高中數(shù)學(xué)推理與證明課堂講義配套課件湘教版.pptx

章末復(fù)習(xí) 1 歸納和類比都是合情推理 前者是由特殊到一般 部分到整體的推理 后者是由特殊到特殊的推理 但二者都能由已知推測(cè)未知 都能用于猜想 推理的結(jié)論不一定為真 有待進(jìn)一步證明 2 演繹推理與合情推理不同 是由一般到特殊的推理 是數(shù)學(xué)中證明的基本推理形式 也是公理化體系所采用的推理形式 另一方面 合情推理與演繹推理又是相輔相成的 前者是后者的前提 后者論證前者的可靠性 3 直接證明和間接證明是數(shù)學(xué)證明的兩類基本證明方法 直接證明的兩類基本方法是綜合法和分析法 綜合法是從已知條件推導(dǎo)出結(jié)論的證明方法 分析法是由結(jié)論追溯到條件的證明方法 在解決數(shù)學(xué)問題時(shí) 常把它們結(jié)合起來使用 間接證法的一種方法是反證法 反證法是從結(jié)論反面成立出發(fā) 推出矛盾的證明方法 4 數(shù)學(xué)歸納法主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題 證明時(shí) 它的兩個(gè)步驟缺一不可 它的第一步 歸納奠基 n n0時(shí)結(jié)論成立 第二步 歸納遞推 假設(shè)n k時(shí) 結(jié)論成立 推得n k 1時(shí)結(jié)論也成立 數(shù)學(xué)歸納法原理建立在歸納公理的基礎(chǔ)上 它可用有限的步驟 兩步 證明出無限的命題成立 5 歸納 猜想 證明探索性命題是近幾年高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)的一種題型 此類問題未給出問題結(jié)論 需要由特殊情況入手 猜想 證明一般結(jié)論的問題稱為探求規(guī)律性問題 它的解題思想是 從給出的條件出發(fā) 通過觀察 試驗(yàn) 歸納 猜想 探索出結(jié)論 然后再對(duì)歸納 猜想的結(jié)論進(jìn)行證明 題型一歸納推理和類比推理歸納推理和類比推理是常用的合情推理 兩種推理的結(jié)論 合情 但不一定 合理 其正確性都有待嚴(yán)格證明 盡管如此 合情推理在探索新知識(shí)方面有著極其重要的作用 運(yùn)用合情推理時(shí) 要認(rèn)識(shí)到觀察 歸納 類比 猜想 證明是相互聯(lián)系的 在解決問題時(shí) 可以先從觀察入手 發(fā)現(xiàn)問題的特點(diǎn) 形成解決問題的初步思路 然后用歸納 類比的方法進(jìn)行探索 猜想 最后用邏輯推理方法進(jìn)行驗(yàn)證 例1觀察下列各式 a b 1 a2 b2 3 a3 b3 4 a4 b4 7 a5 b5 11 則a10 b10 A 28B 76C 123D 199答案C 解析記an bn f n 則f 3 f 1 f 2 1 3 4 f 4 f 2 f 3 3 4 7 f 5 f 3 f 4 11 通過觀察不難發(fā)現(xiàn)f n f n 1 f n 2 n N n 3 則f 6 f 4 f 5 18 f 7 f 5 f 6 29 f 8 f 6 f 7 47 f 9 f 7 f 8 76 f 10 f 8 f 9 123 所以a10 b10 123 跟蹤演練1自然數(shù)按下表的規(guī)律排列 則上起第2007行 左起第2008列的數(shù)為 A 20072B 20082C 2006 2007D 2007 2008答案D解析經(jīng)觀察可得這個(gè)自然數(shù)表的排列特點(diǎn) 第一列的每個(gè)數(shù)都是完全平方數(shù) 并且恰好等于它所在行數(shù)的平方 即第n行的第1個(gè)數(shù)為n2 第一行第n個(gè)數(shù)為 n 1 2 1 第n行從第1個(gè)數(shù)至第n個(gè)數(shù)依次遞減1 第n列從第1個(gè)數(shù)至第n個(gè)數(shù)依次遞增1 故上起第2007行 左起第2008列的數(shù) 應(yīng)是第2008列的第2007個(gè)數(shù) 即為 2008 1 2 1 2006 2007 2008 題型二直接證明由近三年的高考題可以看出 直接證明的考查中 各種題型均有體現(xiàn) 尤其是解答題 幾年來一直是考查證明方法的熱點(diǎn)與重點(diǎn) 綜合法和分析法是直接證明中最基本的兩種證明方法 也是解決數(shù)學(xué)問題常用的思維方式 如果從解題的切入點(diǎn)的角度細(xì)分 直接證明方法可具體分為 比較法 代換法 放縮法 判別式法 構(gòu)造函數(shù)法等 應(yīng)用綜合法證明問題時(shí) 必須首先想到從哪里開始起步 分析法就可以幫助我們克服這種困難 在實(shí)際證明問題時(shí) 應(yīng)當(dāng)把分析法和綜合法結(jié)合起來使用 跟蹤演練2如圖 在四面體B ACD中 CB CD AD BD 且E F分別是AB BD的中點(diǎn) 求證 1 直線EF 平面ACD 2 平面EFC 平面BCD 證明 1 要證直線EF 平面ACD 只需證EF AD且EF 平面ACD 因?yàn)镋 F分別是AB BD的中點(diǎn) 所以EF是 ABD的中位線 所以EF AD 所以直線EF 平面ACD 題型三反證法如果一個(gè)命題的結(jié)論難以直接證明時(shí) 可以考慮反證法 通過反設(shè)已知條件 經(jīng)過邏輯推理 得出矛盾 從而肯定原結(jié)論成立 反證法是高中數(shù)學(xué)的一種重要的證明方法 在不等式和立體幾何的證明中經(jīng)常用到 在高考題中也經(jīng)常體現(xiàn) 它所反映出的 正難則反 的解決問題的思想方法更為重要 反證法主要證明 否定性 唯一性命題 至多 至少型問題 幾何問題 例3如圖所示 已知兩個(gè)正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi) M N分別為AB DF的中點(diǎn) 1 若平面ABCD 平面DCEF 求直線MN與平面DCEF所成角的正弦值 2 用反證法證明 直線ME與BN是兩條異面直線 圖 1 圖 2 2 證明假設(shè)直線ME與BN共面 則AB 平面MBEN 且平面MBEN與平面DCEF交于EN 兩正方形不共面 AB 平面DCEF 又AB CD 所以AB 平面DCEF 而EN為平面MBEN與平面DCEF的交線 AB EN 又AB CD EF EN EF 這與EN EF E矛盾 故假設(shè)不成立 ME與BN不共面 即它們是異面直線 3 0 且 x 1 2 y 1 2 z 1 2 0 a b c 0 這與a b c 0矛盾 因此假設(shè)不成立 a b c中至少有一個(gè)大于0 題型四數(shù)學(xué)歸納法1 數(shù)學(xué)歸納法事實(shí)上是一種完全歸納的證明方法 它適用于與自然數(shù)有關(guān)的問題 兩個(gè)步驟 一個(gè)結(jié)論缺一不可 否則結(jié)論不成立 在證明遞推步驟時(shí) 必須使用歸納假設(shè) 必須進(jìn)行恒等變換 2 探索性命題是近幾年高考試題中經(jīng)常出現(xiàn)的一種題型 此類問題未給出問題的結(jié)論 需要由特殊情況入手 猜想 證明一般結(jié)論 它的解題思路是 從給出條件出發(fā) 通過觀察 試驗(yàn) 歸納 猜想 探索出結(jié)論 然后再對(duì)歸納 猜想的結(jié)論進(jìn)行證明 1 歸納和類比都是合情推理 前者是由特殊到一般 部分到整體的推理 后者是由特殊到特殊的推理 但二者都能由已知推測(cè)未知 都能用于猜想 推理的結(jié)論不一定為真 有待進(jìn)一步證明 2 演繹推理與合情推理不同 是由一般到特殊的推理 是數(shù)學(xué)中證明的基本推理形式 也是公理化體系所采用的推理形式 另一方面 合情推理與演繹推理又是相輔相成的 前者是后者的前提 后者論證前者的可靠性 3 直接證明和間接證明是數(shù)學(xué)證明的兩類基本證明方法 直接證明的兩類基本方法是綜合法和分析法 綜合法是從已知條件推導(dǎo)出結(jié)論的證明方法 分析法是由結(jié)論追溯到條件的證明方法 在解決數(shù)學(xué)問題時(shí) 常把它們結(jié)合起來使用 間接證法的一種方法是反證法 反證法是從結(jié)論反面成立出發(fā) 推出矛盾的證