)曲邊梯形位于x軸上方時 定積分的值為正 當(dāng)曲邊梯形位于x軸下方時 定積分的值為負(fù) 當(dāng)位于x軸上方的曲邊梯形與位于x軸下方的曲邊梯形面積相等時 定積分的值為零 2 加速度對時間的積分為速度 速度對時間的積分是路程 2 函數(shù)f x 在閉區(qū)間 a a 上連續(xù) 則有 1 若f x 為偶函數(shù) 則 2 若f x 為奇函數(shù) 則 小題快練 鏈接教材練一練1 選修2 2p55習(xí)題1 6b組t1 3 改編 解析 答案 2 選修2 2p60習(xí)題1 7a組t6改編 汽車以72km h的速度行駛 由于遇到緊急情況而剎車 汽車以等減速度a 4m s2剎車 則汽車從開始剎車到停止走的距離為m 解析 先求從剎車到停車所用的時間t 當(dāng)t 0時 v0 72km h 20m s 剎車后 汽車減速行駛 速度為v t v0 at 20 4t 令v t 0 可得t 5s 所以汽車從剎車到停車 所走過的路程為 50 m 即汽車從開始剎車到停止 共走了50m 答案 50 感悟考題試一試3 2016 廣州模擬 定積分的值為 a e 2b e 1c ed e 1 解析 選c 故選c 4 2016 泉州模擬 由曲線y x2 1 直線x 0 x 2和x軸圍成的封閉圖形 如圖所示 的面積可表示為 a b c d 解析 選b 曲線y x2 1 直線x 0 x 2和x軸圍成的封閉圖形的面積可表示為 5 2015 天津高考 曲線y x2與直線y x所圍成的封閉圖形的面積為 解析 兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為 0 0 1 1 所以它們所圍成的封閉圖形的面積s 答案 考向一定積分的計(jì)算 典例1 1 計(jì)算 若f x 則為 2 設(shè)f x e為自然對數(shù)的底數(shù) 則的值為 解題導(dǎo)引 1 分別用求導(dǎo)公式找到相應(yīng)的原函數(shù) 利用定積分的幾何意義求解 2 根據(jù)定積分的性質(zhì)把所求定積分轉(zhuǎn)化為兩個定積分和的形式求解 規(guī)范解答 1 由得表示以 1 0 為圓心 2為半徑的圓在x軸上方的部分 所以是圓面積的所以答案 24 2 2 因?yàn)閒 x 所以答案 母題變式 1 若將本例 1 中 條件變?yōu)?則實(shí)數(shù)a的值如何 解析 因?yàn)?asinx cosx sinx acosx 所以所以a 1 2 若本例 1 中 條件不變 試求的值 解析 可知表示以 1 0 為圓心 2為半徑的圓在x軸上方的部分的面積 故 規(guī)律方法 計(jì)算定積分的步驟 1 把被積函數(shù)變形為冪函數(shù) 正弦函數(shù) 余弦函數(shù) 指數(shù)函數(shù)與常數(shù)的積的和或差 2 把定積分用定積分性質(zhì)變形為求被積函數(shù)為上述函數(shù)的定積分 3 分別用求導(dǎo)公式找到一個相應(yīng)的原函數(shù) 4 利用微積分基本定理求出各個定積分的值 5 計(jì)算原始定積分的值 提醒 根據(jù)定積分的幾何意義可利用面積求定積分 變式訓(xùn)練 1 若則 解析 選b 因?yàn)閒 x 所以所以 2 若定積分則m等于 a 1b 0c 1d 2 解析 選a 根據(jù)定積分的幾何意義知 定積分的值 就是函數(shù)的圖象與x軸及直線x 2 x m所圍成圖形的面積 是圓心 1 0 半徑為1的上半圓 其面積等于而即在區(qū)間 2 m 上該函數(shù)圖象應(yīng)為的圓 于是得m 1 加固訓(xùn)練 1 2016 長春模擬 與定積分相等的是 a b c d 以上結(jié)論都不對 解析 選b 因?yàn)? cosx 所以 2 設(shè)f x 是一條連續(xù)的曲線 且為偶函數(shù) 在對稱區(qū)間 a a 上的定積分為由定積分的幾何意義和性質(zhì) 得可表示為 解析 選b 偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱 故對應(yīng)的幾何區(qū)域關(guān)于y軸對稱 因而其可表示為應(yīng)選b 3 計(jì)算 解析 答案 1 4 2015 石家莊模擬 解析 表示四分之一單位圓的面積 為所以結(jié)果是答案 考向二利用定積分計(jì)算平面圖形的面積 典例2 2016 牡丹江模擬 拋物線y2 4x與直線y 2x 4圍成的平面圖形的面積是 解題導(dǎo)引 畫出平面圖形 根據(jù)圖形確定積分的上 下限及被積函數(shù) 規(guī)范解答 由得或畫出草圖如圖所示 選用x為積分變量所求面積為答案 9 一題多解 解答本題還有以下解法 選用y為積分變量 這時所求的面積為答案 9 規(guī)律方法 1 利用定積分求平面圖形面積的步驟 1 根據(jù)題意畫出圖形 2 借助圖形確定出被積函數(shù) 求出交點(diǎn)坐標(biāo) 確定積分的上 下限 3 把曲邊梯形的面積表示成若干個定積分的和 4 計(jì)算定積分 寫出答案 2 根據(jù)平面圖形的面積求參數(shù)的求解策略先利用定積分求出平面圖形的面積 再據(jù)條件構(gòu)建方程 不等式 求解 3 與概率綜合問題的處理思路先按照概率問題分析需要求解哪些量 然后求解時再借助定積分的知識 變式訓(xùn)練 2016 福州模擬 曲線與直線y x 1及x 4所圍成的封閉圖形的面積為 a 2ln2b 2 ln2c 4 ln2d 4 2ln2 解析 選d 如圖 封閉圖形的面積為 4 2ln2 加固訓(xùn)練 1 2016 衡水模擬 在平面直角坐標(biāo)系中 記拋物線y x x2與x軸所圍成的平面區(qū)域?yàn)閙 該拋物線與直線y kx k 0 所圍成的平面區(qū)域?yàn)閍 向區(qū)域m內(nèi)隨機(jī)拋擲一點(diǎn)p 若點(diǎn)p落在區(qū)域a內(nèi)的概率為則k的值為 解析 選a 如圖 由得x 1 k 區(qū)域m的面積區(qū)域a的面積因?yàn)樗运运?2 2016 廣州模擬 曲線y x2與直線y kx k 0 所圍成的曲邊圖形的面積為則k 解析 由得或則曲線y x2與直線y kx k 0 所圍成的曲邊梯形的面積為即k3 8 所以k 2 答案 2 3 2016 青島模擬 若函數(shù)f x a 0 0 的圖象如圖所示 則圖中的陰影部分的面積為 解析 由圖象可知所以 1 f x 圖中其與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為所以圖中的陰影部分的面積為答案 考向三定積分在物理中的應(yīng)用 典例3 1 物體a以v 3t2 1 m s 的速度在一直線l上運(yùn)動 物體b在直線l上 且在物體a的正前方5m處 同時以v 10t m s 的速度與a同向運(yùn)動 出發(fā)后 物體a追上物體b所用的時間t s 為 a 3b 4c 5d 6 2 2015 杭州模擬 設(shè)變力f x 作用在質(zhì)點(diǎn)m上 使m沿x軸正向從x 1運(yùn)動到x 10 已知f x x2 1且方向和x軸正向相同 則變力f x 對質(zhì)點(diǎn)m所做的功為j x的單位 m 力的單位 n 解題導(dǎo)引 1 利用定積分分別計(jì)算出物體a b行駛的路程 然后利用它們之間的關(guān)系求解 2 運(yùn)用變力f x 對質(zhì)點(diǎn)m所做的功為w 求解 規(guī)范解答 1 選c 因?yàn)槲矬wa在t秒內(nèi)行駛的路程為物體b在t秒內(nèi)行駛的路程為所以整理得 t 5 t2 1 0 解得t 5 2 變力f x x2 1使質(zhì)點(diǎn)m沿x軸正向從x 1運(yùn)動到x 10所做的功為答案 342 規(guī)律方法 定積分在物理中的兩個應(yīng)用 1 求變速直線運(yùn)動的路程 如果變速直線運(yùn)動物體的速度為v v t 那么從時刻t a到t b所經(jīng)過的路程 2 變力做功 一物體在變力f x 的作用下 沿著與f x 相同的方向從x a移動到x b時 力f x 所做的功是 變式訓(xùn)練 2016 大慶模擬 一列火車在平直的鐵軌上行駛 由于遇到緊急情況 火車以速度v t 5 t t的單位 s v的單位 m s 緊急剎車至停止 在此期間火車?yán)^續(xù)行駛的距離是 a 55ln10b 55ln11c 12 55ln7d 12 55ln6 解析 選b 令注意到t 0 得t 10 即經(jīng)過的時間為10s 行駛的距離 55ln11 加固訓(xùn)練 1 一物體在力f x 單位 n 的作用下沿與力f x 相同的方向運(yùn)動了4米 力f x 做功為 a 44jb 46jc 48jd 50j 解析