高考數(shù)學(xué) 6.1不等關(guān)系與不等式配套課件 文 新人教A版.ppt

第六章不等式 推理與證明第一節(jié)不等關(guān)系與不等式 1 兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的法則 a b 0 a b 0 a b 0 2 不等式的基本性質(zhì) b a a c a c b c a c b d ac bd an bn 3 不等式的倒數(shù)性質(zhì) 1 a b ab 0 2 a 0 b 3 a b 0 0 c d 4 0 a x b或a x b 0 判斷下面結(jié)論是否正確 請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打 或 1 在一個(gè)不等式的兩邊同乘以一個(gè)非零實(shí)數(shù) 不等式仍然成立 2 同向不等式具有可加性和可乘性 3 若兩個(gè)數(shù)的比值大于1 那么分子就大于分母 4 一個(gè)數(shù)越大 它的倒數(shù)不一定越小 5 當(dāng)x 3時(shí) 一定有 解析 1 錯(cuò)誤 在一個(gè)不等式的兩邊同乘以一個(gè)正數(shù)時(shí) 不等式仍然成立 同乘以一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)不等號(hào)改變方向 2 錯(cuò)誤 同向不等式具有可加性 但不一定具有可乘性 3 錯(cuò)誤 只有當(dāng)分子和分母都是正數(shù)時(shí) 這個(gè)結(jié)論才成立 4 正確 例如 2 3應(yīng)該得到或答案 1 2 3 4 5 1 若a 0 1 b 0 那么下列不等式中正確的是 a a ab2 ab b ab2 a ab c a ab ab2 d ab2 ab a 解析 選a 因?yàn)?1 b 0 所以b 0 b2 1 于是a ab2 ab 2 若a 1 b 下列不等式中不一定成立的是 a a b 1 b b a 1 b 1 c a 1 1 b d 1 a b a 解析 選c 由a 1知a b 1 b 故a正確 由a b知a 1 b 1 故b正確 由1 b知1 a b a 故d正確 c項(xiàng)錯(cuò)誤 如當(dāng)a 3 b 3時(shí)不成立 3 x y2 d x2 解析 選b 由不等式的性質(zhì)知 當(dāng)x 2且y 2時(shí)必有x y 4 但當(dāng)x y 4時(shí) 不一定有x 2且y 2 如當(dāng)x 1 y 2時(shí)就不成立 4 與的大小關(guān)系是 解析 因?yàn)槎约创鸢?5 已知 2 a 1 3 b 2 則a b的取值范圍是 a2 b2的取值范圍是 解析 因?yàn)?2 a 1 3 b 2 所以2 b 3 于是0 a b 2 又因?yàn)? a2 4 4 b2 9 所以5 a2 b2 13 答案 0 2 5 13 考向1用不等式 組 表示不等關(guān)系 典例1 1 2013 廣州模擬 一個(gè)課外研究小組中男生人數(shù)為x人 女生人數(shù)為y人 要求該小組人員總數(shù)不得超過(guò)10人 男女生人數(shù)都不得低于3人 則這些關(guān)系用不等式組表示為 2 某學(xué)生三次數(shù)學(xué)測(cè)試的成績(jī)互不相同 記為a1 a2 a3 且a1 a2 a3 如果去掉最低分求平均分 則平均分提高了 如果去掉最高分求平均分 則平均分降低了 這個(gè)事實(shí)可以用不等式表示為 思路點(diǎn)撥 1 根據(jù)問(wèn)題對(duì)人數(shù)的要求列出各個(gè)不等式組成不等式組即可 2 根據(jù)采取去分措施前后平均分的變化情況與原來(lái)的平均分的大小得出不等式 規(guī)范解答 1 選a 根據(jù)要求題目中的關(guān)系可知x y 10 x 3 y 3且x y都是自然數(shù) 可以用選項(xiàng)a中的不等式組表示 2 選a 去掉最高分后的平均分為三次成績(jī)的平均分為去掉最低分后的平均分為則 拓展提升 1 不等關(guān)系的含義 1 不等關(guān)系可以表示常量與常量之間的不等關(guān)系 如2 4 2 不等關(guān)系也可以表示變量與常量之間的不等關(guān)系 如2a 5 3 不等關(guān)系還可以表示函數(shù)與函數(shù)之間的不等關(guān)系 如f x g x 2 文字語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化將實(shí)際問(wèn)題中的不等關(guān)系寫(xiě)成相應(yīng)的不等式 組 時(shí) 應(yīng)注意關(guān)鍵性的文字語(yǔ)言與對(duì)應(yīng)數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言之間的正確轉(zhuǎn)換 常見(jiàn)的轉(zhuǎn)換關(guān)系如表 提醒 在不等式的應(yīng)用題中 用不等式表示不等關(guān)系時(shí) 不可忽略自變量的限制條件 變式訓(xùn)練 將一個(gè)三邊長(zhǎng)度分別為5 12 13的三角形的各邊都縮短x 構(gòu)成一個(gè)鈍角三角形 試用不等式 組 表示x應(yīng)滿足的不等關(guān)系 解析 各邊都縮短x后 長(zhǎng)度仍然為正數(shù) 只要最短邊大于零即可 因此5 x 0 而要構(gòu)成三角形 還要滿足 5 x 12 x 13 x 當(dāng)三角形是鈍角三角形時(shí) 應(yīng)使最大角是鈍角 此時(shí)只需最長(zhǎng)邊對(duì)的角是鈍角即可 因此 5 x 2 12 x 2 13 x 2 故x應(yīng)滿足的不等關(guān)系如下 考向2比較大小 典例2 1 若實(shí)數(shù)a 1 比較a 2與的大小 2 已知 0 且a 2sin2 sin2 b sin cos 試比較a與b的大小 思路點(diǎn)撥 1 運(yùn)用作差法進(jìn)行比較 同時(shí)注意對(duì)實(shí)數(shù)a進(jìn)行討論 2 由于作差法不易比較 且a與b均為正數(shù) 可用作商法比較 規(guī)范解答 1 由于所以當(dāng)a 1時(shí) 有當(dāng)a 1時(shí) 有 2 由于 0 所以a 2sin2 sin2 0 b sin cos 0 而因?yàn)?0 所以sin 0 2sin 0 1 即0 1 故必有a b 互動(dòng)探究 本例 2 中 若將 的取值范圍改為 那么a與b大小關(guān)系如何 解析 由于 所以a 2sin2 sin2 0 b sin cos 0 而因?yàn)?所以sin 2sin 1 2 即 1 故必有a b 拓展提升 1 作差法比較大小的方法步驟比較兩個(gè)實(shí)數(shù)或代數(shù)式值的大小問(wèn)題的方法一般有兩種 作差法和作商法 其中作差法的主要步驟是 作差 有的可直接作差 有的需轉(zhuǎn)化才可作差 變形 目的是判斷差的符號(hào) 通常進(jìn)行通分 因式分解 配方 分子 分母 有理化等變形 有時(shí)還要根據(jù)字母取值范圍進(jìn)行討論以判斷差的符號(hào) 定號(hào) 若a b 0 則a b 若a b 0 則a b等 得結(jié)論 2 作商法比較大小的注意事項(xiàng)利用作商法比較大小要注意分清所研究變量的正負(fù) 然后根據(jù) 若 1 b 0 則a b 若 1 b 0 則a b的原則進(jìn)行判斷 變式備選 設(shè)x 5 則p與q的大小關(guān)系是 解析 而所以必有p q 答案 p q 考向3不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用 典例3 1 已知a b c d為實(shí)數(shù) 且c d 則 a b 是 a c b d 的 a 充分不必要條件 b 必要不充分條件 c 充要條件 d 既不充分也不必要條件 2 2012 湖南高考 設(shè)a b 1 cloga b c 其中所有的正確結(jié)論的序號(hào)是 a b c d 3 已知 1 2x 1 1 則的取值范圍是 思路點(diǎn)撥 1 根據(jù)充分必要條件的定義進(jìn)行判斷 利用不等式性質(zhì)肯定一個(gè)結(jié)論 或取特殊值否定一個(gè)結(jié)論 2 可直接利用不等式的性質(zhì)以及冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較 也可以采用特殊值方法進(jìn)行比較 3 先求出x的范圍 再求的范圍 從而求出的取值范圍 規(guī)范解答 1 選b 由于c d 所以 d c 因此當(dāng)a b時(shí)能夠推出a d b c 但不一定有a c b d 如a 3 b 2 c 4 d 1 但當(dāng)c d且a c b d時(shí) 必有a b 所以是必要不充分條件 故選b 2 選d 由不等式a b 1知又cb 1 cb c 1 c 1 由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與單調(diào)性知 正確 故選d 3 由 1 2x 1 1 得0 x 1 所以于是故答案 1 拓展提升 1 判斷命題真假的三種方法 1 直接運(yùn)用不等式的性質(zhì)法 把要判斷的命題和不等式的性質(zhì)聯(lián)系起來(lái)考慮 找到與命題相近的性質(zhì) 然后進(jìn)行推理判斷 2 利用指數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù) 冪函數(shù)的單調(diào)性法 當(dāng)直接利用不等式性質(zhì)不能比較大小時(shí) 可以利用指數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù) 冪函數(shù)的單調(diào)性等進(jìn)行判斷 3 取特殊值法 即給要比較的幾個(gè)式子中涉及的變量取一些特殊值進(jìn)行比較 判斷 2 正確運(yùn)用倒數(shù)法則求范圍涉及 取倒數(shù)求范圍 等問(wèn)題時(shí) 注意倒數(shù)法則的正確運(yùn)用 一般地 1 若x a a 0 則 2 若x a a0 則或 變式訓(xùn)練 1 下列命題中為真命題的是 若a b 則 若a b 0 c d 0 則 若a b 且a b r 則 若 則1 sin 0 解析 由于所以 是錯(cuò)誤的 由于a b 0 c d 0 所以a2 b2 0 所以故所以 正確 由于函數(shù)是減函數(shù) a b 所以故 正確 當(dāng)時(shí) 1 sin 0 故 不正確 答案 2 若1 3 4 2 則 的取值范圍是 解析 因?yàn)?4 2 所以0 4 于是 4 0 又1 3 所以 3 3 答案 3 3 創(chuàng)新體驗(yàn) 不等式與函數(shù)的融合 典例 2012 浙江高考 設(shè)a 0 b 0 e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù) a 若ea 2a eb 3b 則a b b 若ea 2a eb 3b 則a b c 若ea 2a eb 3b 則a b d 若ea 2a eb 3b 則a b 思路點(diǎn)撥 規(guī)范解答 選a 由于a 0 b 0 且ea 2a eb 2b b 所以有ea 2a eb 2b 設(shè)函數(shù)f x ex 2x 顯然函數(shù)f x 在 0 上單調(diào)遞增 又f a f b 所以有a b 故a正確 b錯(cuò)誤 又ea 2a eb 2b b 所以ea 2a0可得x ln2 所以函數(shù)g x 在 0 ln2 上遞減 在 ln2 上遞增 因此由g a g b 不能確定a與b的大小 即c和d都錯(cuò)誤 故選a 思考點(diǎn)評(píng) 1 方法感悟 本題充分體現(xiàn)了函數(shù)思想在解題中的應(yīng)用 即通過(guò)構(gòu)造函數(shù) 研究其單調(diào)性 通過(guò)單調(diào)性結(jié)合函數(shù)值的大小關(guān)系得出自變量值的大小關(guān)系 一般地 函數(shù)與不等式是緊密聯(lián)系在一起的 很多不等式問(wèn)題 都可以借助函數(shù)的方法進(jìn)行求解 這種思想方法值得我們仔細(xì)體會(huì) 2 技巧提升 在通過(guò)構(gòu)造函數(shù)解決不等式問(wèn)題時(shí) 注意觀察題目的特點(diǎn) 一般來(lái)說(shuō) 要比較大小的兩個(gè)式子 或已知大小關(guān)系的兩個(gè)式子 在結(jié)構(gòu)上 形式上都非常類(lèi)似 都可以看作是將某個(gè)函數(shù)解析式中的自變量換成了不同的數(shù) 字母等而得到的 因此可以通過(guò)研究函數(shù)的單調(diào)性 得到自變量的大小與函數(shù)值的大小之間的關(guān)系 構(gòu)造函數(shù)這種思想方法 不僅適用于不等式中的大小比較問(wèn)題 也可以解決方程與等式問(wèn)題 另外 構(gòu)造函數(shù)后 不僅可以研究其單調(diào)性 還可以研究其奇偶性 周期性等 然后再利用奇偶性 周期性等解決相關(guān)問(wèn)題 1 2013 汕頭模擬 一杯質(zhì)量為a克的糖水中含有b克糖 此時(shí)稱(chēng)為該糖水的 甜度 若在此糖水中加入c克水 則顯然糖水的 甜度 變小 若在此糖水中加入d克糖 則顯然該糖水的 甜度 變大 這個(gè)事實(shí)可以使用不等式表示為 a b c d 解析 選b 加水后的甜度為加糖后的甜度為故有不等式 2 2013 梅州模擬 已知a b c滿足c b a且ac 0 則下列選項(xiàng)中不一定能成立的是 a b c d 解析 選c c b a 且ac 0 c 0 a 0 但b2與a2的關(guān)系不確定 故不一定成立 3 2013 銅山模擬 若a b 0 且則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 解析 由由a b 0 則上式等價(jià)于即 b m 0 答案 b 0 4 2013 陽(yáng)信模擬 a杯中有濃度為a的鹽水x克 b杯中有濃度為b的鹽水y克 其中a杯中的鹽水更咸一些 若將a b兩杯鹽水混合在一起 其咸淡的程度可用不等式表示為 解析