向量概念案例分析.doc

第二講參與本講的嘉賓姓名單位職稱、職務(wù)王尚志首都師范大學(xué)教授羅強(qiáng)蘇州第五中學(xué)特級教師張思明北大附中特級教師（正文）張思明：各位老師大家好，歡迎老師們繼續(xù)參加我們高中數(shù)學(xué)新課程第四模塊的課題研討。我們從今天的課開始，主要來討論向量這部分的內(nèi)容。我們把這個內(nèi)容分成了三塊：第一個我們要來討論如何建立向量的概念；第二塊我們要來討論向量里最核心的基本定理；第三塊我們要來討論向量的運(yùn)算。這里面我們也把三角函數(shù)恒等變形跟向量聯(lián)系起來，把運(yùn)算的能力加強(qiáng)作為一個討論的重點(diǎn)。首先我們會做一個向量的起始課，看一看老師們?nèi)绾谓Y(jié)合物理背景來建立起向量的概念。我們給大家的一個課例展示，是西安高新一中的（楊天旭）老師為我們提供的一個課例。我們一起來看一下這個課例。楊天旭：下面我們先來觀察兩個實例，仔細(xì)觀察一下這張圖，圖中有一隊帆船在這里要進(jìn)行比賽。他們要從A地向西北方向航行15海里到達(dá)B地。為了更好的突出A地和B地，這里我用另一張圖來表現(xiàn)。這樣的線條可以到達(dá)B地?，F(xiàn)在有一支帆船是這樣行進(jìn)的，它也走了15海里。大家思考這只帆船為什么沒到達(dá)B地？學(xué)生：因為他的方向不對。楊天旭：沒有保證他的航向，航行方向不對。非常好！我們再看一個例子，這是來自于物理當(dāng)中的一個例子。說現(xiàn)有一個放置在水平位置上的物體，在水平方向上，以5牛的力才能夠把該物體拉動。現(xiàn)在F1表示5牛的力?，F(xiàn)在有一個人，用與地面成30度角大小仍然是5牛的力來拉這個物體。請問他能把這個物體拉動嗎？這個物理知識有一定的關(guān)系但并不難。同學(xué)：拉不動。因為那個方向的分力是小于5牛的，因此他是拉不動5牛的。楊天旭：很好事實上確實是拉不動，但是注意到這兩個力的大小都是5牛，為什么產(chǎn)生的效果卻不一樣呢？ 同學(xué)：因為他的方向不同。楊天旭：非常好還是一個方向問題。下面同學(xué)們根據(jù)上面兩例以及你們在生活當(dāng)中見到的一些例子來談一談他們的共同性。知道的請舉手。 學(xué)生：我覺得以上提到的兩個量不僅有大小而且還有方向，如果方向不一樣就算大小一樣的話他們的作用效果也不一樣。楊天旭：也就是說他們的共性在于剛才我們見到這兩個例子當(dāng)中的量是由兩個因素決定的是吧。 學(xué)生：是的一個是大小一個是方向。楊天旭：缺一不可？ 學(xué)生：對！楊天旭：非常好！那么在現(xiàn)實生活中這樣的量還有很多我們把這樣的量，叫做既有大小又有方向的量。再回答一個問題，那么這樣的量與我們以前見到的長度面積質(zhì)量等量有什么關(guān)系有什么不同呢？ 學(xué)生：我覺得他們都有長度都有一定的大小，不同之處是今天學(xué)的這個量有方向。楊天旭：相同的地方就是他們都有大小。不同的地方就是今天學(xué)的這個量還有方向。而長度面積質(zhì)量這些量是沒有方向的這些量在物理當(dāng)中叫做什么？我們今天看到這兩個例子當(dāng)中的量在物理當(dāng)中叫什么那么今天所學(xué)的量之所以與以前的不同就在于他多了一個方向的因素我們把他稱為有方向的量簡稱為向量。這就是本章要學(xué)的內(nèi)容平面向量。今天我們來學(xué)習(xí)它的概念。我們通過實際例子已經(jīng)清楚了，什么叫向量那么你會表示向量嗎？你會表示一個向量嗎？我們要研究它你首先應(yīng)該能夠表述它大家想想誰能回答我這個問題 學(xué)生：我覺得應(yīng)該畫出來。楊天旭：畫出來什么學(xué)生：畫出來一條有方向的線段，通過這個線段的長短來表示這個量的大小。通過它的方向來表示這個向量的方向。這樣就可以把這個量的大小范圍表示出來。楊天旭：很好！簡單的說他說用一條線段就可以表示但是這樣的線段和我們平常見到的線段不一樣。它特別強(qiáng)調(diào)的是什么？方向。那么我們這樣的向量叫做什么？有向線段。那么什么是有向線段？簡單的說就是有方向的線段。我們再思考一下，在物理當(dāng)中我們表示矢量的時候怎么表示??？是不是也是用一條線段??？那么這線段怎么畫的？是一條帶箭頭的線段。我們把一條帶箭頭的線段叫做有向線段。根據(jù)剛才（王側(cè)）同學(xué)談到的。說這樣的線段可以來表示一個向量。他也說了一些理由但是我覺得沒有完全說清楚。所以我想把這個 題再問一下。為什么有向線段可以表示一個向量？學(xué)生：因為向量的定義是既有大小又有方向，然后有向線段就可以表示一個量的大小，然后又是有向的，就可以表示方向。楊天旭：也就是用這個有向線段的長度來表示向量的大小，然后用箭頭所指的方向表示向量的方向。那么這就說明什么呢？可以用有向線段來表示而且說明了為什么可以用有向線段來表示向量。但是接下來我們用什么辦法來計它呢？這個時候我們就要翻回來再研究一下有向線段。首先有向線段應(yīng)該是一條線。那么一條線段就應(yīng)該有兩個端點(diǎn)；其次它是有方向的。假如現(xiàn)在方向指向B點(diǎn)的話，那么這個有向線段就畫出來了。那么這個時候，我們用什么東西來記這個向量呢？可以把它記為他們。學(xué)生：不行。楊天旭：為什么不行？ 學(xué)生：沒有方向。楊天旭：那應(yīng)該怎么記呢？加一下，再回過來。這條有向線段的長度表示了這個向量的大小。那么這兩條有向線段的長度又用什么來表示這里也有一個交代，用了哪個符號啊？說它表示的就是向量的大小或稱長度。有些書上也叫向量的模。這都是新名詞啊。那么向量的 模就是向量的大小，進(jìn)一步通過直線表示出來，就是這條有向線段的長度。這個有向線段，既然能夠表示向量？那么你如何來做一條？畫一條行不行？大家思考一下，有人認(rèn)為是這樣畫的。他先畫出AB兩點(diǎn)，然后把兩點(diǎn)連起來。然后再隨意的打上一個箭頭，那么這種有向線段的銜接過程對嗎？我們仔細(xì)反過來研究一下，因為有向線段是解釋向量的，那么這樣畫行不行？不行那么按照它的發(fā)展規(guī)律應(yīng)該是先畫什么？所以這個點(diǎn)是有向線段的起點(diǎn)，這個點(diǎn)我們叫做有向線段的終點(diǎn)。先畫起點(diǎn)，接下來再畫什么？比如我在這里畫了一個點(diǎn)C，然后定方向所以必須先確定方向。假如現(xiàn)在它是西北方向45度，就是西偏北或者北偏西45度。怎么定？應(yīng)該畫一條射線，輕一點(diǎn)畫。這條射線指代的是這條向量的方向。因為這個時候它這個時候的什么量還沒有定，向量。所以第二個應(yīng)該是畫出他的射線。這個射線指的是方向。第三步再根據(jù)這個向量的大小，在這條射線找一點(diǎn)，使得這一點(diǎn)到這點(diǎn)的距離就是能夠表達(dá)。你的向量的大小這一步應(yīng)該是什么?定終點(diǎn).怎么定終點(diǎn)?是有大小的意思。最后一步應(yīng)該是連線標(biāo)箭頭。 有向線段的畫法步驟我們又有了，這樣就可以用有向線段這樣的圖形來表示向量。但是如何寫呢？假如不用圖讓你寫，你寫怎么寫？有向文字。比如說我們現(xiàn)在這個地方就可以寫成什么呢AB或CD還可以怎么寫呢？書上回應(yīng)還可以這樣寫。就是用更簡單的字母 。幾個字母？一個字母。小寫的字母是吧。那么再看一下書。 書上說的剛才是印刷出來的還是手寫出來的？手寫出來的吧，小寫字母?？墒悄憧促Y料資料上是印刷出來的看資料的時候資料上還有一種說法，什么說法？你要看啊你不僅要自己動手還要看啊。學(xué)新東西那么還有一種寫法是什么？是印刷體。這個時候仍然用小寫的 字母但一律是黑體那么到這里學(xué)了用有向線段表示向量那么如何表示呢怎樣用有向線段表示向量下面同學(xué)們做一個題下面我找?guī)讉€同學(xué)到黑板上來把它的受力情況畫一下試試看，大家看一下，大家看一看怎么樣？學(xué)生：我覺得他畫的滿好的，但是我覺得他既然已經(jīng)畫出了標(biāo)度就不用把N=10寫上去了。楊天旭：但是不管怎樣說畫的非常好，在這里比我畫的都好。我也畫了一個，那么和這個比較之下有什么區(qū)別？我畫的為什么沒有（張欣）同學(xué)畫的好？首先都有標(biāo)物吧，對；其次這些地方都是相似的，這也有起點(diǎn)這里是用F，他同時用了字母什么AB，他表明了這里的有向線段是OA。表示重力的有向線段是什么OB，我們接下來探究一下這個問題同學(xué)們看一下這個力叫什么？那么他們的合力呢？學(xué)生：0楊天旭：0代表什么老師說了沒有？沒有提吧。我告訴大家在數(shù)學(xué)當(dāng)中這個地方有一個說法。我們遇到這樣的情況，這兩個力的合力為0的時候，這個0在數(shù)學(xué)上就叫做0向量。怎么樣了呢？是不是大小抵消了啊？大小抵消說明了什么？大小為0。那么大小也可以叫做長度，所以0向量指的是長度為0的向量。注意寫法，這是誰啊0。上面畫一個箭頭，如果是印刷體怎么寫，那么我們再繼續(xù)看，另外一個問題那么在物理當(dāng)中把這個叫做什么？學(xué)生：標(biāo)度。楊天旭：事實上這還有一個叫法我們把這個叫做單位長度。那么這個標(biāo)度是用來干什么的呢？度量這個向量大小的，那么這樣一來，我們再把它跟單位長度聯(lián)系起來考慮的話我們又想到一個東西。什么？單位向量。如果這個是單位長度的話，我給這里標(biāo)上相應(yīng)的方向它是不是就是一個向量了。那么這個向量能夠來度量OA向量嗎？可以嗎？顯然不行。為什么這個向量不能度量OA向量？我們一定要突出這一點(diǎn)。因為方向不對，但是這個向量的長度呢？是用來度量這個向量的大小。那么這個必須要搞清楚，什么樣的單位向量可以來度量相應(yīng)向量。也就是保證它的長度要為1。同時這個向量的方向要與你所度量的向量方向一致。這里實際上有一個已有的向量，為了進(jìn)一步弄清單位向量?，F(xiàn)在有一個向量，如何找到它的單位向量？找一個單位長度，然后再找一個單位向量，那么現(xiàn)在這個單位向量，是不是原向量的單位向量呢？不止一個，那怎么做調(diào)整，看這個向量，截取一個單位長，通過單位長度我們學(xué)習(xí)了單位向量，單位長度的意義何在？學(xué)生：我覺得就是表示向量的大小。楊天旭：我們學(xué)的單位向量的意義何在？學(xué)生：用單位向量可以知道原來向量的方向。楊天旭：就是可以來度量這個向量。首先你的這個單位向量和要度量的這個向量的方向是一致的，然后它的長度又是一個單位長度的，然后就可以度量這個向量的長度。下面大家做一下，選擇適當(dāng)?shù)谋壤?，用有向線段表示向量，我們一起來做。首先怎么辦？設(shè)定起點(diǎn)在平面上取一點(diǎn)；接下來呢？這輛汽車是不是朝著西北方向行使，就我們這個來說應(yīng)該是黑板的左上角；下一步是不是要確定重點(diǎn)度量它的長度？那能不能像剛上課時隨便找一個？不行了，那怎么樣？這個它的長是多少？15千米。那么現(xiàn)在我們應(yīng)該選擇一個什么樣的長度做單位長度呢？那就是你在黑板上可以畫下的。如果我現(xiàn)在選擇一個以10米長的東西作為單位長度行不行？顯然不行。所以在這里我選擇的是1厘米。那現(xiàn)在要說什么呢？這實質(zhì)上長是1厘米，那么按照一定的比例尺。如果我選1米的一厘米表示15千米。我選了一個1：50000。那么1厘米代表多少？學(xué)生：500楊天旭：那這個好琢磨了1厘米代表500米我現(xiàn)在畫多長？30厘米。這是多少個10厘米？那好我畫3個。同學(xué)們思考一下，如果現(xiàn)在讓我們表示的不是長度而是上一道題，就是水平方向30度5牛頓的力。這個時候單位就不是長度了，這個時候如何確定單位長度，這時候就可以任取一點(diǎn)為什么？因為本身大小不是用長度來的，是用牛。那我們就可以規(guī)定1厘米代表多少呢？代表1?；蛘呤莾膳６伎梢?。那么取一點(diǎn)A然后按照1：50000比例尺得出1厘米代表500米，那我們來歸納一下用有向線段表示向量的時候有些什么樣的有規(guī)律的步驟呢？請你來說一下。學(xué)生：可以先選取一個基本點(diǎn)，再選取一個方向，然后在選完方向以后可以選擇一個單位長度，單位向量，然后再表示出這個向量的大小然后從而這個有向線段可以表示出這個向量的大小。楊天旭：第一步是？學(xué)生：先取一點(diǎn)然后表示方向，然后表示方向畫一條射線。老師：第二步？學(xué)生：第二步表示它的一個長度？對先定單位向量的長度，然后單位向量再表示出有向線段，物理上叫標(biāo)度，然后第三步表示出有向線段的長度。楊天旭：差一點(diǎn)，要規(guī)定一個單位長度的實際意義，那么現(xiàn)在這個例子的話本身就是長度，所以我們選擇一個比例尺。假如現(xiàn)在這個向量的大小不是長度，而是其他的量怎么辦？學(xué)生：其他量就可以。楊天旭:比如說大小是5牛?學(xué)生:就可以通過單位長度表示向量.就是仍然定一個1厘米長的線段,然后說一下這個1厘米長度的線段。楊天旭：這里有一個對應(yīng)思想，也就是說一定要有一個對應(yīng)思想。要對應(yīng)起來，建立對應(yīng)關(guān)系。如果是長度的話，就用比例尺如果長度可以在作業(yè)本上畫出來呢？直接用實際的畫1：1就夠了。如果畫不出來再確定比例尺。如果本身大小不是以長度單位出現(xiàn)的話就采用定義思想。如圖在矩形ABCD中，向量AB與DC，向量AC與BD又有什么關(guān)系？學(xué)生：AB等于DC。因為是由A點(diǎn)到B但然后由D點(diǎn)到C點(diǎn)。它的方向是相同的。楊天旭：長度也相同是吧？方向也相同。你就認(rèn)為這樣的兩個向量就是相等的。我是這么認(rèn)為的，這個問題我們下一節(jié)課再談但是你答對了。它是方向也相同大小也相同。請坐。你說一下向量AC與BD呢？學(xué)生：向量AC和BD大小相等，方向不相同楊天旭：是不一定相同還是一定不同??？學(xué)生：方向一定不同但是大小相同。楊天旭：再看，用有向線段表示在足夠高的地方做自由落體運(yùn)動的物體，在1秒末的速度解決這個問題要先做一個什么工作呢？要把什么算出來速度先算出來。多少？10米/秒。那么怎么用有向線段表示呢？第一，在平面上找一點(diǎn)，這個點(diǎn)用哪一字母隨便，用V也可以用A也可以。假定用A；第二步在豎直朝下的方向畫一條射線；第三步確定單位長度，那么怎么確定單位長度呢？那么單位長度是多少？1厘米。但是這個題有一點(diǎn)這個長度和這個向量本身的度量單位是不一樣的。那么這個速度單位是什么？米/秒。因此我們可以怎么做對應(yīng)的思想，怎么說？用1厘米的長度來表示每秒兩米的速度，那你也可以定義什么？每秒一米也可以定位為每秒四米。是不是都可以?。恳坏┤思叶四憔筒荒芨牧?，這樣再把終點(diǎn)找到再連個箭頭就完了，第三個思考表示某個確定向量的有向線段的起點(diǎn)可以變化嗎？為什么？學(xué)生：我覺得它是可以變換的。楊天旭：為什么?學(xué)生:因為確定向量有兩個因素:第一個是方向,第二個是大小.而這兩個因素里不包括它的點(diǎn),因此無論它的起點(diǎn)在什么地方只要它的方向一樣也就是方向已經(jīng)定了,它的方向一樣而它的長度大小又是一樣的那么這幾個向量我覺得應(yīng)該是一樣的.因此它的起點(diǎn)是可以變換的。楊天旭：回答的非常好！因為從前面我們的定義可以看出，我們在把具體的例子，抽象成數(shù)學(xué)概念向量的時候。我們只提到了它的方向和大小把這個起點(diǎn)A抽象出來沒有？沒有。還有這個地方作用點(diǎn)O提煉出來沒有？抽象出來沒有？都沒有。所以數(shù)學(xué)中的向量，它的起點(diǎn)位置可以變化但是注意到這里還有幾個數(shù)學(xué)思想。提醒大家注意一下，我們這個向量是用什么表示出來的？有向線段。有向線段是什么？那么這是什么思想數(shù)形結(jié)合的思想。還有一點(diǎn)，當(dāng)我們用有向線段表示向量的時候，而這個向量作為一個實際背景，它的大小并不是長度的時候，我們這個時候如何規(guī)定單位向量？采用了什么思想？對應(yīng)的思想。此外我還想講兩點(diǎn)，通過學(xué)習(xí)，我們感覺到向量與客觀現(xiàn)實密不可分就連最近我們國家的嫦娥一號升空探月都與我們這里的向量有瓜葛。要把握什么？學(xué)生：方向。楊天旭：不能偏離。這充分的說明，要想為我們祖國做出更大的貢獻(xiàn)必須要搞社會主義。我還想說第二點(diǎn)我們在今天的學(xué)習(xí)當(dāng)中，還反映到了一點(diǎn)，好象在上物理課牽扯到很多物理方面的內(nèi)容。這充分的說明了學(xué)科之間的相互依存，相互作用，相互推進(jìn)。其實這個現(xiàn)象自古就有。比如說我舉個例子，牛頓發(fā)現(xiàn)微積分創(chuàng)建微積分就是來自于物理中的一些現(xiàn)象。同時他能夠創(chuàng)建微積分也來自于數(shù)學(xué)家也叫幾何學(xué)家萊布尼茲的重大貢獻(xiàn)這是分不開的。由此我就想到學(xué)科之間可以互相作用，互相依存，互相交流，互相推進(jìn)，那么我們同學(xué)們之間在生活當(dāng)中在學(xué)習(xí)當(dāng)中應(yīng)該更多的交流，更多的溝通，更多的合作這樣才能有長足的發(fā)展。張思明：我們看完了這個課例按照慣例我們還是先請羅強(qiáng)老師為我們做一個分析。羅強(qiáng)：楊天旭老師的這堂課是向量的概念是整個向量這一章的起始課。我覺得像這樣的一個起始課，首先要讓學(xué)生打破原有的認(rèn)識建立一種新的認(rèn)識，是什么呢？就是我們的研究對象發(fā)生了一個變化，原來我們數(shù)學(xué)研究對象一種研究的是數(shù)，一種研究的是型，當(dāng)時研究的是數(shù)的話是一個數(shù)量。而現(xiàn)在我們將要研究的是既有大小又有方向的一種量，這是我們的一個全新的研究對象，但是這個全新的研究對象。在我們前面學(xué)習(xí)中間已經(jīng)有所接觸，同時這樣一個研究對象。在現(xiàn)實生活中間也有很豐富的背景所以楊老師的這一節(jié)課，在這兩方面我覺得做的非常成功他在概念導(dǎo)入的時候，一個是以帆船作為實例來引入那體現(xiàn)了這個我們的研究對象確實是源自于生活的需要，第二個就是以物理中的一種實例物理的受力分析等等來引入，這樣的話也就是讓學(xué)生找到了我們學(xué)習(xí)新的向量知識時的一個起點(diǎn)，也為我們后面學(xué)生的學(xué)習(xí)做了大量背景的鋪墊和準(zhǔn)備。同時楊老師也給有關(guān)向量起始課有關(guān)向量的一些基本概念，進(jìn)行了一些講解，講的也非常清楚到位。從楊老師的課里我們還會提出更新的問題。當(dāng)然包括向量剛才羅校長分析的非常清楚，是一個新的概念我們新課程培訓(xùn)中我們老強(qiáng)調(diào)一個詞，要整體把握課程。面對一個新的內(nèi)容應(yīng)該從哪些角度整體把握？為什么我們強(qiáng)調(diào)在向量引入的時候要考慮它的背景？我們特別想請王老師幫我們分析一下。王尚志：我們整體把握必修四的課程里頭和我們在前期的整體把握高中課程里都反復(fù)強(qiáng)調(diào)了向量的重要性。向量進(jìn)入高中在某種意義上，改變了高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)就像剛才羅校長說的增加了我們新的研究對象。所以我們怎么樣來認(rèn)識向量的作用和價值我想我們已經(jīng)多次進(jìn)行了強(qiáng)調(diào)。那么我記得我們曾經(jīng)強(qiáng)調(diào)向量首先是一個代數(shù)的研究對象，可以進(jìn)行豐富的運(yùn)算；第二它是一個幾何的研究對于它可以幫助我們刻劃最重要最基本的幾何圖形點(diǎn)線面，將來還可以幫助我們刻劃曲線曲面。另外在研究空間圖形的基本度量關(guān)系中發(fā)揮了重要的作用我們也做了系統(tǒng)的介紹這是作為一個幾何的研究對象；第三件事兒那么既是代數(shù)的又是幾何的那么向量理所當(dāng)然應(yīng)該成為我們通常所說的數(shù)形結(jié)合的橋梁也就是說如果你不能既從像代數(shù)又從幾何認(rèn)識向量你就無法真正的掌握或者研究這樣一個數(shù)學(xué)的對象；第四個重要方面也是今天可能我們要強(qiáng)調(diào)的一個方面就是向量有著豐富的重要的物理背景，可能這也是楊老師這節(jié)課給我們帶來的一個重要的啟示。就是我覺得數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)應(yīng)該大氣一點(diǎn)。應(yīng)該不僅關(guān)注到數(shù)學(xué)本身，還應(yīng)該關(guān)注到數(shù)學(xué)和其他學(xué)科和日常生活的聯(lián)系。我們才能真正的認(rèn)識數(shù)學(xué)的價值，才能真正的理解這些數(shù)學(xué)的實質(zhì)，那么；第五個問題就是向量給我們提供一個重要的模型，可能老師需要知道這一點(diǎn)我就不細(xì)致的說。 我想思明提出這樣一個問題向量有著豐富的物理背景，那么這個物理背景是不是僅僅是為了引入向量的概念呢？還是向量的物理背景將會貫穿向量學(xué)習(xí)的自始至終我覺得我們建議的是后者。我想我們來梳理一下在向量的學(xué)習(xí)中首先要認(rèn)識向量，認(rèn)識向量作為一個有向線段基本特點(diǎn)就像剛才羅校長說的它既有大小又有方向。在物理上既有大小又有方向的量應(yīng)該是力學(xué)最基本的研究對象，就是我們通常說的矢量。因為在力學(xué)中如果做這樣一個不嚴(yán)格的分類我的研究對象是兩種：一個是標(biāo)量只有大小沒有方向的量；一個是矢量，不僅有大小而且有方向的量，那么這樣的量在我們的學(xué)習(xí)過程中是貫穿在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)始終的。比如說最簡單的是速度是路程，然后進(jìn)而就是力等等那么這些量幾乎伴隨著我們的學(xué)習(xí)，比如說我們通常所說的路速度時間，這樣的一個模型，幾乎我們可以認(rèn)為數(shù)學(xué)發(fā)展到哪兒它就會伴隨到哪兒。那么對這樣的一些向量的認(rèn)識如果脫離了這些背景，那我們就很難抓住他們的實質(zhì)。 那么進(jìn)而我們就要講向量的運(yùn)算，向量的運(yùn)算是什么呢？無非是向量的加法，向量的數(shù)乘，向量的數(shù)量積。這是我們高中需要學(xué)習(xí)的主要的那么我們都非常清楚向量的加法，它的背景是速度的合成，是力的合成和力的分解，速度的分解。這些都是我們所謂向量加法的物理背景而數(shù)乘運(yùn)算又是力的拉伸或者壓縮。在同一個方向的拉伸或者壓縮或者在相反方向的拉伸和壓縮，那么我們再說我們通常所說的數(shù)量積。那就是力在運(yùn)動方向上所做的功，這是一個數(shù)量做的功可正可負(fù)。什么時候正呢？如