計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)講義東北財(cái)經(jīng)大學(xué) 王維國計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)講義（第58章）.doc

用OLS法得到的估計(jì)模型通過統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)后，還要檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪欠駶M足假定條件。由2.1 節(jié)和3.1節(jié)知，只有模型的假定條件都滿足時(shí)，用OLS法得到的回歸系數(shù)估計(jì)量才具有最佳線性無偏特性。當(dāng)一個(gè)或多個(gè)假定條件不成立時(shí)，OLS估計(jì)量將喪失上述特性。第5-7章討論當(dāng)假定條件不成立時(shí)，對參數(shù)估計(jì)帶來的影響以及相應(yīng)的補(bǔ)救措施。 以下討論都是在某一個(gè)假定條件被違反，而其他假定條件都成立的情況下進(jìn)行。分為5個(gè)步驟。（1）回顧假定條件。（2）假定條件不成立時(shí)對模型參數(shù)估計(jì)帶來的影響。（3）定性分析假定條件是否成立。（4）檢驗(yàn)（定量分析）假定條件是否成立。（5）假定條件不成立時(shí)的補(bǔ)救措施。 本章介紹怎樣克服異方差。本章包括以下幾小節(jié)：同方差假定異方差表現(xiàn)與來源異方差的后果判別異方差異方差檢驗(yàn)克服異方差的方法（廣義最小二乘法）案例分析 第一節(jié) 同方差假定1 同方差假定模型的假定條件 給出Var(u) 是一個(gè)對角矩陣， (5.1)且u的方差協(xié)方差矩陣主對角線上的元素都是常數(shù)且相等，即每一誤差項(xiàng)的方差都是有限的相同值（同方差假定）；且非主對角線上的元素為零（非自相關(guān)假定），當(dāng)這個(gè)假定不成立時(shí)，Var(u) 不再是一個(gè)純量對角矩陣，表示如下。 (5.2) 當(dāng)誤差向量u的方差協(xié)方差矩陣主對角線上的元素不相等時(shí)，這意味著對應(yīng)不同的隨機(jī)變量，方差不同。此時(shí)，稱該隨機(jī)誤差系列存在異方差，即誤差向量u中的元素ut 取自不同的分布總體。非主對角線上的元素表示誤差項(xiàng)之間的協(xié)方差值。比如 W 中的 si j ,（i j）表示與第i組和第j組觀測值相對應(yīng)的ui與 uj的協(xié)方差。若 W 非主對角線上的部分或全部元素都不為零，誤差項(xiàng)就是自相關(guān)的。本章討論異方差。第6章討論自相關(guān)。第7章討論多重共線性及其他一些違反假定條件的情形。以兩個(gè)變量為例，同方差假定如圖5.1和5.2所示。對于每一個(gè)xt值，相應(yīng)ut的分布方差都是相同的。 圖5.1 同方差情形 圖5.2 同方差情形第二節(jié) 異方差表現(xiàn)與來源1 異方差表現(xiàn)與來源異方差通常有三種表現(xiàn)形式，（1）遞增型，（2）遞減型，（3）條件自回歸型。遞增型異方差見圖5.3和5.4。隨著解釋變量的增加，隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差越來越大。圖5.5為遞減型異方差，即隨著解釋變量的增加，隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差越來越小。圖5.6為條件自回歸型異方差。經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列中的異方差常表現(xiàn)為遞增型異方差。金融時(shí)間序列中的異方差常表現(xiàn)為自回歸條件異方差。 時(shí)間序列數(shù)據(jù)和截面數(shù)據(jù)中都有可能存在異方差。無論是時(shí)間序列數(shù)據(jù)還是截面數(shù)據(jù)。遞增型異方差的來源主要是因?yàn)殡S著解釋變量值的增大，被解釋變量取值的差異性增大。 圖5.3 遞增型異方差 圖5.4 遞增型異方差 圖5.5 遞減型異方差 圖5.6 條件自回歸型異方差第三節(jié) 異方差的后果1 異方差的后果下面以簡單線性回歸模型為例討論異方差對參數(shù)估計(jì)的影響。對模型 yt = b0 + b1 xt + ut (5.3)當(dāng)Var(ut) = st 2，為異方差時(shí)（st 2是一個(gè)隨時(shí)間或序數(shù)變化的量），回歸參數(shù)估計(jì)量仍具有無偏性和一致性。以為例 (5.4)但是回歸參數(shù)估計(jì)量不再具有有效性。以為例， (5.5)（在上式的推導(dǎo)中利用了ut的非自相關(guān)假定、xt與ut非相關(guān)假定）。上式不等號(hào)左側(cè)項(xiàng)分子中的st 2不是一個(gè)常量，不能從累加式中提出，所以不等號(hào)左側(cè)項(xiàng)不等于不等號(hào)右側(cè)項(xiàng)。而不等號(hào)右側(cè)項(xiàng)是同方差條件下b1的最小二乘估計(jì)量的方差。因此，異方差條件下的失去有效性。另外回歸參數(shù)估計(jì)量方差的估計(jì)是真實(shí)方差的有偏估計(jì)量。以為例，()是Var() 的有偏估計(jì)量。下面用矩陣形式討論異方差。因?yàn)镺LS估計(jì)量無偏性的證明只依賴于模型的一階矩，所以當(dāng)Var(u) 如（5.2）式所示時(shí)，OLS估計(jì)量仍具有無偏性和一致性。 E() = E (X X )-1 X Y = E (X X )-1 X (X b + u) = b + (X X)-1 X E(u) = b (5.6)但不具有有效性和漸近有效性。而且的分布將受到影響。 Var() = E (- b ) (- b ) = E (X X )-1 X u u X (X X)-1 = (X X)-1 X E (u u ) X (X X )-1= s 2 (X X )-1 X W X (X X )-1 (5.7)不等于s 2 (X X )-1，所以異方差條件下的是非有效估計(jì)量。第四節(jié) 判別異方差1 判別異方差對實(shí)際問題的分析，有時(shí)可以初步判別是否存在異方差。主要有三種方式。(1) 當(dāng)經(jīng)濟(jì)變量取值的差別隨時(shí)間或解釋變量的增大而變大時(shí)，容易出現(xiàn)異方差。如在個(gè)人支出與收入的關(guān)系中，投入與產(chǎn)出的關(guān)系中，常會(huì)存在異方差。(2) 利用散點(diǎn)圖也可以初步判斷是否存在異方差。如果兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖與圖5.4相類似時(shí)，說明存在異方差。(3) 也可以利用模型的殘差圖做初步判斷。如果模型的殘差圖如圖5.7相類似時(shí)，說明存在遞增型異方差。注意：對于截面樣本，當(dāng)用殘差圖觀測是否存在異方差時(shí)，必須先按解釋變量給樣本值排序。否則即使是有異方差，利用殘差圖也看不出來。圖5.7 殘差圖第五節(jié) 異方差檢驗(yàn)上一節(jié)介紹根據(jù)實(shí)際數(shù)據(jù)判別異方差。這一節(jié)介紹五種異方差的檢驗(yàn)方法。1 Goldfeld-Quandt檢驗(yàn)Goldfeld-Quandt 檢驗(yàn)由Goldfeld和Quandt 1965年提出。這種檢驗(yàn)的思想是以引起異方差的解釋變量的大小為順序，去掉中間若干個(gè)值，從而把整個(gè)樣本分為兩個(gè)子樣本。用兩個(gè)子樣本分別進(jìn)行回歸，并計(jì)算殘差平方和。用兩個(gè)殘差平方和構(gòu)造檢驗(yàn)異方差的統(tǒng)計(jì)量。具體步驟如下：Goldfeld-Quandt 檢驗(yàn)的零假設(shè)和備擇假設(shè)是 H0: ut 具有同方差H1: ut 具有遞增型異方差把原樣本分成兩個(gè)子樣本。具體方法是把成對（組）的觀測值按解釋變量的從小到大順序排列，略去m個(gè)處于中心位置的觀測值（通常T 30時(shí)，取m T / 4，余下的T- m個(gè)觀測值自然分成容量相等的兩個(gè)子樣本，容量各為 (T- m) / 2。如下所示。 用兩個(gè)子樣本分別估計(jì)回歸直線，并計(jì)算殘差平方和。相對于n2 和n1 的殘差平方和分別用SSE2（對應(yīng)于xt值比較大的子樣本）和SSE1（對應(yīng)于xt值比較小的子樣本）表示。構(gòu)造F統(tǒng)計(jì)量， (5.8)其中n2 = n1 為子樣本容量，k為原模型中被估參數(shù)個(gè)數(shù)。在H0成立條件下，F(xiàn) F( n2 - k, n1 - k) 根據(jù)實(shí)際情況分析，若不存在異方差，兩個(gè)子樣本對應(yīng)的殘差平方和應(yīng)該近似相等，即F值接近1。若存在遞增型異方差，則SSE2要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于SSE1，即F值很大。判別規(guī)則如下，若 F Fa (n2 - k, n1 - k) , 接受H0 （ut 具有同方差）若 F Fa (n2 - k, n1 - k) , 拒絕H0 （具有遞增型異方差）對于Goldfeld-Quandt 檢驗(yàn)應(yīng)該注意如下四點(diǎn)： 對于截面樣本，計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量之前，必須先把數(shù)據(jù)按解釋變量的值從小到大排序。 此法只適用于遞增型異方差。 Goldfeld-Quandt 檢驗(yàn)依賴于隨機(jī)誤差項(xiàng)服從正態(tài)分布。 當(dāng)摸型含有多個(gè)解釋變量時(shí)，應(yīng)以每一個(gè)解釋變量為基準(zhǔn)檢驗(yàn)異方差。2 Glejser檢驗(yàn)Glejser檢驗(yàn)由H. Glejser 1969年提出。檢驗(yàn)原回歸式的殘差的絕對值 | 是否與解釋變量xt的若干形式存在函數(shù)關(guān)系。若有，則說明存在該種形式的異方差；若無，則說明不存在異方差。通常給出的幾種形式是 | = a0 + a1 xt | = a0 + a1 xt2 | = a0 + a1 .如果哪一種形式的通過顯著性檢驗(yàn)，則說明存在該種形式的異方差。Glejser檢驗(yàn)的特點(diǎn)是：既可檢驗(yàn)遞增型異方差，也可檢驗(yàn)遞減型異方差。 一旦發(fā)現(xiàn)異方差，同時(shí)也就發(fā)現(xiàn)了異方差的具體表現(xiàn)形式。 計(jì)算量相對較大。當(dāng)原模型含有多個(gè)解釋變量值時(shí)，可以把 | 擬合成多變量回歸形式。3 White檢驗(yàn)White檢驗(yàn)由H. White 1980年提出。Goldfeld-Quandt 檢驗(yàn)必須先把數(shù)據(jù)按解釋變量的值從小到大排序。Glejser檢驗(yàn)通常要試擬合多個(gè)回歸式。White檢驗(yàn)不需要對觀測值排序，也不依賴于隨機(jī)誤差項(xiàng)服從正態(tài)分布，它是通過一個(gè)輔助回歸式構(gòu)造 c2 統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行異方差檢驗(yàn)。White檢驗(yàn)的具體步驟如下。以二元回歸模型為例，yt = b0 +b1 xt1 +b2 xt2 + ut (5.9)（1）首先對上式進(jìn)行OLS回歸，求殘差。（2）作如下輔助回歸式= a0 +a1 xt1 +a2 xt2 + a3 xt12 +a4 xt22 + a5 xt1 xt2 + vt (5.10)即用對原回歸式中的各解釋變量、解釋變量的平方項(xiàng)、交叉積項(xiàng)進(jìn)行OLS回歸。注意，上式中要保留常數(shù)項(xiàng)。求輔助回歸式(5.10)的可決系數(shù)R2。（3）White檢驗(yàn)的零假設(shè)和備擇假設(shè)是 H0: (5.9)式中的ut不存在異方差， H1: (5.9)式中的ut存在異方差（4）在不存在異方差假設(shè)條件下統(tǒng)計(jì)量 T R 2 c 2(5) (5.11)其中T表示樣本容量，R2是輔助回歸式(5.10)的OLS估計(jì)式的可決系數(shù)。自由度5表示輔助回歸式(5.10)中解釋變量項(xiàng)數(shù)（注意，不包括常數(shù)項(xiàng)）。（5）判別規(guī)則是若 T R 2 c2a (5), 接受H0 （ut 具有同方差）若 T R 2 c2a (5), 拒絕H0 （ut 具有異方差）4 自回歸條件異方差檢驗(yàn)異方差的另一種檢驗(yàn)方法稱作自回歸條件異方差 (ARCH) 檢驗(yàn)。這種檢驗(yàn)方法不是把原回歸模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)st 2 看作是xt 的函數(shù)，而是把st 2 看作隨機(jī)誤差平方項(xiàng)ut-12 及其滯后項(xiàng), ut-22 , 的函數(shù)。ARCH是誤差項(xiàng)二階矩的自回歸過程。恩格爾（Engle 1982）針對ARCH過程提出LM檢驗(yàn)法。輔助回歸式定義為= a0 + a1 + + a n (5.12)LM統(tǒng)計(jì)量定義為 LM = T R 2 c 2(n)其中R 2是輔助回歸式（5.12）的可決系數(shù)。在H0：a1 = = an = 0 成立條件下，LM漸近服從 c 2(n) 分布。其中n表示的滯后項(xiàng)個(gè)數(shù)。ARCH檢驗(yàn)的最常用形式是一階自回歸模型（n = 1）， = a0 + a1 在這種情形下，ARCH漸近服從 c 2(1) 分布。第六節(jié) 克服異方差的方法（廣義最小二乘法）1 直接用引起異方差的解釋變量除回歸式對模型 yt = b0 + b1 xt1 + b2 xt2 + ut (5.13)假定異方差形式是Var(ut) = (s xt1)2（因?yàn)閂ar(ut) = E(ut)2，相當(dāng)于認(rèn)為 | = s xt1）。用xt1同除上式兩側(cè)得 yt / xt1 = / xt1 + b2 xt2 / xt1 + ut / xt1 , (5.14)因?yàn)閂ar(ut / xt1) = (1/ xt12 ) Var(ut) = (1/ xt12 ) s 2 xt12 = s 2， (5.14) 式中的隨機(jī)項(xiàng) (ut / xt1) 是同方差的。對 (5.14) 式做OLS估計(jì)后，把回歸參數(shù)的估計(jì)值代入原模型 (5.9)。對 (5.14) 式應(yīng)用OLS法（求 S (/ xt1) 2 最?。┕烙?jì)參數(shù)。其實(shí)際意義是在求 S(/xt1)2 最小的過程中給相應(yīng)ut分布方差小的誤差項(xiàng)以大的權(quán)數(shù)，ut方差大的誤差項(xiàng)以小的權(quán)數(shù)。所以此法亦稱為加權(quán)最小二乘法，是GLS估計(jì)法的一個(gè)特例。下面以矩陣形式描述克服異方差。設(shè)模型為 Y = X b + u (5.15)其中E(u) = 0，Var(u) = E(u u) = s 2W。W 已知，b 與s 2未知。因?yàn)?W I，違反了假定條件，所以應(yīng)該對模型進(jìn)行適當(dāng)修正。 因?yàn)?W 是一個(gè)T 階正定矩陣，所以必存在一個(gè)非退化TT 階矩陣M使下式成立。 M W M = I TT (5.16)從上式得 M M = W -1 (5.17)用M左乘回歸模型(5.15)兩側(cè)得 M Y = M X b + M u (5.18)取Y* = M Y, X * = M X, u* = M u , 上式變換為 Y* = X*b + u* (5.19)則 u* 的方差協(xié)方差矩陣為Var(u*) = E(u* u* ) = E (M u u M ) = M s 2 W M = s 2 M W M = s 2 I (5.20)變換后模型(5.19)的Var(u*)是一個(gè)純量對角矩陣。對變換后模型(5.19)進(jìn)行OLS估計(jì)，得到的是 b 的最佳線性無偏估計(jì)量。這種估計(jì)方法稱作廣義最小二乘法。b 的廣義最小二乘 (GLS) 估計(jì)量定義為(GLS) = (X* X*)-1 X* Y* = (X M M X ) -1 X M M Y = (X W -1X) -1 X W -1Y (5.21)下面以異方差形式Var(ut) = s 2 xt2為例，具體介紹廣義最小二乘法變換結(jié)果。 (5.22)定義 (5.23)從而使Var(M u) = E (M u u M ) = M s 2 W M = s 2 M W M = s 2 I (TT) (5.24)即對于 (5.19) 式來說誤差項(xiàng)已消除了異方差。2 利用Glejser檢驗(yàn)結(jié)果消除異方差假設(shè)Glejser檢驗(yàn)結(jié)果是 | = +xt1說明異方差形式是Var(ut) = (+xt)2s2。用 (+xt) 除原模型 (5.9) 各項(xiàng), (5.25)則 = s2 (5.26)說明消除了異方差。對 (5.25) 式做OLS估計(jì)，把回歸參數(shù)的估計(jì)值代入原模型 (5.9)。在實(shí)際應(yīng)用中，通過對變量取對數(shù)的方法常常能達(dá)到消除異方差的目的。詳細(xì)請見本章后面的案例。 3 通過對變量取對數(shù)消除異方差在實(shí)際應(yīng)用中，通過對變量取對數(shù)的方法常常能達(dá)到消除異方差的目的。詳細(xì)請見本章后面的案例。 第七節(jié) 案例分析案例1取1986年中國29個(gè)省市自治區(qū)農(nóng)作物種植業(yè)產(chǎn)值yt（億元）和農(nóng)作物播種面積xt（萬畝）數(shù)據(jù)（見表5.1）研究二者之間的關(guān)系。得估計(jì)的線性模型如下， yt = -5.6610 + 0.0123 xt (5.27) (12.4) R2 = 0.85, F = 155.0, T = 29表5.1 yt和xt數(shù)據(jù)序號(hào)yt農(nóng)作物產(chǎn)值xt農(nóng)作物播種面積序號(hào)yt農(nóng)作物產(chǎn)值xt農(nóng)作物播種面積116.31907.516183.6517729.2217.14873.217146.7911061.53125.2413159.218129.6311304.7442.245928.119154.289166.2540.286834.42061.246821.7684.475495.521206.517779.6770.76055.22244.374701.38101.6712694.62351.796036.1916.831018.5243.53316.510211.5112770.92559.457016.5111016542.72637.295252.512155.8712244.3276.33761.71349.723601.52810.071235.21469.78158.12944.784275.115255.9216564.5圖5.8 農(nóng)作物產(chǎn)值yt和播種面積xt散點(diǎn)圖 圖5.9 （5.27）式的殘差圖 無論是從yt和xt觀測值的散點(diǎn)圖（見圖5.8）還是模型的殘差圖（見圖5.9）都可以發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中存在遞增型異方差。（1）用Goldfeld-Quandt方法檢驗(yàn)是否存在異方差。 首先對成對樣本數(shù)據(jù)（yt，xt）按xt取值大小排序。表5.2 按xt取值從小到大排序的成對yt和xt數(shù)據(jù)序號(hào)yt農(nóng)作物產(chǎn)值xt農(nóng)作物播種面積序號(hào)yt農(nóng)作物產(chǎn)值xt農(nóng)作物播種面積13.53316.51661.246821.726.33761.71740.286834.4317.14873.21859.457016.5416.31907.51969.78158.1516.831018.520154.289166.2610.071235.221146.7911061.5749.723601.522129.6311304.7844.784275.123155.8712244.3944.374701.324101.6712694.61037.295252.525211.5112770.91184.475495.526125.2413159.21242.245928.127255.9216564.51351.796036.128183.6517729.21470.76055.229206.517779.6151016542.7 去掉中間7個(gè)數(shù)據(jù)，則按xt取值大小分成樣本容量各為11的兩個(gè)子樣本。 用兩個(gè)子樣本(x1, , x11)，(x19, , x29)，各自回歸得結(jié)果如下，yt = 2.7202 + 0.0106 xt , (t = 1, , 11) (5.28) (5.8) R2 = 0.80, F = 33.8, SSE1 = 1266yt = 5.8892 + 0.0118 xt , (t = 19, , 29) (5.29) (3.0) R2 = 0.50, F = 9.1, SSE2 = 14174計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量， 因?yàn)镕 = 11.2 F0.05 (9, 9) = 3.18，所以檢驗(yàn)結(jié)果是（5.27）式存在遞增型異方差。 注意：如果不對表5.1中成對樣本數(shù)據(jù)（yt，xt）按xt取值大小排序。則殘差圖中觀察不到異方差（見圖5.10）。圖5.10 殘差圖（2） 用Glejser法檢驗(yàn)異方差用 (5.27) 式的殘差的絕對值對xt回歸得| | = 0.0024 xt (5.30) (8.0) R2 = 0.22輸出結(jié)果見表5.3。表5.3 （5.30）式的計(jì)算機(jī)輸出形式 注：REABS表示| |?？梢娬`差項(xiàng)的異方差形式是Var(ut) = E(ut)2 = (0.0024)2 xt2。（3）用White方法檢驗(yàn)異方差首先用(5.27)式中的殘差做如下輔助回歸= a0 +a1 xt + a3 xt2 + vt OLS估計(jì)結(jié)果是= -219.7 + 0.1595 xt 0.000055 xt2 (-0.5) (1.5) (-0.6) R2 = 0.27， T = 29注意，主要是利用上式的可決系數(shù)計(jì)算White檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，所以不必注重上式中的t值。計(jì)算機(jī)輸出形式見表5.4。EViews中有White檢驗(yàn)計(jì)算程序。獲得表5.4結(jié)果的操作是在（5.27）式估計(jì)窗口的功能鍵中選View, Residual Tests, White Heteroskedasticity (no cross trms)。表5.4 （5.31）式的計(jì)算機(jī)輸出形式計(jì)算統(tǒng)計(jì)量 T R 2 = 29 0.2765 = 8.02因?yàn)門 R 2 = 8.02 c20.05 (2) = 5.99，所以模型（5.27）中存在異方差。以上三種檢驗(yàn)方法的檢驗(yàn)結(jié)果都認(rèn)為（5.27）式存在異方差。下面克服異方差。（1）用取對數(shù)的方法消除異方差對yt和xt同取對數(shù)。得兩個(gè)新變量Lnyt 和Lnxt（散點(diǎn)圖見圖5.11）。用Lnyt 對Lnxt 回歸，得 Lnyt = - 4.1801 + 0.9625 Lnxt (5.31)(16.9) R2 = 0.91, F = 285.6, (t = 1, , 29) 圖5.11 Ln yt和 Ln xt 圖5.12 殘差圖用Goldfeld-Quandt方法檢驗(yàn)(5.31)式是否存在異方差。對數(shù)據(jù)（Lnyt，Lnxt）按Lnxt從小到大排序。去掉中間7個(gè)觀測值，仍按xt大小分成兩個(gè)T = 11的子樣本，并回歸（結(jié)果略）得SSE1 = 1.17，SSE2 = 0.65，計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量的值， 因?yàn)?.56小于F0.05 (9, 9) = 3.18，所以取對數(shù)后，模型中已不存在遞增型異方差（殘差見圖5.12）。（2）用Glejser檢驗(yàn)結(jié)果克服異方差。因?yàn)楫惙讲钚问绞莬 | = 0.0024 xt，所以克服異方差的方法是用xt分別除(5.27) 式兩側(cè)，得變換變量yt* = yt / xt，xt* = 1 / xt。用yt* 對xt* 回歸（見圖5.13），得 yt* = 0.0113 + 0.8239 xt* (5.32) (13.8) (0.8) R2 = 0.63, F = 46.1圖5.13 yt* 和 xt* 圖5.14 殘差圖 注意，回歸系數(shù)0.8239沒有顯著性，截距項(xiàng)0.0113卻有很強(qiáng)的顯著性，而0.0113正是還原后模型的回歸系數(shù)，所以模型通過檢驗(yàn)。用xt乘（5.32）式兩側(cè)并整理得 yt = 0.8239 + 0.0113 xt (5.33) (0.8) (13.8) R2 = 0.63, F = 46.1由(5.33) 式得到的殘差見圖5.14。經(jīng)檢驗(yàn)已不存在異方差。(5.33) 式，即 (5.32) 式中的回歸參數(shù)具有最佳線性無偏特性。比較(5.27)和 (5.33) 式，雖然0.0113和0.0123相差不多，但從估計(jì)原理分析，0.0113有更大的可能性比0.0123離回歸參數(shù)真值近。通過這個(gè)例子說明，在實(shí)際中直接用解釋變量除原變量的變換方法克服異方差是可行的。 本章包括以下幾小節(jié)：非自相關(guān)假定一階自相關(guān)自相關(guān)的來源與后果自相關(guān)檢驗(yàn)克服自相關(guān)克服自相關(guān)的矩陣描述自相關(guān)系數(shù)的估計(jì)案例分析第一節(jié) 非自相關(guān)假定1 非自相關(guān)假定由第2章知回歸模型的假定條件之一是， Cov(ui, uj ) = E(ui uj) = 0, (i, j T, i j) (6.1)即誤差項(xiàng)ut的取值在時(shí)間上是相互無關(guān)的。稱誤差項(xiàng)ut非自相關(guān)。如果 Cov (ui , uj ) 0, (i j)則稱誤差項(xiàng)ut存在自相關(guān)。自相關(guān)又稱序列相關(guān)。原指一隨機(jī)變量在時(shí)間上與其滯后項(xiàng)之間的相關(guān)。這里主要是指回歸模型中隨機(jī)誤差項(xiàng)ut與其滯后項(xiàng)的相關(guān)關(guān)系。自相關(guān)也是相關(guān)關(guān)系的一種。第二節(jié) 一階自相關(guān)自相關(guān)按形式可分為兩類。1 一階自回歸形式當(dāng)誤差項(xiàng)ut只與其滯后一期值有關(guān)時(shí)，即ut = f (ut - 1),稱ut具有一階自回歸形式。2 高階自回歸形式當(dāng)誤差項(xiàng)ut的本期值不僅與其前一期值有關(guān)，而且與其前若干期的值都有關(guān)系時(shí)，即ut = f (ut 1, u t 2 , ),則稱ut具有高階自回歸形式。 通常假定誤差項(xiàng)的自相關(guān)是線性的。因計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型中自相關(guān)的最常見形式是一階自回歸形式，所以下面重點(diǎn)討論誤差項(xiàng)的線性一階自回歸形式，即 ut = a1 ut -1 + vt (6.2)其中a1是自回歸系數(shù)，vt 是隨機(jī)誤差項(xiàng)。vt 滿足通常假設(shè) E(vt ) = 0, t = 1, 2 , T, Var(vt) = sv2, t = 1, 2 , T, Cov(vi, vj ) = 0, i j, i, j = 1, 2 , T, Cov(ut-1, vt) = 0, t = 1, 2 , T,依據(jù)普通最小二乘法公式，模型（6.2）中 a1 的估計(jì)公式是， (6.3)其中T是樣本容量。若把ut, u t-1看作兩個(gè)變量，則它們的相關(guān)系數(shù)是 (6.4)對于大樣本顯然有 (6.5)把上關(guān)系式代入（6.4）式得 (6.6)因而對于總體參數(shù)有 r = a1，即一階自回歸形式的自回歸系數(shù)等于該二個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)。因此原回歸模型中誤差項(xiàng)ut的一階自回歸形式（見模型（6.2）可表示為， ut = r ut-1 + vt. (6.7)由1.11.3節(jié)知r 的取值范圍是 -1，1。當(dāng) r 0 時(shí)，稱ut 存在正自相關(guān)；當(dāng) r 0時(shí)，稱ut存在負(fù)自相關(guān)。當(dāng) r = 0時(shí)，稱ut不存在自相關(guān)（非自相關(guān)）。圖6.1 a, c, e, 分別給出具有非自相關(guān)，正自相關(guān)和負(fù)自相關(guān)的三個(gè)序列。為便于理解時(shí)間序列的正負(fù)自相關(guān)、非自相關(guān)特征，圖6.1 b, d, f, 分別給出圖6.1 a, c, e, 中變量對其一階滯后變量的散點(diǎn)圖。這三個(gè)散點(diǎn)圖展示正負(fù)自相關(guān)以及非自相關(guān)性則非常明顯。 比較圖6.1 a, c, e，可以看出，當(dāng)時(shí)間序列頻繁穿越均值點(diǎn)（圖中為零）時(shí)（見圖6.1 e，幾乎每一期值都改變一次符號(hào)），序列存在負(fù)自相關(guān)。當(dāng)時(shí)間序列緩慢地穿越均值點(diǎn)時(shí)，見圖6.1 c，序列存在正自相關(guān)。當(dāng)序列穿越均值點(diǎn)的頻率適中時(shí)，見圖6.1 a，序列為非自相關(guān)。 a. 非自相關(guān)的序列圖 b. 非自相關(guān)的散點(diǎn)圖 c. 正自相關(guān)的序列圖 d. 正自相關(guān)的散點(diǎn)圖 e. 負(fù)自相關(guān)的序列圖 f. 負(fù)自相關(guān)的散點(diǎn)圖圖6.1時(shí)間序列及其當(dāng)期與滯后一期變量的散點(diǎn)圖下面推導(dǎo)當(dāng)誤差項(xiàng)ut為一階自回歸形式時(shí)，ut 的期望、方差與協(xié)方差公式。由(6.7)式有 E(ut) = E(r ut -1 + vt) = r E(ut -1) + E(vt) (6.8)因?yàn)閷τ谄椒€(wěn)序列有E(ut) = E(ut -1)，整理上式得 E(ut) = E(vt) / (1- r 2 ) = 0Var(ut) = E(ut)2 = E(r ut -1 + vt)2 = E(r2 ut 12 + vt2 + 2r ut -1 vt )2 = r2 Var(ut-1) +sv2整理上式得Var(ut) = su2 = sv2 / (1- r 2 ) (6.9)Cov(ut, ut-1) = E(ut ut-1) = E(r ut -1 + vt) ut-1) = r Var(ut-1) = rsu2 (6.10)同理 Cov(ut, ut-s) = r s Var(ut) = r s su2, (s 0 ) (6.11)令u = (u1 u2 u3 uT),則由公式（6.9），（6.10），（6.11）得 (6.12)其中su2 = sv2 / (1 - r 2 )。從而驗(yàn)證了當(dāng)回歸模型的誤差項(xiàng)ut存在一階自回歸形式時(shí)，Cov(ui, uj) 0。同理也可證明當(dāng)ut 存在高階自回歸形式時(shí)，仍有Cov(ui, uj) 0。注意，（1）這里主要是指時(shí)間序列中的自相關(guān)。（2）經(jīng)濟(jì)問題中的時(shí)間序列自相關(guān)主要表現(xiàn)為正自相關(guān)（原因見6.3節(jié)）。第三節(jié) 自相關(guān)的來源與后果1 自相關(guān)的來源與后果回歸模型的誤差項(xiàng)存在自相關(guān)，主要有如下幾個(gè)原因。 (1) 模型的數(shù)學(xué)形式不妥。若所用的數(shù)學(xué)模型與變量間的真實(shí)關(guān)系不一致，誤差項(xiàng)常表現(xiàn)出自相關(guān)。比如平均成本與產(chǎn)量呈拋物線關(guān)系，當(dāng)用線性回歸模型擬合時(shí)，誤差項(xiàng)必存在自相關(guān)。 (2) 慣性。大多數(shù)經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列本身都存在自相關(guān)。其本期值往往受滯后值影響。突出特征就是慣性與低靈敏度。如國民生產(chǎn)總值，固定資產(chǎn)投資，國民消費(fèi)，物價(jià)指數(shù)等隨時(shí)間緩慢地變化，從而建立回歸模型時(shí)導(dǎo)致隨機(jī)誤差項(xiàng)自相關(guān)。 (3) 回歸模型中略去了帶有自相關(guān)的重要解釋變量。若丟掉了應(yīng)該列入模型的帶有自相關(guān)的重要解釋變量，那么它的影響必然歸并到誤差項(xiàng)ut中，從而使誤差項(xiàng)呈現(xiàn)自相關(guān)。當(dāng)然略去多個(gè)帶有自相關(guān)的解釋變量，也許因互相抵消并不使誤差項(xiàng)呈現(xiàn)自相關(guān)。當(dāng)誤差項(xiàng)ut 存在自相關(guān)時(shí)，模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)量具有如下特性。(1) 只要假定條件Cov(X u) = 0 成立，回歸系數(shù) 仍具有無偏性。 E() = E (X X )-1 X Y = E (X X )-1 X (X b + u) . = b + (X X)-1 X E(u) = b(2) 喪失有效性。 Var() = E (- b ) (- b ) = E (X X )-1 X u u X (X X)-1 = (X X)-1 X E (u u ) X (X X )-1= (X X )-1 X W X (X X )-1 (6.13)不等于模型符合假定條件下的的方差s 2 (X X )-1。在模型存在自相關(guān)條件下，用OLS法估計(jì)的ut的方差常常會(huì)低估其真實(shí)的方差，也即低估了回歸參數(shù)估計(jì)量的方差。這等于夸大了回歸參數(shù)的抽樣精度，高估了統(tǒng)計(jì)量t的值，從而導(dǎo)致把不重要的解釋變量保留在模型里，使顯著性檢驗(yàn)失去意義。 由于ut 存在自相關(guān)時(shí)，誤差項(xiàng)和回歸參數(shù)估計(jì)量的估計(jì)方差都變大，都不具有最小方差性。所以用依據(jù)OLS法得到的回歸方程去預(yù)測，預(yù)測量不具有有無效性。第四節(jié) 自相關(guān)檢驗(yàn)下面介紹自相關(guān)的判別與檢驗(yàn)方法。1 圖示法圖示法就是依據(jù)殘差對時(shí)間t的序列圖作出判斷。由于殘差是對誤差項(xiàng)ut 的估計(jì)，所以盡管誤差項(xiàng)ut 觀測不到，但可以通過殘差的變化判斷誤差項(xiàng)ut 是否存在自相關(guān)。圖示法的具體步驟是，(1) 用給定的樣本估計(jì)回歸模型，計(jì)算殘差, (t = 1, 2, T)，繪制殘差圖；(2) 分析殘差圖。若殘差圖與圖6.1 a 類似，則說明ut 不存在自相關(guān)；若與圖6.1 c類似，則說明ut 存在正自相關(guān)；若與圖6.1 e 類似，則說明ut存在負(fù)自相關(guān)。經(jīng)濟(jì)變量由于存在慣性，不可能表現(xiàn)出如圖6.1 c那樣的震蕩式變化。其變化形式常與圖6.1 c 相類似，所以經(jīng)濟(jì)變量的變化常表現(xiàn)為正自相關(guān)。2 DW（Durbin-Watson）檢驗(yàn)法DW檢驗(yàn)是J. Durbin和G. S. Watson于1951年提出的。它是利用殘差構(gòu)成的統(tǒng)計(jì)量推斷誤差項(xiàng)ut 是否存在自相關(guān)。DW檢驗(yàn)只適用于檢驗(yàn)誤差項(xiàng)是否存在一階自相關(guān)情形。DW檢驗(yàn)步驟如下。給出假設(shè)H0: r = 0 (ut 不存在一階自相關(guān))H1: r 0 (ut 存在一階自相關(guān))用估計(jì)的回歸方程的殘差值計(jì)算統(tǒng)計(jì)量DW。DW定義如下， (6.14)其中分子是殘差的一階差分平方和，分母是殘差平方和。把上式展開， (6.15)因?yàn)橛?(6.16)代入（6.15）式， (6.17)因?yàn)?r 的取值范圍是 -1, 1，所以DW統(tǒng)計(jì)量的取值范圍是 0, 4。r 與DW值的對應(yīng)關(guān)系見表6.1。 表6.1 r 與DW值的對應(yīng)關(guān)系及意義rDW ut的表現(xiàn)r = 1DW = 0ut完全正自相關(guān)r = 0DW = 2ut非自相關(guān)r = -1DW = 4ut完全負(fù)自相關(guān)0 r 10 DW 2ut有某種程度的正自相關(guān)-1 r 02 DW 4ut有某種程度的負(fù)自相關(guān)實(shí)際中DW = 0, 2, 4 的情形是很少見的。當(dāng)DW取值在（0, 2），（2, 4）之間時(shí)，怎樣判別誤差項(xiàng)ut 是否存在自相關(guān)呢？推導(dǎo)統(tǒng)計(jì)量DW的精確抽樣分布是困難的，因?yàn)镈W是依據(jù)殘差計(jì)算的，而的值又與xt的形式有關(guān)。DW檢驗(yàn)與其它統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)不同，它沒有惟一的臨界值用來制定判別規(guī)則。然而Durbin-Watson根據(jù)樣本容量和被估參數(shù)個(gè)數(shù)，在給定的顯著性水平下，給出了檢驗(yàn)用的上、下兩個(gè)臨界值dU和dL 。判別規(guī)則如下： (1) 若DW取值在（0, dL）之間，拒絕原假設(shè)H0 ,認(rèn)為ut 存在一階正自相關(guān)。(2) 若DW取值在（4 - dL , 4）之間，拒絕原假設(shè)H0 ,認(rèn)為ut 存在一階負(fù)自相關(guān)。(3) 若DW取值在（dU, 4- dU）之間，接受原假設(shè)H0 ,認(rèn)為ut 非自相關(guān)。(4) 若DW取值在（dL, dU）或（- dU, 4 - dL）之間，這種檢驗(yàn)沒有結(jié)論，即不能判別ut 是否存在一階自相關(guān)。判別規(guī)則可用圖6.2表示。 圖6.2 DW取值范圍與自相關(guān)性當(dāng)DW值落在“不確定”區(qū)域時(shí)，有兩種處理方法。（1）加大樣本容量或重新選取樣本，重做DW檢驗(yàn)。有時(shí)DW值會(huì)離開不確定區(qū)。（2）選用其它檢驗(yàn)方法。附表5（DW檢驗(yàn)表）給出DW檢驗(yàn)臨界值。DW檢驗(yàn)臨界值與三個(gè)參數(shù)有關(guān)。（1）檢驗(yàn)水平a，（2）樣本容量T , （3）原回歸模型中解釋變量個(gè)數(shù)k（不包括常數(shù)項(xiàng)）。注意：（1）因?yàn)镈W統(tǒng)計(jì)量是以解釋變量非隨機(jī)為條件得出的，所以當(dāng)有滯后的內(nèi)生變量作解釋變量時(shí)，DW檢驗(yàn)無效。（2）DW統(tǒng)計(jì)量不適用于高階自相關(guān)檢驗(yàn)。（3）DW統(tǒng)計(jì)量不適用于聯(lián)立方程模型中各方程的序列自相關(guān)檢驗(yàn)。3 BG檢驗(yàn)法（亦稱LM檢驗(yàn)） DW統(tǒng)計(jì)量只適用于一階自相關(guān)檢驗(yàn)，而對于高階自相關(guān)檢驗(yàn)并不適用。利用BG統(tǒng)計(jì)量可建立一個(gè)適用性更強(qiáng)的自相關(guān)檢驗(yàn)方法，既可檢驗(yàn)一階自相關(guān)，也可檢驗(yàn)高階自相關(guān)。BG檢驗(yàn)由Breusch-Godfrey提出。 對于多元回歸模型yt = b0 + b1x1 t + b2 x2 t + + b k 1 x k-1 t + ut (6.18)考慮誤差項(xiàng)為n階自回歸形式 ut = r1 ut-1 + + rn ut - n + vt (6.19)其中vt 為隨機(jī)項(xiàng)，符合各種假定條件。零假設(shè)為 H0: r1 = r2 = = rn = 0這表明ut不存在n階自相關(guān)。用估計(jì)（6.18）式得到的殘差建立輔助回歸式， (6.20)上式中的是（6.18）式中ut的估計(jì)值。估計(jì)上式，并計(jì)算可決系數(shù)R2。構(gòu)造LM統(tǒng)計(jì)量， LM = T R2 (6.21)其中T表示樣本容量。R2為（6.20）式的可決系數(shù)。在零假設(shè)成立條件下，LM統(tǒng)計(jì)量近似服從 c2(n) 分布。其中n為（6.19）式中自回歸階數(shù)。如果零假設(shè)成立，LM統(tǒng)計(jì)量的值將很小，小于臨界值。4 回歸檢驗(yàn)法回歸檢驗(yàn)法的步驟如下：（1）用給定樣本估計(jì)模型并計(jì)算殘差。（2）對殘差序列, (t = 1 ,2 , , T ) 用