高中數(shù)學(xué)專題1.5定積分的概念1.6微積分基本定理1.7定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用試題新人教A版.docx

1.5 定積分的概念1.6 微積分基本定理1.7 定積分的簡(jiǎn)單應(yīng)用1定積分的概念一般地，如果函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，用分點(diǎn)將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)，作和式（其中為小區(qū)間長(zhǎng)度），當(dāng)時(shí)，上述和式無限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作_，即這里，與分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間叫做積分區(qū)間，函數(shù)叫做被積函數(shù)，叫做積分變量，叫做被積式2定積分的幾何意義從幾何上看，如果在區(qū)間上函數(shù)連續(xù)且恒有，那么定積分表示由直線，和曲線所圍成的_這就是定積分的幾何意義3定積分的性質(zhì)由定積分的定義，可以得到定積分的如下性質(zhì)：為常數(shù)）；（其中）4微積分基本定理一般地，如果是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，并且，那么_這個(gè)結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓-萊布尼茨公式為了方便，我們常常把記成，即微積分基本定理表明，計(jì)算定積分的關(guān)鍵是找到滿足的函數(shù)通常，我們可以運(yùn)用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則從反方向上求出5定積分在幾何中的應(yīng)用定積分在幾何中的應(yīng)用主要是計(jì)算由兩條曲線所圍圖形的面積由曲邊梯形面積的求法，我們可以將求由兩條曲線所圍圖形的面積問題轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)曲邊梯形的面積問題，進(jìn)而用定積分求出面積6定積分在物理中的應(yīng)用變速直線運(yùn)動(dòng)的路程：我們知道，做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體所經(jīng)過的路程，等于其速度函數(shù)在時(shí)間區(qū)間上的定積分，即變力做功：一物體在恒力(單位：)的作用下做直線運(yùn)動(dòng)，如果物體沿著與相同的方向移動(dòng)了（單位：），則力所做的功為已知某物體在變力的作用下做直線運(yùn)動(dòng)，并且該物體沿著與相同的方向從移動(dòng)到，求變力所做的功，與求曲邊梯形的面積及求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程一樣，可用“四步曲”解決，得到K知識(shí)參考答案：1 2曲邊梯形的面積 346 K重點(diǎn)定積分的幾何意義，定積分的基本性質(zhì)，運(yùn)用微積分基本定理計(jì)算定積分，定積分的應(yīng)用K難點(diǎn)運(yùn)用微積分基本定理計(jì)算定積分，用定積分求幾何圖形的面積K易錯(cuò)運(yùn)用微積分基本定理計(jì)算定積分時(shí)，弄錯(cuò)積分的上、下限利用定積分的幾何意義計(jì)算定積分利用定積分所表示的意義求的值的關(guān)鍵是確定由曲線，直線，直線及軸所圍成的平面圖形的形狀利用定積分的幾何意義求，其中【答案】【解析】為奇函數(shù)，利用定積分的幾何意義，如下圖：，故【名師點(diǎn)睛】（1）利用定積分的幾何意義求解時(shí)，常見的平面圖形的形狀是三角形、直角梯形、矩形、圓等可求面積的平面圖形（2）設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則若是偶函數(shù)，則；若是奇函數(shù)，則利用微積分基本定理計(jì)算定積分求函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的定積分時(shí)，要注意：（1）掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，正確求解導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)的函數(shù)當(dāng)這個(gè)函數(shù)不易求時(shí)，可將被積函數(shù)適當(dāng)變形后再求解具體方法是能化簡(jiǎn)的化簡(jiǎn)，不能化簡(jiǎn)的變?yōu)閮绾瘮?shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與常數(shù)的和或差（2）精確定位積分區(qū)間，分清積分下限與積分上限計(jì)算下列定積分：（1）；（2）；（3）；（4）【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【解析】（1）（2）（3）（4）【名師點(diǎn)睛】微積分基本定理揭示了導(dǎo)數(shù)與定積分之間的關(guān)系，即求定積分與求導(dǎo)互為逆運(yùn)算，求定積分時(shí)只需找到被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)定積分在幾何中的應(yīng)用對(duì)于簡(jiǎn)單圖形的面積求解，我們可以直接運(yùn)用定積分的幾何意義，此時(shí)，（1）確定積分上、下限，一般為兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)（2）確定被積函數(shù)，一般是上曲線與下曲線對(duì)應(yīng)函數(shù)的差這樣所求的面積問題就轉(zhuǎn)化為運(yùn)用微積分基本定理計(jì)算定積分了求由曲線與，所圍成的平面圖形的面積（畫出圖形）【答案】圖形見解析，平面圖形的面積為【解析】畫出曲線與，則下圖中的陰影部分即為所要求的平面圖形解方程組，可得故平面圖形的面積為，所以所求圖形的面積為1【名師點(diǎn)睛】（1）定積分可正、可負(fù)或?yàn)榱悖矫鎴D形的面積總是非負(fù)的（2）若圖形比較復(fù)雜，可以求出曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，將積分區(qū)間細(xì)化，分別求出相應(yīng)區(qū)間上平面圖形的面積再求和，注意在每個(gè)區(qū)間上被積函數(shù)均是由上減下定積分在物理中的應(yīng)用（1）已知變速直線運(yùn)動(dòng)的方程，求在某段時(shí)間內(nèi)物體運(yùn)動(dòng)的位移或者經(jīng)過的路程，就是求速度方程的定積分（2）利用定積分求變力做功的問題，關(guān)鍵是求出變力與位移之間的函數(shù)關(guān)系，確定好積分區(qū)間，得到積分表達(dá)式，再利用微積分基本定理計(jì)算即可設(shè)有一長(zhǎng)25 cm的彈簧，若加以100 N的力，則彈簧伸長(zhǎng)到30 cm，又已知彈簧伸長(zhǎng)所需要的拉力與彈簧的伸長(zhǎng)量成正比，求使彈簧由25 cm伸長(zhǎng)到40 cm所做的功【答案】將彈簧由25 cm伸長(zhǎng)到40 cm時(shí)所做的功為【解析】設(shè)表示彈簧伸長(zhǎng)的量(單位：m)，表示加在彈簧上的力(單位：N)由題意，得，且當(dāng)時(shí)，即，解得，則故將彈簧由25 cm伸長(zhǎng)到40 cm時(shí)所做的功為【名師點(diǎn)睛】求解時(shí)注意單位的換算，把cm換算為m1定積分的大小A與和積分區(qū)間有關(guān)，與的取法無關(guān)B與有關(guān)，與區(qū)間以及的取法無關(guān)C與以及的取法有關(guān)，與區(qū)間無關(guān)D與、區(qū)間和的取法都有關(guān)2在求由拋物線與直線，所圍成的平面圖形的面積時(shí)，把區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間，則第個(gè)區(qū)間為ABCD3已知，則ABCD4計(jì)算：ABCD5定積分與的大小關(guān)系是ABCD無法確定6計(jì)算：ABCD7下列等式不成立的是ABCD8由直線，及曲線所圍成的封閉圖形的面積ABCD9定積分ABCD10已知函數(shù)，則ABCD11已知，則_12計(jì)算：_13計(jì)算_14若，則實(shí)數(shù)_15已知函數(shù)，若成立，則實(shí)數(shù)_16已知函數(shù)，求的值17已知是二次函數(shù)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，且（1）求的解析式；（2）求曲線與曲線所圍成的圖形的面積18如圖，拋物線的方程為，則圖中陰影部分的面積可表示為AB|CD19設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系是ABCD20下列命題不正確的是A若是連續(xù)的奇函數(shù)，則B若是連續(xù)的偶函數(shù)，則C若在上連續(xù)且恒正，則D若在上連續(xù)且，則在上恒正21如圖，陰影區(qū)域是由函數(shù)的一段圖象與x軸圍成的封閉圖形，那么這個(gè)陰影區(qū)域的面積是ABCD22若，其中，則A BCD23已知是一次函數(shù)，若，則函數(shù)的解析式為ABCD24已知分段函數(shù)，則ABCD25已知，則_26如圖，由曲線，與直線，圍成的陰影部分的面積為_27（2014陜西理）定積分的值為ABCD28（2014山東理）直線在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為ABC2D429（2013湖北理）一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度（的單位：，的單位：）行駛至停止在此期間汽車?yán)^續(xù)行駛的距離（單位：）是ABCD1【答案】A【解析】由定積分定義及求曲邊梯形面積的四個(gè)步驟，可知定積分的大小與和積分區(qū)間有關(guān)，與的取法無關(guān)，故選A2【答案】B【解析】在區(qū)間上等間隔地插入個(gè)點(diǎn)，將它等分成個(gè)小區(qū)間1，2，所以第個(gè)區(qū)間為故選B4【答案】C【解析】由題可得故選C5【答案】C【解析】在同一坐標(biāo)系中畫出與的圖象如下圖所示，由圖可知當(dāng)時(shí)，的圖象在的圖象上方，由定積分的幾何意義可知故選C6【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，故選C7【答案】C【解析】利用定積分的性質(zhì)進(jìn)行判斷，選項(xiàng)C不成立例如，但故選C8【答案】B【解析】由題可得，故選B9【答案】D【解析】，故選D11【答案】【解析】根據(jù)定積分的性質(zhì)可得12【答案】【解析】13【答案】【解析】14【答案】【解析】，解得15【答案】或【解析】取，則，所以，所以，所以，即，解得或16【答案】【解析】如圖，可得，所以17【答案】（1）；（2）（2）由或，所以18【答案】C【解析】由圖形可知陰影部分的面積為，而，故選C19【答案】B【解析】由題可得，因?yàn)?，所以故選B20【答案】D【解析】對(duì)于A，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以軸上方的面積和軸下方的面積相等，故積分是0，A正確；對(duì)于B，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故圖象都在x軸下方或上方且面積相等， B正確；C顯然正確；對(duì)于D，可以小于0，但必須有大于0的部分，且的曲線圍成的面積比的曲線圍成的面積大，D不正確故選D21【答案】B【解析】根據(jù)余弦函數(shù)的對(duì)稱性可得，曲線從到與軸圍成的