可測函數(shù)及其性質(最新版).ppt

第一節(jié)可測函數(shù)及其性質 第四章可測函數(shù) 三 可測函數(shù)的性質 一 可測函數(shù)定義 二 可測函數(shù)的等價描述 四 可測函數(shù)與零集的關系 五 可測函數(shù)與簡單函數(shù)的關系 一 可測函數(shù)定義 定義1 設f x 是可測集E上的實函數(shù) 可取 若可測 則稱f x 是E上的可測函數(shù) 例 1 零集上的任何函數(shù)都是可測函數(shù) 例 2 簡單函數(shù)是可測函數(shù) 注 0 1 上的Dirichlet函數(shù)是簡單函數(shù) 例 3 可測集E上的連續(xù)函數(shù)f x 必為可測函數(shù) 對比 設f x 為 a b 上有限實函數(shù) 設f x 為E上有限實函數(shù) 稱f x 在處連續(xù) 結論 可測集E上的連續(xù)函數(shù)f x 定為可測函數(shù) 證明 任取x E f a 則f x a 由連續(xù)性假設知 則G為開集 為可測集 且 二 可測函數(shù)的等價描述 證明 定理1設f x 是可測集E上的實函數(shù) 下列任一條件都是f x 在E上可測的充要條件 三 可測函數(shù)的性質 定理1 可測函數(shù)關于子集 并集的性質 反之 若 f x 在En上是可測函數(shù) 則f x 在E上也是可測函數(shù) 即 若f x 是E上的可測函數(shù) 可測 則f x 在E1上也是可測函數(shù) 即 若f x g x 是E上的可測函數(shù) 則對任意的有限實數(shù) f x f x g x f x g x 1 f x f x g x f x g x f x 仍為E上的可測函數(shù) 定理2 可測函數(shù)類關于四則運算封閉 定理3 可測函數(shù)類關于確界運算和極限運算封閉 推論 特別當極限存在時 它也是可測函數(shù) 可測函數(shù)列的極限函數(shù)仍為可測函數(shù) 連續(xù)函數(shù)列的極限函數(shù)不一定為連續(xù)函數(shù) 即若fn x 是E上的可測函數(shù) 則下列函數(shù)仍為E上的可測函數(shù) 例 R1上的可微函數(shù)f x 的導函數(shù)f x 是可測函數(shù) 利用了可測函數(shù)列的極限函數(shù)仍為可測函數(shù) 從而f x 是一列連續(xù)函數(shù) 當然是可測函數(shù) 的極限 故f x 是可測函數(shù) 證明 由于 94頁第2題設 fn 是可測函數(shù)列 則它的收斂點全體和發(fā)散點全體是可測集 證明 發(fā)散點全體為收斂點全體為 再 1 幾乎處處成立 四 可測函數(shù)與零集的關系 例1 例2 注 在一零測度集上改變函數(shù)的取值不影響函數(shù)的可測性 證明 令E1 E f g E2 E f g 則mE1 0從而g x 在E1上可測 定理 設f x g x a e 于E f x 在E上可測 則g x 在E上也可測 另外f x 在E2上可測 從而g x 在E2上也可測 進一步g x 在E E1 E2上也可測 2 函數(shù)可測性與零集的關系 注 當f x 是有界函數(shù)時 上述收斂可做到一致收斂