（全國(guó)通用）高考數(shù)學(xué) 考前三個(gè)月復(fù)習(xí)沖刺 專題7 第32練 與拋物線有關(guān)的熱點(diǎn)問(wèn)題 理.docVIP

第32練與拋物線有關(guān)的熱點(diǎn)問(wèn)題題型分析高考展望拋物線是三種圓錐曲線之一，應(yīng)用廣泛，是高考的重點(diǎn)考查對(duì)象，拋物線方程、幾何性質(zhì)、直線與拋物線結(jié)合的問(wèn)題都是高考熱點(diǎn).考查形式有選擇題、填空題也有解答題，小題難度一般為低中檔層次，解答題難度為中檔偏上.?？碱}型精析題型一拋物線的定義及其應(yīng)用例1設(shè)p是拋物線y24x上的一動(dòng)點(diǎn)，(1)求點(diǎn)p到a(1,1)的距離與點(diǎn)p到直線x1的距離之和的最小值；(2)若b(3,2)，拋物線的焦點(diǎn)為f，求|pb|pf|的最小值.點(diǎn)評(píng)與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題，一般情況下都與拋物線的定義有關(guān).由于拋物線的定義在運(yùn)用上有較大的靈活性，因此此類(lèi)問(wèn)題也有一定的難度.“看到準(zhǔn)線想焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線”，這是解決拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)問(wèn)題的重要途徑.變式訓(xùn)練1已知拋物線c：y2x的焦點(diǎn)為f，a(x0，y0)是c上一點(diǎn)，|af|x0，則x0等于()a.1 b.2c.4 d.8題型二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)例2拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為y軸，它與圓x2y29相交，公共弦mn的長(zhǎng)為2，求該拋物線的方程，并寫(xiě)出它的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程.點(diǎn)評(píng)(1)由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可以首先確定拋物線的開(kāi)口方向、焦點(diǎn)的位置及p的值，再進(jìn)一步確定拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.(2)求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置、開(kāi)口方向，在方程的類(lèi)型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個(gè)參數(shù)p，只需一個(gè)條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.變式訓(xùn)練2(2015福建)如圖，已知點(diǎn)f為拋物線e：y22px(p0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)a(2，m)在拋物線e上，且|af|3.(1)求拋物線e的方程；(2)已知點(diǎn)g(1,0)，延長(zhǎng)af交拋物線e于點(diǎn)b，證明：以點(diǎn)f為圓心且與直線ga相切的圓，必與直線gb相切.題型三直線和拋物線的位置關(guān)系例3(2015課標(biāo)全國(guó))在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線c：y與直線l：ykxa(a0)交于m，n兩點(diǎn)，(1)當(dāng)k0時(shí)，分別求c在點(diǎn)m和n處的切線方程；(2)y軸上是否存在點(diǎn)p，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有opmopn？說(shuō)明理由.點(diǎn)評(píng)(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類(lèi)似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|ab|x1x2p，若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式.(3)涉及拋物線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問(wèn)題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體代入”等解法.提醒：涉及弦的中點(diǎn)、斜率時(shí)一般用“點(diǎn)差法”求解.變式訓(xùn)練3(2015長(zhǎng)春模擬)已知拋物線c：ymx2(m0)，焦點(diǎn)為f，直線2xy20交拋物線c于a，b兩點(diǎn)，p是線段ab的中點(diǎn)，過(guò)p作x軸的垂線交拋物線c于點(diǎn)q.(1)求拋物線c的焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若拋物線c上有一點(diǎn)r(xr,2)到焦點(diǎn)f的距離為3，求此時(shí)m的值；(3)是否存在實(shí)數(shù)m，使abq是以q為直角頂點(diǎn)的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，說(shuō)明理由.高考題型精練1.(2014遼寧)已知點(diǎn)a(2,3)在拋物線c：y22px的準(zhǔn)線上，過(guò)點(diǎn)a的直線與c在第一象限相切于點(diǎn)b，記c的焦點(diǎn)為f，則直線bf的斜率為()a. b.c. d.2.(2015浙江)如圖，設(shè)拋物線y24x的焦點(diǎn)為f，不經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的直線上有三個(gè)不同的點(diǎn)a，b，c，其中點(diǎn)a，b在拋物線上，點(diǎn)c在y軸上，則bcf與acf的面積之比是()a. b. c. d.3.已知拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)為f，p、q是拋物線上的兩個(gè)點(diǎn)，若pqf是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則p的值是()a.2 b.2c.1 d.14.(2014課標(biāo)全國(guó))設(shè)f為拋物線c：y23x的焦點(diǎn)，過(guò)f且傾斜角為30的直線交c于a，b兩點(diǎn)，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，則oab的面積為()a. b. c. d.5.已知拋物線y28x的準(zhǔn)線為l，點(diǎn)q在圓c：x2y22x8y130上，記拋物線上任意一點(diǎn)p到直線l的距離為d，則d|pq|的最小值等于()a.3 b.2 c.4 d.56.已知拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)弦ab的兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為a(x1，y1)，b(x2，y2)，則的值一定等于()a.4 b.4 c.p2 d.p27.(2014湖南)如圖，正方形abcd和正方形defg的邊長(zhǎng)分別為a，b(a0)經(jīng)過(guò)c，f兩點(diǎn)，則_.8.已知拋物線c：y22px(p0)的準(zhǔn)線為l，過(guò)m(1,0)且斜率為的直線與l相交于點(diǎn)a，與c的一個(gè)交點(diǎn)為b，若am，則p_.9.過(guò)拋物線y22x的焦點(diǎn)f作直線交拋物線于a，b兩點(diǎn)，若|ab|，|af|0)和e2：y22p2x(p20)，過(guò)原點(diǎn)o的兩條直線l1和l2，l1與e1，e2分別交于a1，a2兩點(diǎn)，l2與e1，e2分別交于b1，b2兩點(diǎn).(1)證明：a1b1a2b2；(2)過(guò)o作直線l(異于l1，l2)與e1，e2分別交于c1，c2兩點(diǎn).記a1b1c1與a2b2c2的面積分別為s1與s2，求的值.12.(2015湖南)已知拋物線c1 ：x24y的焦點(diǎn)f也是橢圓c2：1(ab0)的一個(gè)焦點(diǎn).c1 與c2的公共弦的長(zhǎng)為2.過(guò)點(diǎn)f的直線l與c1相交于a，b兩點(diǎn)，與c2相交于c，d兩點(diǎn)，且與同向.(1)求c2的方程；(2)若|ac|bd|，求直線l的斜率.答案精析第32練與拋物線有關(guān)的熱點(diǎn)問(wèn)題?？碱}型精析例1解(1)由于a(1,1)，f(1,0)，p是拋物線上的任意一點(diǎn)，則|ap|pf|af|，從而知點(diǎn)p到a(1,1)的距離與點(diǎn)p到f(1,0)的距離之和的最小值為，所以點(diǎn)p到a(1,1)的距離與p到直線x1的距離之和的最小值也為.(2)如圖所示，自點(diǎn)b作bq垂直于拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)q，交拋物線于點(diǎn)p1，此時(shí)|p1q|p1f|，那么|pb|pf|p1b|p1q|bq|4，即|pb|pf|的最小值為4.變式訓(xùn)練1a解析由題意知拋物線的準(zhǔn)線為x.因?yàn)閨af|x0，根據(jù)拋物線的定義可得x0|af|x0，解得x01.例2解由題意，得拋物線方程為x22ay (a0).設(shè)公共弦mn交y軸于a，n在y軸右側(cè)，則|ma|an|，而|an|.|on|3，|oa|2，n(，2).n點(diǎn)在拋物線上，52a(2)，即2a，故拋物線的方程為x2y或x2y.拋物線x2y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為y.拋物線x2y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為y.變式訓(xùn)練2解方法一(1)由拋物線的定義得|af|2.因?yàn)閨af|3，即23，解得p2，所以拋物線e的方程為y24x.(2)因?yàn)辄c(diǎn)a(2，m)在拋物線e：y24x上，所以m2，由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)a(2,2).由a(2,2)，f(1,0)可得直線af的方程為y2(x1).由得2x25x20，解得x2或x，從而b.又g(1,0)，所以kga，kgb.所以kgakgb0，從而agfbgf，這表明點(diǎn)f到直線ga，gb的距離相等，故以f為圓心且與直線ga相切的圓必與直線gb相切.方法二(1)同方法一.(2)設(shè)以點(diǎn)f為圓心且與直線ga相切的圓的半徑為r.因?yàn)辄c(diǎn)a(2，m)在拋物線e：y24x上，所以m2，由拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)a(2,2).由a(2,2)，f(1,0)可得直線af的方程為y2(x1).由得2x25x20.解得x2或x，從而b.又g(1,0)，故直線ga的方程為2x3y20.從而r.又直線gb的方程為2x3y20.所以點(diǎn)f到直線gb的距離dr.這表明以點(diǎn)f為圓心且與直線ga相切的圓必與直線gb相切.例3解(1)由題設(shè)可得m(2，a)，n(2，a)，或m(2，a)，n(2，a).又y，故y在x2處的導(dǎo)數(shù)值為，c在點(diǎn)(2，a)處的切線方程為ya(x2)，即xya0.y在x2處的導(dǎo)數(shù)值為，c在點(diǎn)(2，a)處的切線方程為ya(x2)，即xya0.故所求切線方程為xya0和xya0.(2)存在符合題意的點(diǎn)，證明如下：設(shè)p(0，b)為符合題意的點(diǎn)，m(x1，y1)，n(x2，y2)，直線pm，pn的斜率分別為k1，k2.將ykxa代入c的方程得x24kx4a0.故x1x24k，x1x24a.從而k1k2.當(dāng)ba時(shí)，有k1k20，則直線pm的傾斜角與直線pn的傾斜角互補(bǔ)，故opmopn，所以點(diǎn)p(0，a)符合題意.變式訓(xùn)練3解(1)拋物線c：x2y，它的焦點(diǎn)f(0，).(2)|rf|yr，23，得m.(3)存在，聯(lián)立方程消去y得mx22x20，依題意，有(2)24m(2)0m.設(shè)a(x1，mx)，b(x2，mx)，則(*)p是線段ab的中點(diǎn)，p(，)，即p(，yp)，q(，).得(x1，mx)，(x2，mx)，若存在實(shí)數(shù)m，使abq是以q為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則0，即(x1)(x2)(mx)(mx)0，結(jié)合(*)化簡(jiǎn)得40，即2m23m20，m2或m，而2(，)，(，).存在實(shí)數(shù)m2，使abq是以q為直角頂點(diǎn)的直角三角形.高考題型精練1.d 拋物線y22px的準(zhǔn)線為直線x，而點(diǎn)a(2,3)在準(zhǔn)線上，所以2，即p4，從而c：y28x，焦點(diǎn)為f(2,0).設(shè)切線方程為y3k(x2)，代入y28x得y2y2k30(k0)，由于14(2k3)0，所以k2或k.因?yàn)榍悬c(diǎn)在第一象限，所以k.將k代入中，得y8，再代入y28x中得x8，所以點(diǎn)b的坐標(biāo)為(8,8)，所以直線bf的斜率為.2.a 由圖形可知，bcf與acf有公共的頂點(diǎn)f，且a，b，c三點(diǎn)共線，易知bcf與acf的面積之比就等于.由拋物線方程知焦點(diǎn)f(1，0)，作準(zhǔn)線l，則l的方程為x1.點(diǎn)a，b在拋物線上，過(guò)a，b分別作ak，bh與準(zhǔn)線垂直，垂足分別為點(diǎn)k，h，且與y軸分別交于點(diǎn)n，m.由拋物線定義，得|bm|bf|1，|an|af|1.在can中，bman，.3.a 依題意得f，設(shè)p，q(y1y2).由拋物線定義及|pf|qf|，得，yy，y1y2.又|pq|2，因此|y1|y2|1，點(diǎn)p.又點(diǎn)p位于該拋物線上，于是由拋物線的定義得|pf|2，由此解得p2，故選a.4.d 由已知得焦點(diǎn)坐標(biāo)為f(，0)，因此直線ab的方程為y(x)，即4x4y30.方法一聯(lián)立拋物線方程化簡(jiǎn)得4y212y90，故|yayb|6.因此soab|of|yayb|6.方法二聯(lián)立方程得x2x0，故xaxb.根據(jù)拋物線的定義有|ab|xaxbp12，同時(shí)原點(diǎn)到直線ab的距離為h，因此soab|ab|h.5.a 如圖所示，由題意，知拋物線y28x的焦點(diǎn)為f(2,0)，連接pf，則d|pf|.圓c的方程配方，得(x1)2(y4)24，圓心為c(1,4)，半徑r2.d|pq|pf|pq|，顯然，|pf|pq|fq|(當(dāng)且僅當(dāng)f，p，q三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)).而|fq|為圓c上的動(dòng)點(diǎn)q到定點(diǎn)f的距離，顯然當(dāng)f，q，c三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值，最小值為|cf|r2523.6.a 若焦點(diǎn)弦abx軸，則x1x2，則x1x2；若焦點(diǎn)弦ab不垂直于x軸，可設(shè)ab：yk(x)，聯(lián)立y22px得k2x2(k2p2p)x0，則x1x2.則y1y2p2.故4.7.1解析正方形abcd和正方形defg的邊長(zhǎng)分別為a，b，o為ad的中點(diǎn)，c(，a)，f(b，b).又點(diǎn)c，f在拋物線y22px(p0)上，解得1.8.2解析如圖，由ab的斜率為，知60，又am，m為ab的中點(diǎn).過(guò)點(diǎn)b作bp垂直準(zhǔn)線l于點(diǎn)p，則abp60，bap30.m為焦點(diǎn)，即1，p2.9.解析2，|ab|af|bf|，|af|0，再由y10，y20，則0，故1k0.又線段st的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以線段st的垂直平分線方程為y.令y0，得q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xq26，故q點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為(，6).11.(1)證明設(shè)直線l1，l2的方程分別為yk1x，yk2x(k1，k20)，由得a1，由得a2.同理可得b1，b2.所以2p1.(，)2p2(，)故，所以a1b1a2b2.(2)解由(1)知a1b1a2b2，同理可得b1c1b2c2，c1a1c2a2，所以a1b1c1a2b2c2.因此2.又由(1)中的知，故.12.解(1)由c1：x24y知其焦點(diǎn)f的坐標(biāo)為(0,1).因?yàn)閒也是橢圓c2的一個(gè)焦點(diǎn)，所以a2b21.又c1與c2的公共弦的長(zhǎng)為2，c1與c2都關(guān)于y軸對(duì)稱，且c1的方程為x24y，由此易知c1與c2的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以1.聯(lián)立，得a29，b28.故c2的方程為1