請(qǐng)點(diǎn)擊下載文字版-2003年全國碩士入學(xué)統(tǒng)考數(shù)學(xué)(四)試題及答案

2003年全國碩士入學(xué)統(tǒng)考數(shù)學(xué)(四)試題及答案一、 填空題（本題共6小題，每小題4分，滿分24分. 把答案填在題中橫線上）（1）極限= .【分析】 本題屬型未定式，化為指數(shù)函數(shù)求極限即可.【詳解】 = =（2）= .【分析】 對(duì)稱區(qū)間上的積分應(yīng)注意利用被積函數(shù)的對(duì)稱性，這里有【詳解】 = = = = =.（3）設(shè)a0，而D表示全平面，則= .【分析】 本題積分區(qū)域?yàn)槿矫?，但只有?dāng)時(shí)，被積函數(shù)才不為零，因此實(shí)際上只需在滿足此不等式的區(qū)域內(nèi)積分即可.【詳解】 = =（4）設(shè)A,B均為三階矩陣，E是三階單位矩陣. 已知AB=2A+B,B=,則= .【分析】 應(yīng)先化簡，從AB=2A+B中確定.【詳解】 由AB=2A+B, 知 AB-B=2A-2E+2E,即有 ， ， ，可見 =.（5）設(shè)n維向量；E為n階單位矩陣，矩陣 ， ，其中A的逆矩陣為B，則a= -1 .【分析】 這里為n階矩陣，而為數(shù)，直接通過進(jìn)行計(jì)算并注意利用乘法的結(jié)合律即可.【詳解】 由題設(shè)，有 = = = =,于是有 ，即 ，解得 由于A1，在內(nèi)的駐點(diǎn)為 問a為何值時(shí)，t(a)最??？并求出最小值.【分析】 先由f(t)的導(dǎo)數(shù)為零確定駐點(diǎn)t(a)，它是關(guān)于a的函數(shù)，再把此函數(shù)對(duì)a求導(dǎo)，然后令此導(dǎo)數(shù)為零，得到可能極值點(diǎn)，進(jìn)一步判定此極值為最小值即可.【詳解】 由，得唯一駐點(diǎn) 考察函數(shù)在a1時(shí)的最小值. 令 ，得唯一駐點(diǎn) 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因此為極小值，從而是最小值.七、（本題滿分9分）設(shè)y=f(x) 是第一象限內(nèi)連接點(diǎn)A(0,1),B(1,0)的一段連續(xù)曲線，M(x,y)為該曲線上任意一點(diǎn)，點(diǎn)C為M在x軸上的投影，O為坐標(biāo)原點(diǎn). 若梯形OCMA的面積與曲邊三角形CBM的面積之和為，求f(x)的表達(dá)式.【分析】 梯形OCMA的面積可直接用梯形面積公式計(jì)算得到，曲邊三角形CBM的面積可用定積分計(jì)算，再由題設(shè)，可得一含有變限積分的等式，兩邊求導(dǎo)后可轉(zhuǎn)化為一階線性微分方程，然后用通解公式計(jì)算即可.【詳解】 根據(jù)題意，有 .兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，得 當(dāng)時(shí)，得 此為標(biāo)準(zhǔn)的一階線性非齊次微分方程，其通解為 y A= M= O C B x=當(dāng)x=0時(shí)，f(0)=1.由于x=1時(shí)，f(1)=0 ,故有2+C=0，從而C=-2. 所以 八、（本題滿分8分）設(shè)某商品從時(shí)刻0到時(shí)刻t的銷售量為， 欲在T 時(shí)將數(shù)量為A的該商品銷售完，試求(1) t時(shí)的商品剩余量，并確定k的值；(2) 在時(shí)間段0，T上的平均剩余量.【分析】 在時(shí)刻t的剩余量y(t)可用總量A減去銷量x(t)得到; 由于y(t)隨時(shí)間連續(xù)變化，因此在時(shí)間段0,T 上的平均剩余量，即函數(shù)平均值可用積分表示.【詳解】 (1) 在時(shí)刻t商品的剩余量為 =， 由=0，得 ，因此 (2) 依題意，在0，T上的平均值為 = =因此在時(shí)間段0，T 上的平均剩余量為九、（本題滿分13分）設(shè)有向量組（I）：，和向量組（II）：， 試問：當(dāng)a為何值時(shí)，向量組（I）與（II）等價(jià)？當(dāng)a為何值時(shí)，向量組（I）與（II）不等價(jià)？【分析】 兩個(gè)向量組等價(jià)也即兩個(gè)向量組可以相互線性表示，而兩個(gè)向量組不等價(jià)，只需其中一組有一個(gè)向量不能由另一組線性表示即可. 而線性表示問題又可轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)非齊次線性方程組是否有解的問題，這可通過化增廣矩陣為階梯形來判斷. 一個(gè)向量是否可由線性表示，只需用初等行變換化增廣矩陣（）為階梯形討論，而一組向量是否可由線性表示，則可結(jié)合起來對(duì)矩陣（）同時(shí)作初等行變換化階梯形，然后類似地進(jìn)行討論即可.【詳解】 作初等行變換，有 = .(1) 當(dāng)時(shí)，有行列式，秩（，故線性方程組均有唯一解. 所以，可由向量組（I）線性表示.同樣，行列式，秩（，故可由向量組（II）線性表示. 因此向量組（I）與（II）等價(jià).(2) 當(dāng)a=-1時(shí)，有 .由于秩（）秩（，線性方程組無解，故向量不能由線性表示. 因此，向量組（I）與（II）不等價(jià).十、（本題滿分13分）設(shè)矩陣可逆，向量是矩陣的一個(gè)特征向量，是對(duì)應(yīng)的特征值，其中是矩陣A的伴隨矩陣. 試求a,b和的值.【分析】 題設(shè)已知特征向量，應(yīng)想到利用定義：，又與伴隨矩陣相關(guān)的問題，應(yīng)利用進(jìn)行化簡.【詳解】 矩陣屬于特征值的特征向量為，由于矩陣A可逆，故可逆.于是，且 .兩邊同時(shí)左乘矩陣A，得 ， ，即，由此，得方程組 由式(1),(2)解得 或;由式(1),(3)解得 a=2.由于 ，根據(jù)(1)式知，特征向量所對(duì)應(yīng)的特征值所以，當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，十一、（本題滿分13分）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 F(x)是X的分布函數(shù). 求隨機(jī)變量Y=F(X)的分布函數(shù).【分析】 先求出分布函數(shù)F(x) 的具體形式，從而可確定Y=F(X) ,然后按定義求Y 的分布函數(shù)即可。注意應(yīng)先確定Y=F(X)的值域范圍，再對(duì)y分段討論.【詳解】 易見，當(dāng)x8 時(shí)，F(xiàn)(x)=1.對(duì)于，有 設(shè)G(y)是隨機(jī)變量Y=F(X)的分布函數(shù). 顯然，當(dāng)時(shí)，G(y)=0；當(dāng)時(shí)，G(y)=1. 對(duì)于，有 = =于是，Y=F(X)的分布函數(shù)為 十二、（本題滿分13分）對(duì)于任意二事件A 和B， 稱做事件A和B的相關(guān)系數(shù).(1) 證明事件A和B獨(dú)立的充分必要條件是其相關(guān)系數(shù)等于零；(2) 利用隨機(jī)變量相關(guān)系數(shù)的基本性質(zhì)，證明【分析】 (1) 利用事件A和B獨(dú)立的定義P(AB)=P(A)P(B)即可；(2) 隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)為，而需將轉(zhuǎn)化為用隨機(jī)變量表示，顯然，若有以及，即可，這只需定義 【詳解】 (1) 由的定義，可見當(dāng)且僅當(dāng) P(AB)-P(A)P(B)=0,