山西省太原市2019屆高三數學模擬試題（二）文（含解析）.doc

山西省太原市2019屆高三數學模擬試題（二）文（含解析）一、選擇題。1.已知是虛數單位，則復數（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用復數的乘法和除法運算化簡復數，由此得出正確選項.【詳解】依題意，故選D.【點睛】本小題主要考查復數的乘法和除法運算，屬于基礎題.2.已知集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先求得集合的元素，由此求得兩個集合的交集.【詳解】依題意，故,故選A.【點睛】本小題主要考查兩個集合的交集的求法，考查對數運算，屬于基礎題.3.如圖是根據我國古代數學專著九章算術中更相減損術設計的程序框圖，若輸入的，則輸出的（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】更相減損術求的是最大公約數，由此求得輸出的值.【詳解】由于更相減損術求的是最大公約數，和的最大公約數是，故輸出，故選C.【點睛】本小題主要考查中國古代數學文化，考查更相減損術求最大公約數，屬于基礎題.4.已知，且，則向量與的夾角為（ ）A. 60B. 120C. 30D. 150【答案】D【解析】【分析】根據，得到，化簡后求得兩個向量的夾角.【詳解】由于，所以，即，所以，故選D.【點睛】本小題主要考查兩個向量垂直的表示，考查向量數量積的運算和夾角的求法，屬于基礎題.5.已知雙曲線的一條漸近線方程為，且經過點，則該雙曲線的標準方程為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】對選項逐一分析排除，由此得出正確選項.【詳解】對于A選項，雙曲線的漸近線為，不符合題意.對于B選項，雙曲線的漸近線為，且過點，符合題意.對于C選項，雙曲線的漸近線為，但不過點，不符合題意.對于D選項，雙曲線的漸近線為，不符合題意.綜上所述，本小題選B.【點睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線方程，考查雙曲線標準方程的求法，屬于基礎題.6.下圖是某幾何體的三視圖，其中網格紙上小正方形的邊長為1，則該幾何體的體積為（ ）A. B. C. 4D. 【答案】C【解析】【分析】根據三視圖得出原圖，由此計算出幾何體的體積.【詳解】畫出三視圖對應的幾何體如下圖所示三棱錐，根據三棱錐體積計算公式得所求體積為，故選C.【點睛】本小題主要考查三視圖還原為原圖，考查錐體的體積計算，屬于基礎題.7.為考察某種藥物預防疾病的效果，進行動物試驗，得到如下藥物效果與動物試驗列聯表：患病未患病總計服用藥沒服用藥總計由上述數據給出下列結論，其中正確結論的個數是（ ）附：；能在犯錯誤的概率不超過的前提下認為藥物有效不能在犯錯誤的概率不超過的前提下認為藥物有效能在犯錯誤的概率不超過的前提下認為藥物有效不能在犯錯誤的概率不超過的前提下認為藥物有效A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】計算出的值，由此判斷出正確結論的個數.【詳解】依題意，故能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為藥物有效, 不能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認為藥物有效,即結論正確，本小題選B.【點睛】本小題主要考查列聯表獨立性檢驗，考查運算求解能力，屬于基礎題.8.已知，且，則下列結論正確的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】用二倍角公式、兩角差的正弦公式和誘導公式化簡，由此得出正確結論.【詳解】有，得，由于，所以，故選A.【點睛】本小題主要考查三角恒等變換，考查二倍角公式、兩角差的正弦公式和誘導公式，屬于中檔題.9.已知點是圓上的動點，點是橢圓上的動點，則的最大值為（ ）A. B. C. D. 4【答案】A【解析】【分析】設出橢圓上任意一點的坐標，然后計算圓心到點距離的最大值，再加上半徑，求得的最大值.【詳解】圓的圓心為，半徑為，設橢圓上任意一點的坐標，則，根據二次函數性質可知，當時，.故的最大值為，故選A.【點睛】本小題主要考查圓和橢圓的位置關系，考查兩個曲線上點的距離的最大值的求法，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.10.已知實數滿足，則的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】表示的是可行域內的點與連線的斜率減去.畫出可行域，求得斜率的取值范圍，減去求得的取值范圍.【詳解】表示的是可行域內的點與連線的斜率減去.畫出可行域如下圖所示，即與連線的斜率取值范圍是，再減去得，故選B.【點睛】本小題主要考查斜率型線性規(guī)劃的目標函數取值范圍的求法，考查數形結合的數學思想方法，屬于中檔題.11.已知點，分別是橢圓和雙曲線的公共焦點，分別是和的離心率，點為和的一個公共點，且，若，則的取值范圍是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據橢圓和雙曲線的定義，結合余弦定理列式，然后利用，求得的取值范圍.【詳解】設,不妨設在第一象限.根據橢圓和雙曲線的定義有，故，.在三角形中，由余弦定理得，即.由于，即，故，由得，即，解得【點睛】本小題主要考查橢圓和雙曲線的定義，考查余弦定理，考查橢圓和雙曲線離心率，綜合性較強，屬于難題.12.已知函數且滿足,則方程在上所有實根的和為( )A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】根據得到函數的周期為，畫出函數和的圖像，由此求得在上所有實根的和.【詳解】由于，故函數的周期為，畫出和的圖像如下圖所示.注意到函數和都關于中心對稱.所以在的四個交點的橫坐標，也即所有實根關于對稱，根據中點坐標公式可得所有實根的和為【點睛】本小題主要考查函數的周期性，考查分段函數的圖像與性質，考查數形結合的數學思想方法，考查函數圖像的對稱性，屬于中檔題.二、填空題。13.若圓的半徑為1，則_。【答案】1【解析】【分析】根據圓的半徑計算公式列方程，解方程求得的值.【詳解】圓的半徑為，解得.【點睛】本小題主要考查圓的半徑計算公式，屬于基礎題.14.2019年8月第二屆全國青年運動會在山西舉行，若將4名志愿者分配到兩個運動場館進行服務，每個運動場館2名志愿者，則其中志愿者甲和乙被分到同一場所的概率為_?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥肯攘信e出所有可能的基本事件總數，然后計算志愿者甲和乙被分到同一場所包含的基本事件數，再根據古典概型概率計算公式計算出所求的概率.【詳解】設甲為，乙為，另外兩名志愿者為.將4名志愿者分配到兩個運動場館進行服務，基本事件有：場館1場館212（甲乙一起）3413241423231424133412（甲乙一起）共種，其中甲乙一起的有種，故概率為.【點睛】本小題主要考查利用列舉法求解古典概型概率問題，屬于基礎題.15.已知分別是的內角的對邊，且，則周長的最小值為_。【答案】【解析】【分析】化簡，求得角的大小，用三角形的面積公式列式，然后利用基本不等式求得周長的最小值.【詳解】由得，故.由三角形面積公式得.所以三角形的周長，當且僅當時，等號成立.故周長的最小值為.【點睛】本小題主要考查余弦定理解三角形，考查三角形面積公式，考查利用基本不等式求最小值，屬于中檔題.16.已知三棱錐外接球的表面積為，面，則該三棱錐體積的最大值為_?！敬鸢浮俊窘馕觥俊痉治觥扛鶕虻谋砻娣e計算出球的半徑.利用勾股定理計算出三角形外接圓的半徑，根據正弦定理求得的長，再根據圓內三角形面積的最大值求得三角形面積的最大值，由此求得三棱錐體積的最大值.【詳解】畫出圖像如下圖所示，其中是外接球的球心，是底面三角形的外心，.設球的半徑為，三角形外接圓的半徑為，則，故在中，.在三角形中，由正弦定理得.故三角形為等邊三角形，其高為.由于為定值，而三角形的高等于時，三角形的面積取得最大值，由于為定值，故三棱錐的體積最大值為.【點睛】本小題主要考查外接球有關計算，考查三棱錐體積的最大值的計算，屬于中檔題.三、解答題：（解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知數列的前項和滿足，且。（1）求數列的通項公式；（2）若，求數列的前項和?！敬鸢浮?1) (2) 【解析】【分析】（1）利用，求得數列的通項公式.（2）利用裂項求和法求得數列的前項和.【詳解】解：（1）當時，當時，是以為首項，為公差的等差數列，；（2）由（1）得，?！军c睛】本小題主要考查利用求數列的通項公式，考查裂項求和法，屬于中檔題.18.如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，是正三角形，是的中點。（1）證明：；（2）求三棱錐的體積?！敬鸢浮?1)見證明(2) 【解析】【分析】（1）利用余弦定理求得的長，利用勾股定理證得，結合，證得平面，由此證得.(2) 連接，利用等體積法進行轉化，即，根據（1）得到是三棱錐的高，由此計算出幾何體的體積.【詳解】（1）證明：，由余弦定理得：，平面，；（2）連接，由（1）得平面，是的中點，。【點睛】本小題主要考查線線垂直的證明，考查余弦定理解三角形，考查等體積法求幾何體的體積，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.19.已知某保險公司某險種的基本保費為（單位：元），繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數的關聯如下表：上年度出險次數0123保費（元）隨機調查了該險種的200名續(xù)保人在一年內的出險情況，得到下表：出險次數0123頻數140401262該保險公司這種保險的賠付規(guī)定如下表：出險序次第1次第2次第3次第4次第5次及以上賠付金額（元）0將所抽樣本的頻率視為概率。（1）求本年度續(xù)保人保費的平均值的估計值；（2）求本年度續(xù)保人所獲賠付金額的平均值的估計值；（3）據統(tǒng)計今年有100萬投保人進行續(xù)保，若該公司此險種的純收益不少于900萬元，求的最小值（純收益=總入保額-總賠付額）?！敬鸢浮?1) (2) (3) 100元【解析】【分析】（1）先計算出每個保費對應的概率，然后按照平均值的計算公式計算出平均值的估計值.（2）先計算出每個賠償金額對應的概率，然后按照平均值的計算公式，計算出平均值的估計值.（3）根據（1）（2）計算的結果計算出純收益為，使求得的最小值.【詳解】解：（1）由題意可得保費（元）概率0.70.20.060.030.01本年度一續(xù)保人保費的平均值的估計值為；（2）由題意可得賠償金額（元）0概率0.70.20.060030.01本年度一續(xù)保人所獲賠付金額的平均值的估計值；（3）由（1），（2）得該公司此險種的總收益為，基本保費的最小值為100元?！军c睛】本小題主要考查平均數的計算，考查實際應用問題，屬于中檔題.20.已知直線與拋物線相交于兩個不同點，點是拋物線在點處的切線的交點。（1）若直線經過拋物線的焦點，求證：；（2）若，且直線經過點，求的最小值?！敬鸢浮?1)見證明；(2)1【解析】【分析】(1)求得拋物線焦點的坐標，當直線的斜率時，設出直線方程，聯立直線的方程和拋物線方程，寫出韋達定理.求得過點切線的方程，聯立兩條切線方程求得交點的坐標，計算，由此證得.當直線的斜率時，根據直線的方程和點的坐標證得.從而證得成立.（2）根據題意求得拋物線的方程，當直線的斜率時，設出直線的方程，代入拋物線方程，寫出韋達定理，由弦長公式求得，求得點坐標后利用點到直線的距離公式求得三角形的高，由此求得三角形面積的表達式，利用配方法求得面積的最小值.當直線的斜率時，求得三角形的面積為.綜上，的最小值為.【詳解】解：（1）由題意可得，當時，設直線，點的坐標分別為，由得，過點的切線方程為，即，過點的切線方程為，由得，；當時，則直線，；（2）由題意可得，當時，設直線，點的坐標分別為，由，得，由（1）可得過點的切線方程分別為，由得，到直線的距離，當時，取最小值1；當時，則直線，綜上，的最小值為1。【點睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關系，考查有關三角形面積的最值的求法，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.21.已知，函數.（1）證明：有兩個極值點；（2）若是函數的兩個極值點，證明：.【答案】(1)證明見詳解；(2)證明見詳解.【解析】【分析】(1)根據函數的導數，判斷出的單調區(qū)間，進而證得函數有兩個極值點.(2)根據（1）的結論，得，且，化簡后可得，由此證得不等式成立.【詳解】（1）證明：由題意得，令，則在上遞增，且，當時，遞減；當時，遞增，.當時，遞增；當時，遞減，是的極大值點.，.當時，遞減；當時，遞增，是的極小值點.在上有兩個極值點.（2）證明：由（1）得，且，.=.設，則，在時單調遞減，則.，則.【點睛】本題主要考查利用二次求導研究函數的單調性與極值，考查化歸與轉化的數學思想方法，難度較大，屬于難題.22.已知在直角坐標系中，曲線的參數方程為（其中為參數），點在曲線上運動，動點滿足，其軌跡為曲線，以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系。（1）求曲線,的普通方程；（2）若點分別是射線與曲線，的公共點，求的最大值?！敬鸢浮?1) 曲線的普通方程為，的普通方程為；(2) 【解析】分析】（1）先故根據坐標變換的知識求得點的參數方程，對的參數方程消參后，得到普通方程.（2）先求得的極坐標方程，將代入這兩個極坐標方程，由此求得的最大值.【詳解】解：（1）設，點在曲線上，曲線的普通方程為，曲線普通方程為；（2）由得曲線的極坐標方程為，曲線的極坐標方程為，由得或，或，由得或，或，最大值為?！军c睛】本小題主要考查坐標變換，考查參數方程化為直角坐標方程，考查直角