山西省太原市2019屆高三數(shù)學(xué)模擬試題（二）文（含解析）.doc

山西省太原市2019屆高三數(shù)學(xué)模擬試題（二）文（含解析）一、選擇題。1.已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，由此得出正確選項(xiàng).【詳解】依題意，故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法和除法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2.已知集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求得集合的元素，由此求得兩個集合的交集.【詳解】依題意，故,故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查兩個集合的交集的求法，考查對數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3.如圖是根據(jù)我國古代數(shù)學(xué)專著九章算術(shù)中更相減損術(shù)設(shè)計的程序框圖，若輸入的，則輸出的（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】更相減損術(shù)求的是最大公約數(shù)，由此求得輸出的值.【詳解】由于更相減損術(shù)求的是最大公約數(shù)，和的最大公約數(shù)是，故輸出，故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查中國古代數(shù)學(xué)文化，考查更相減損術(shù)求最大公約數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.4.已知，且，則向量與的夾角為（ ）A. 60B. 120C. 30D. 150【答案】D【解析】【分析】根據(jù)，得到，化簡后求得兩個向量的夾角.【詳解】由于，所以，即，所以，故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查兩個向量垂直的表示，考查向量數(shù)量積的運(yùn)算和夾角的求法，屬于基礎(chǔ)題.5.已知雙曲線的一條漸近線方程為，且經(jīng)過點(diǎn)，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】對選項(xiàng)逐一分析排除，由此得出正確選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，雙曲線的漸近線為，不符合題意.對于B選項(xiàng)，雙曲線的漸近線為，且過點(diǎn)，符合題意.對于C選項(xiàng)，雙曲線的漸近線為，但不過點(diǎn)，不符合題意.對于D選項(xiàng)，雙曲線的漸近線為，不符合題意.綜上所述，本小題選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線方程，考查雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，屬于基礎(chǔ)題.6.下圖是某幾何體的三視圖，其中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則該幾何體的體積為（ ）A. B. C. 4D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三視圖得出原圖，由此計算出幾何體的體積.【詳解】畫出三視圖對應(yīng)的幾何體如下圖所示三棱錐，根據(jù)三棱錐體積計算公式得所求體積為，故選C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三視圖還原為原圖，考查錐體的體積計算，屬于基礎(chǔ)題.7.為考察某種藥物預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動物試驗(yàn)，得到如下藥物效果與動物試驗(yàn)列聯(lián)表：患病未患病總計服用藥沒服用藥總計由上述數(shù)據(jù)給出下列結(jié)論，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）附：；能在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為藥物有效不能在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為藥物有效能在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為藥物有效不能在犯錯誤的概率不超過的前提下認(rèn)為藥物有效A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】計算出的值，由此判斷出正確結(jié)論的個數(shù).【詳解】依題意，故能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為藥物有效, 不能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為藥物有效,即結(jié)論正確，本小題選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查列聯(lián)表獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.8.已知，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】用二倍角公式、兩角差的正弦公式和誘導(dǎo)公式化簡，由此得出正確結(jié)論.【詳解】有，得，由于，所以，故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角恒等變換，考查二倍角公式、兩角差的正弦公式和誘導(dǎo)公式，屬于中檔題.9.已知點(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上的動點(diǎn)，則的最大值為（ ）A. B. C. D. 4【答案】A【解析】【分析】設(shè)出橢圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，然后計算圓心到點(diǎn)距離的最大值，再加上半徑，求得的最大值.【詳解】圓的圓心為，半徑為，設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)，則，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)時，.故的最大值為，故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查圓和橢圓的位置關(guān)系，考查兩個曲線上點(diǎn)的距離的最大值的求法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.10.已知實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】表示的是可行域內(nèi)的點(diǎn)與連線的斜率減去.畫出可行域，求得斜率的取值范圍，減去求得的取值范圍.【詳解】表示的是可行域內(nèi)的點(diǎn)與連線的斜率減去.畫出可行域如下圖所示，即與連線的斜率取值范圍是，再減去得，故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查斜率型線性規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)取值范圍的求法，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.11.已知點(diǎn)，分別是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，分別是和的離心率，點(diǎn)為和的一個公共點(diǎn)，且，若，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線的定義，結(jié)合余弦定理列式，然后利用，求得的取值范圍.【詳解】設(shè),不妨設(shè)在第一象限.根據(jù)橢圓和雙曲線的定義有，故，.在三角形中，由余弦定理得，即.由于，即，故，由得，即，解得【點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓和雙曲線的定義，考查余弦定理，考查橢圓和雙曲線離心率，綜合性較強(qiáng)，屬于難題.12.已知函數(shù)且滿足,則方程在上所有實(shí)根的和為( )A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】根據(jù)得到函數(shù)的周期為，畫出函數(shù)和的圖像，由此求得在上所有實(shí)根的和.【詳解】由于，故函數(shù)的周期為，畫出和的圖像如下圖所示.注意到函數(shù)和都關(guān)于中心對稱.所以在的四個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也即所有實(shí)根關(guān)于對稱，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得所有實(shí)根的和為【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的周期性，考查分段函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，考查函數(shù)圖像的對稱性，屬于中檔題.二、填空題。13.若圓的半徑為1，則_?！敬鸢浮?【解析】【分析】根據(jù)圓的半徑計算公式列方程，解方程求得的值.【詳解】圓的半徑為，解得.【點(diǎn)睛】本小題主要考查圓的半徑計算公式，屬于基礎(chǔ)題.14.2019年8月第二屆全國青年運(yùn)動會在山西舉行，若將4名志愿者分配到兩個運(yùn)動場館進(jìn)行服務(wù)，每個運(yùn)動場館2名志愿者，則其中志愿者甲和乙被分到同一場所的概率為_。【答案】【解析】【分析】先列舉出所有可能的基本事件總數(shù)，然后計算志愿者甲和乙被分到同一場所包含的基本事件數(shù)，再根據(jù)古典概型概率計算公式計算出所求的概率.【詳解】設(shè)甲為，乙為，另外兩名志愿者為.將4名志愿者分配到兩個運(yùn)動場館進(jìn)行服務(wù)，基本事件有：場館1場館212（甲乙一起）3413241423231424133412（甲乙一起）共種，其中甲乙一起的有種，故概率為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用列舉法求解古典概型概率問題，屬于基礎(chǔ)題.15.已知分別是的內(nèi)角的對邊，且，則周長的最小值為_?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥炕啠蟮媒堑拇笮?，用三角形的面積公式列式，然后利用基本不等式求得周長的最小值.【詳解】由得，故.由三角形面積公式得.所以三角形的周長，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故周長的最小值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查余弦定理解三角形，考查三角形面積公式，考查利用基本不等式求最小值，屬于中檔題.16.已知三棱錐外接球的表面積為，面，則該三棱錐體積的最大值為_。【答案】【解析】【分析】根據(jù)球的表面積計算出球的半徑.利用勾股定理計算出三角形外接圓的半徑，根據(jù)正弦定理求得的長，再根據(jù)圓內(nèi)三角形面積的最大值求得三角形面積的最大值，由此求得三棱錐體積的最大值.【詳解】畫出圖像如下圖所示，其中是外接球的球心，是底面三角形的外心，.設(shè)球的半徑為，三角形外接圓的半徑為，則，故在中，.在三角形中，由正弦定理得.故三角形為等邊三角形，其高為.由于為定值，而三角形的高等于時，三角形的面積取得最大值，由于為定值，故三棱錐的體積最大值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查外接球有關(guān)計算，考查三棱錐體積的最大值的計算，屬于中檔題.三、解答題：（解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足，且。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和?！敬鸢浮?1) (2) 【解析】【分析】（1）利用，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）利用裂項(xiàng)求和法求得數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】解：（1）當(dāng)時，當(dāng)時，是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，；（2）由（1）得，。【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查裂項(xiàng)求和法，屬于中檔題.18.如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，是正三角形，是的中點(diǎn)。（1）證明：；（2）求三棱錐的體積?！敬鸢浮?1)見證明(2) 【解析】【分析】（1）利用余弦定理求得的長，利用勾股定理證得，結(jié)合，證得平面，由此證得.(2) 連接，利用等體積法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即，根據(jù)（1）得到是三棱錐的高，由此計算出幾何體的體積.【詳解】（1）證明：，由余弦定理得：，平面，；（2）連接，由（1）得平面，是的中點(diǎn)，?！军c(diǎn)睛】本小題主要考查線線垂直的證明，考查余弦定理解三角形，考查等體積法求幾何體的體積，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.19.已知某保險公司某險種的基本保費(fèi)為（單位：元），繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下表：上年度出險次數(shù)0123保費(fèi)（元）隨機(jī)調(diào)查了該險種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況，得到下表：出險次數(shù)0123頻數(shù)140401262該保險公司這種保險的賠付規(guī)定如下表：出險序次第1次第2次第3次第4次第5次及以上賠付金額（元）0將所抽樣本的頻率視為概率。（1）求本年度續(xù)保人保費(fèi)的平均值的估計值；（2）求本年度續(xù)保人所獲賠付金額的平均值的估計值；（3）據(jù)統(tǒng)計今年有100萬投保人進(jìn)行續(xù)保，若該公司此險種的純收益不少于900萬元，求的最小值（純收益=總?cè)氡ｎ~-總賠付額）?！敬鸢浮?1) (2) (3) 100元【解析】【分析】（1）先計算出每個保費(fèi)對應(yīng)的概率，然后按照平均值的計算公式計算出平均值的估計值.（2）先計算出每個賠償金額對應(yīng)的概率，然后按照平均值的計算公式，計算出平均值的估計值.（3）根據(jù)（1）（2）計算的結(jié)果計算出純收益為，使求得的最小值.【詳解】解：（1）由題意可得保費(fèi)（元）概率0.70.20.060.030.01本年度一續(xù)保人保費(fèi)的平均值的估計值為；（2）由題意可得賠償金額（元）0概率0.70.20.060030.01本年度一續(xù)保人所獲賠付金額的平均值的估計值；（3）由（1），（2）得該公司此險種的總收益為，基本保費(fèi)的最小值為100元?！军c(diǎn)睛】本小題主要考查平均數(shù)的計算，考查實(shí)際應(yīng)用問題，屬于中檔題.20.已知直線與拋物線相交于兩個不同點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線在點(diǎn)處的切線的交點(diǎn)。（1）若直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，求證：；（2）若，且直線經(jīng)過點(diǎn)，求的最小值?！敬鸢浮?1)見證明；(2)1【解析】【分析】(1)求得拋物線焦點(diǎn)的坐標(biāo)，當(dāng)直線的斜率時，設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線的方程和拋物線方程，寫出韋達(dá)定理.求得過點(diǎn)切線的方程，聯(lián)立兩條切線方程求得交點(diǎn)的坐標(biāo)，計算，由此證得.當(dāng)直線的斜率時，根據(jù)直線的方程和點(diǎn)的坐標(biāo)證得.從而證得成立.（2）根據(jù)題意求得拋物線的方程，當(dāng)直線的斜率時，設(shè)出直線的方程，代入拋物線方程，寫出韋達(dá)定理，由弦長公式求得，求得點(diǎn)坐標(biāo)后利用點(diǎn)到直線的距離公式求得三角形的高，由此求得三角形面積的表達(dá)式，利用配方法求得面積的最小值.當(dāng)直線的斜率時，求得三角形的面積為.綜上，的最小值為.【詳解】解：（1）由題意可得，當(dāng)時，設(shè)直線，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，由得，過點(diǎn)的切線方程為，即，過點(diǎn)的切線方程為，由得，；當(dāng)時，則直線，；（2）由題意可得，當(dāng)時，設(shè)直線，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，由，得，由（1）可得過點(diǎn)的切線方程分別為，由得，到直線的距離，當(dāng)時，取最小值1；當(dāng)時，則直線，綜上，的最小值為1?！军c(diǎn)睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查有關(guān)三角形面積的最值的求法，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.21.已知，函數(shù).（1）證明：有兩個極值點(diǎn)；（2）若是函數(shù)的兩個極值點(diǎn)，證明：.【答案】(1)證明見詳解；(2)證明見詳解.【解析】【分析】(1)根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷出的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而證得函數(shù)有兩個極值點(diǎn).(2)根據(jù)（1）的結(jié)論，得，且，化簡后可得，由此證得不等式成立.【詳解】（1）證明：由題意得，令，則在上遞增，且，當(dāng)時，遞減；當(dāng)時，遞增，.當(dāng)時，遞增；當(dāng)時，遞減，是的極大值點(diǎn).，.當(dāng)時，遞減；當(dāng)時，遞增，是的極小值點(diǎn).在上有兩個極值點(diǎn).（2）證明：由（1）得，且，.=.設(shè)，則，在時單調(diào)遞減，則.，則.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用二次求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，難度較大，屬于難題.22.已知在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)），點(diǎn)在曲線上運(yùn)動，動點(diǎn)滿足，其軌跡為曲線，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。（1）求曲線,的普通方程；（2）若點(diǎn)分別是射線與曲線，的公共點(diǎn)，求的最大值?！敬鸢浮?1) 曲線的普通方程為，的普通方程為；(2) 【解析】分析】（1）先故根據(jù)坐標(biāo)變換的知識求得點(diǎn)的參數(shù)方程，對的參數(shù)方程消參后，得到普通方程.（2）先求得的極坐標(biāo)方程，將代入這兩個極坐標(biāo)方程，由此求得的最大值.【詳解】解：（1）設(shè)，點(diǎn)在曲線上，曲線的普通方程為，曲線普通方程為；（2）由得曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為，由得或，或，由得或，或，最大值為?！军c(diǎn)睛】本小題主要考查坐標(biāo)變換，考查參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，考查直角