【教學(xué)設(shè)計】《球》(數(shù)學(xué)北師大必修二)_第1頁
【教學(xué)設(shè)計】《球》(數(shù)學(xué)北師大必修二)_第2頁
【教學(xué)設(shè)計】《球》(數(shù)學(xué)北師大必修二)_第3頁
【教學(xué)設(shè)計】《球》(數(shù)學(xué)北師大必修二)_第4頁
【教學(xué)設(shè)計】《球》(數(shù)學(xué)北師大必修二)_第5頁
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球教學(xué)設(shè)計本課時編寫:崇文門中學(xué) 高巍巍教材分析: 教材基于學(xué)生已有的對空間幾何體體積的知識基礎(chǔ),通過提供直觀形象的觀察和推導(dǎo),了解推導(dǎo)過程中基本的數(shù)學(xué)思想方法“分割、求和、化為準(zhǔn)確和”,進(jìn)一步得出球的表面積、體積公式.球是重要的幾何體,需要研究、分析、應(yīng)用,而且可以先滲透極限思想,對微積分有初步的認(rèn)識和了解.教學(xué)目標(biāo):【知識與能力目標(biāo)】1. 通過對球的表面積、體積公式的推導(dǎo),了解推導(dǎo)過程中基本的數(shù)學(xué)思想方法“分割、求和、化為準(zhǔn)確和”,有利于同學(xué)進(jìn)一步學(xué)習(xí)微積分知識和近代數(shù)學(xué)知識;2. 能運(yùn)用球的表面積、體積計算公式進(jìn)行計算和解決有關(guān)實際問題;3. 培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和思維能力.【過程與方法】1. 學(xué)生研究體會球表面積、體積關(guān)系變化過程,滲透極限思想;2. 學(xué)生通過學(xué)習(xí)能增強(qiáng)空間想象能力.【情感態(tài)度與價值觀】通過學(xué)習(xí),學(xué)生感受到幾何體體積的求解過程,對自己空間思維能力影響,從而增強(qiáng)學(xué)習(xí)的積極性.教學(xué)重難點: 【教學(xué)重點】球的表面積、體積.【教學(xué)難點】球的表面積、體積公式推導(dǎo). 課前準(zhǔn)備: 課件、學(xué)案、實物模型. 教學(xué)過程: 一、課題引入:下面的物體呈什么形狀? 問題1:還有什么物體給我們球的形象呢?問題2:球可以由平面圖形怎么得到呢?問題3:它也有表面積和體積,那么它的表面積和體積是什么?如何得到呢? 那我們就先一起來研究球的體積吧.二、新課探究:1球的概念:半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做球面球面所圍成的幾何體,叫做球體,簡稱球球的各個元素(如圖所示):(1)球心;(2)球的半徑;(3)球的直徑.O直徑半徑球心2.球的體積:球的體積現(xiàn)在不知道怎么求,那如何把未知的轉(zhuǎn)化成已知呢?那可以考慮將球拆分嗎?如果用一組等距離的平面去切割球,當(dāng)距離很小時得到很多“小圓片”, “小圓片”的體積之和正好是球的體積.由于“小圓片”近似于圓柱形狀,所以它的體積也近似于相應(yīng)圓柱的體積,因此求球的體積可以按“分割、求和、化為準(zhǔn)確和”的方法來進(jìn)行. 步驟: 如圖,把半球垂直于底面的半徑OA作n等分,過這些等分點,用一組平行于底面的平面把半球切割成n個“小圓片”, “小圓片”的厚度近似為,底面是“小圓片”的下底面. 由勾股定理可得第i層(由下向上數(shù))“小圓片”的下底面半徑: ()第i層“小圓片”的體積為:,() 半球的體積:1(1)(1)1n(注:)n)=當(dāng)所分的層數(shù)不斷增加,也就是說,當(dāng)n不斷變大時,式越來越接近于半球的體積,如果n無限變大,就能由式推出半徑的體積.事實上,n增大,就越來越小,當(dāng)n無限大時,趨向于0,這時,有,所以,半徑為R的球的體積為: 球的體積:.(R為球的半徑) 同樣方法思路推導(dǎo)球的表面積3.球的表面積: 球的表面積:.(R為球的半徑)【設(shè)計意圖】這個公式的推導(dǎo)難度較大,所以只試著推導(dǎo)一個體積公式,表面積公式不再做推導(dǎo),思路方法基本相同,只作為了解,不需要完全理解掌握,只要滲透分割、極限的數(shù)學(xué)思想方法即可.球的體積、表面積的公式應(yīng)用才是這節(jié)課的重點.4.球的截面問題:用一個平面去截一個球,截面是圓面:(1)球心和截面圓心的連線垂直于截面;(2)球心到截面的距離d與球的半徑r,有下面的關(guān)系:da OOdRrP球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做球的大圓,被不經(jīng)過球心的平面截得的圓叫做球的小圓知識拓展:過南北極的半大圓是經(jīng)線,平行于赤道的小圓是緯線球面上兩點之間的最短距離,就是經(jīng)過兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧的長度,我們把這個弧長叫做兩點的球面距離.5.正方體的內(nèi)切球和外接球 正方體的內(nèi)切球:正方體的邊長為球直徑設(shè)正方體邊長為,球的半徑為. 正方體的外接球:正方體的體對角線為球的直徑設(shè)正方體邊長為,球的半徑為.三、知識應(yīng)用:題型一計算球的體積、表面積問題例1. (1) 已知球的半徑為2cm,求這個球的體積、表面積.解: (2) 已知球的表面積為,求球的半徑及體積. 解: , 則 , .【設(shè)計意圖】 通過題目的練習(xí)更加好的理解記憶公式并使用,可以更靈活的應(yīng)用.例2. 如圖所示,圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑,求證:(1) 球的體積等于圓柱體積的;(2) 球的表面積等于圓柱的側(cè)面積證明:(1)設(shè)球的半徑為R,則圓柱的底面半徑為R,高為2R.則有,所以.(2)因為,所以.22主視圖俯視圖左視圖2題型二三視圖中的球例3. 一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為( )A B C D 解:正方體和球組成,球半徑為1,.【設(shè)計意圖】高考中將三視圖和表面積體積問題經(jīng)常合一考查, 所以這一類問題是重點. 題型三正方體外接球與內(nèi)切球例4. (1) 若一個球內(nèi)切于棱長為的正方體內(nèi),則該球的表面積為;體積為(2) 一個正方體的頂點都在球面上,它的棱長是,則球的表面積為;體積為 (3) 一個長方體的各頂點均在同一球的球面上,且一個頂點上的三條棱的長分別為,則此球的表面積為;體積為解:(1) ,則,(2) ,則,.(3) 同理正方體思考,體對角線為球直徑,. 則,. 【設(shè)計意圖】理解一般情況后,請同學(xué)舉例特殊值計算,或者反球.最重要的明確棱長與球半徑間的關(guān)系,自然找到解決辦法. 請同學(xué)思考正四面體內(nèi)切球及外接球.題型四球的截面問題例5. 若與球心距離為4的平面截球所得的截面圓的面積是9,求球的表面積. 解:與球心距離為4的平面截球所得的截面圓的面積是9,d=4時,r=3故R=5球的表面積S=4R2=100.題型五計算球表面積、體積的實際問題例6.一個圓柱形的玻璃瓶的內(nèi)半徑為3cm,瓶里所裝的水深為8cm,將一個鋼球完全浸入水中,瓶中水的高度上升到8.5cm,求鋼球的半徑.解:設(shè)鋼球的半徑為R,由題意得:,解得,

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