“一紙”思維——在草稿本的使用中培養(yǎng)幾何直觀.docx

“一紙”思維在草稿本的使用中培養(yǎng)幾何直觀蔣家璐金家漕小學(xué)【摘要】草稿本是學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的重要工具。草稿本的主要作用是表征題目意思，體現(xiàn)思維過程，記錄階段性思維成果。在表征題目意思方面就包含了很多幾何直觀的培養(yǎng)。借助草稿本，學(xué)生可以經(jīng)歷從實物直觀到簡約符號直觀，從簡約符號直觀到圖形直觀的過程。正確地使用草稿本有助于培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀?！娟P(guān)鍵詞】草稿本幾何直觀解決問題(關(guān)鍵字應(yīng)該分開，草稿本 幾何直觀 ）教學(xué)中，經(jīng)?？梢钥吹竭@樣的現(xiàn)象：學(xué)生打草稿時有時候打在小紙頭上，有時候直接打在手掌上。翻翻學(xué)生的草稿本,也能發(fā)現(xiàn)并不是每個學(xué)生的草稿本都能專本專用，學(xué)生們大多只是在不能口算的情況下使用草稿本。草稿本是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要工具，用好草稿本能夠幫助學(xué)生提高解決問題的能力。學(xué)生借助草稿本進(jìn)一步表征題目意思，在草稿本上展現(xiàn)探究、思考的過程，記錄階段性思維成果。表征題目意思就體現(xiàn)了幾何直觀的重要意義。因此草稿本的使用和培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀之間存在著非常密切的關(guān)系，教師在教學(xué)的過程中應(yīng)當(dāng)培養(yǎng)學(xué)生“本不離手”的好習(xí)慣，并且引導(dǎo)學(xué)生有條理地使用草稿本。一、所見（標(biāo)題不夠新穎，所見，所見什么呢，能否概括所見現(xiàn)狀）筆者針對草稿本的使用情況和學(xué)生做了個別訪談，以下是其中一段對話。問：你做題時經(jīng)常使用草稿本么？答：是的。問：通常什么情況下使用草稿本？答：算式口算算不出來的時候。問：算不出來時在草稿本上干什么？答：列豎式。問：有專門的草稿本么？答：沒有。問：草稿都打在哪里？答：有時隨便打來一張紙，有時候就打在作業(yè)本上再擦掉。（這個調(diào)查能否設(shè)計幾個問題，用表格的形式呈現(xiàn)）這段對話反映出學(xué)生在主觀上忽視了草稿本的重要作用，并且在使用草稿本過程中存在著很多誤區(qū)。1.對草稿本作用的認(rèn)識比較單一。學(xué)生對于草稿本的普遍認(rèn)識在于算不出來的時候列豎式用。其實不只是學(xué)生，很多教師對于草稿本的認(rèn)識也還是停留在列豎式計算上?；谶@樣的認(rèn)識很多學(xué)生的草稿本上通常只有一些豎式（如圖1）。然而，觀察一些數(shù)學(xué)成績比較拔尖的學(xué)生的草稿本可以發(fā)現(xiàn)，他們的草稿本上除了列豎式以外還有很多的圖形、符號（如圖2）。圖2圖12.打草稿的時候比較隨意。部分學(xué)生沒有專門的一本草稿本，或者說準(zhǔn)備了草稿本但是卻沒有專門用來打草稿。在需要用到草稿本的時候隨手拿一張紙或直接在書的角落里打草稿。草稿本上的內(nèi)容也是雜亂無章的，沒有條理性，有時候連自己也看不懂意思。（補(bǔ)充圖片）3.缺乏簡潔的個人符號系統(tǒng)。要簡明有效地表明題目的意思就需要一系列有意義的圖形或符號。這些符號有些是規(guī)定的，比如說用S表示面積，用r表示半徑，有些則是自己創(chuàng)造的，這些符號的意思可能只有學(xué)生自己能看懂。這里的用符號和圖形表征題目意思就體現(xiàn)了幾何直觀的重要意義。而不少同學(xué)的草稿本上缺乏對符號的創(chuàng)造性運用。（這個用符號的目的是什么呢，是省時還是什么，要講清楚）二、所思（思什么）課標(biāo)中對幾何直觀的描述是這樣的：幾何直觀就是利用圖形描述和分析問題。使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡單、形象。幾何直觀能夠幫助學(xué)生在解決問題的過程中探索解題思路，預(yù)測結(jié)果。能使問題變得更加直觀。這是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的一種重要學(xué)習(xí)方法。史寧中和孔凡哲認(rèn)為幾何直觀包括實物直觀、簡約符號直觀、圖形直觀、替代物直觀四種形式。草稿本的使用主要體現(xiàn)了其中的簡約符號直觀和圖形直觀。借助幾何直觀把題目中抽象的數(shù)量關(guān)系在草稿本上用圖形（如幾何圖形、線段圖、簡單符號等）描述出來，便于更加清晰地理清數(shù)量關(guān)系；將思維過程體現(xiàn)在草稿本上，便于反思和梳理，查找思維的漏洞；將階段性思維過程記錄在草稿本上，減輕記憶的負(fù)擔(dān)，有利于學(xué)生更多地把注意力集中在關(guān)鍵問題的思考。1.在草稿本上經(jīng)歷從實物直觀到簡約符號直觀的過程（半抽象、抽象的過程）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開實物直觀。實物直觀的抽象程度比較低，對于學(xué)生來說更加容易理解。但是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不可能只是依靠實物直觀。一方面并不是所有的數(shù)學(xué)問題都可以在生活中找到實物模型，另一方面過多地依賴實物不利于學(xué)生抽象思維的發(fā)展。因此首先要讓學(xué)生脫離實物的束縛，在實物的基礎(chǔ)上抽象出簡單的圖形或符號。圖3人教版數(shù)學(xué)教材一年級上冊加法這一課中（如圖3），氣球是屬于實物層面的，圓圈則是半具體半抽象的，屬于簡約符號層面。教材中把氣球抽象成四個圓圈來表示，這是摒棄了氣球作為實物的一些具體特征（如顏色、形狀、大小等），僅保留了作為“數(shù)量”的特征。這就實現(xiàn)了從實物直觀到簡約符號直觀的飛躍。這個過程對于剛接觸的小學(xué)生來說是比較困難的，但是隨著年級的增高，在解題方面有著十分重要的作用。學(xué)生在利用草稿本解題時，便可以將具體的事物抽象成、等簡單的符號幫助解題。2.在草稿本上實現(xiàn)從簡約符號直觀到圖形直觀的提升圖形直觀中的“圖形”其實指的是一種特殊的符號。圖形直觀其實是利用圖形的空間關(guān)系直觀地來表示題目中的數(shù)量關(guān)系。圖4如人教版數(shù)學(xué)教材二下混合運算中的例4（如圖4），左右兩個長方形的關(guān)系直觀地表示了數(shù)量間的關(guān)系。圖形直觀忽略了具體數(shù)量的多少轉(zhuǎn)而更加關(guān)注圖形間的關(guān)系，從圖形的關(guān)系中看數(shù)量關(guān)系。由此看來，圖形直觀的抽象程度要高于簡約符號直觀。其優(yōu)越性主要表示在以下幾點。第一畫圖更簡單，不需要表示出具體的數(shù)量，如圖4，并不需要畫出具體有幾個面包，只要畫出相對應(yīng)的長方形就可以了。當(dāng)題中的數(shù)量比較大時，這種方法顯得尤為方便。第二更突顯數(shù)量之間的關(guān)系。引導(dǎo)學(xué)生將關(guān)注點從數(shù)量轉(zhuǎn)向數(shù)量關(guān)系，有利于學(xué)生抽象思維的提升。（這一段貌似和草稿本沒多大關(guān)系，試著聯(lián)系起來）3.創(chuàng)造符號表達(dá)思維過程用草稿本解決問題的方法有很多。單從幾何直觀角度來說，畫圖的方法也有很多。但是教學(xué)中經(jīng)常發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生畫的圖連他自己也不知道是什么意思。讓“圖”變得更簡潔、明了是教師們在教學(xué)中要努力引導(dǎo)學(xué)生達(dá)到的目標(biāo)。要實現(xiàn)這個目標(biāo)，就需要學(xué)生在解題過程中創(chuàng)造性地使用符號，形成自己的數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)。如：北師大教材四上中有這樣一個問題：圖5學(xué)生在解題的過程中出現(xiàn)了這樣的幾種情況。圖6圖7圖8圖9請學(xué)生比較四種畫法，說說更喜歡哪一種，孩子們普遍喜歡第四種（圖10）。由此可以看出，數(shù)學(xué)中的“畫圖”和美術(shù)中畫圖有著本質(zhì)的區(qū)別。數(shù)學(xué)中的“畫圖”不講究圖案的相像而是追求簡明，更注重于其關(guān)于“數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系”的內(nèi)涵。（這一段貌似和草稿本沒多大關(guān)系，試著聯(lián)系起來）三、所做（做什么，概括要點）幾何直觀是新課標(biāo)的十個核心詞之一，平時的教學(xué)中，除了在課上培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀，另一個培養(yǎng)的途徑就是利用草稿本。（這句有問題，幾何直觀培養(yǎng)只有上課和打草稿嗎，課上不打草稿嗎，這是包容的）如何在草稿本的使用中培養(yǎng)幾何直觀是教師們需要思考的。針對學(xué)生使用草稿本的現(xiàn)狀，筆者在教學(xué)實踐中發(fā)現(xiàn)遵循四“一”策略有助于學(xué)生幾何直觀的培養(yǎng)。即糾正一個想法，樹立一個觀念，養(yǎng)成一個習(xí)慣，引領(lǐng)一個方法。1.糾正一個想法：打草稿太麻煩學(xué)生們總是有這樣一個想法：打草稿太累，打完草稿還要再抄到作業(yè)本上去太麻煩，又浪費回見。因此很多學(xué)生總是在腦子里想想就寫上了答案。顯而易見，這樣做出來的作業(yè)正確率不高。打草稿是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式之一。借助草稿紙，學(xué)生能明顯地提高解題正確率。并且使用草稿紙并不會降低解題速度，當(dāng)碰到稍難的題目時，反而會提高解題速度。（具體糾正思想的策略沒有看見）2.樹立一個觀念：答案還可以是“畫”出來的解決問題的過程包括分析題目，理清數(shù)量關(guān)系，列式解答，檢驗反思等。學(xué)生平時做作業(yè)時，教師一般要求在題目下面寫上算式并解答。這就使部分學(xué)生誤解解題就是列式，從而忽略了對題目意思的理解，對數(shù)量關(guān)系的分析。導(dǎo)致很多學(xué)生學(xué)乘法時一看到數(shù)據(jù)就相乘（錯別字），學(xué)除法是一看到數(shù)據(jù)就想除的現(xiàn)象?！疤最愋汀愃闶健钡牟涣冀忸}習(xí)慣隨處可見。然而事實上，列式解答知識解決問題過程中的結(jié)果呈現(xiàn)，并不是解決問題過程的全部。并且并不是所有的問題都必須通過列式才能解答，有的可以通過文字的敘述，有的甚至還可以通過畫圖等。這時草稿本就起了一個記錄階段性思維成果的作用。學(xué)生的很大一部分思維活動都體現(xiàn)在草稿本上。如人教版數(shù)學(xué)一年級上冊有這樣一個例題（如圖11）：圖10在解決這個問題時，如果能在草稿本上畫畫圖，那答案是一目了然的。但如果非要列式解答的話，對于一年級的孩子來說還是比較困難的。所以說，數(shù)學(xué)不一定是算出來的，也有可能是在草稿本上“畫”出來的。（把用草稿本畫的圖片附上去效果更好）3.養(yǎng)成一個習(xí)慣：本不離手草稿本作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要工具，不應(yīng)該是臨時去找，而應(yīng)該隨時放在手頭備用。教師應(yīng)有意識地引導(dǎo)學(xué)生正確使用草稿本。1） 準(zhǔn)備一本專門的本子作為草稿本。學(xué)期初發(fā)本子時可以專門發(fā)現(xiàn)一本寫上草稿本并且說明要隨時檢查2） 加強(qiáng)草稿本使用的指導(dǎo)，也就是說要知道草稿本是用來干什么的。第一用自己喜歡的方法較簡單地表征題目的意思。第二記錄自己的思考過程。3） 在解決問題中，將對問題結(jié)果的關(guān)注更多地轉(zhuǎn)移到對解題過程的關(guān)注上來。時不時地將草稿本收上來看看學(xué)生的想法，從中也能發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思維漏洞。好的草稿本可以在班里展示，作為榜樣。4） 讓學(xué)生真正需要草稿本。只有需要才會使用。先讓學(xué)生體驗到草稿本的優(yōu)越性，讓其認(rèn)同草稿本使用的必要性。教師可以出示一些例題，讓學(xué)生感受用草稿本解題和不用草稿本解題對解題結(jié)果的影響，從而體會到草稿本的重要性。4.引領(lǐng)一個方法：高效且有序草稿本中有一個“草”字，這說明，在草稿本上作圖可以畫草圖不用太精確，寫字也不用像在作業(yè)本上那么端正，甚至在列豎式計算時只列一半，在保證解題正確率的基礎(chǔ)上，盡量節(jié)省時間，可以創(chuàng)建自己的符號系統(tǒng)，理清數(shù)量關(guān)系，這就是所謂高效。但是這并不是說草稿本上可以隨便亂涂亂畫，雜亂無章。草稿至少要讓自己看得懂，并且能夠清晰地反映自己的想法。一般來說，打草稿時也是從左往右從上往下有順序地書寫，這樣能夠使得思維更加清晰，也有利于自己的反思和檢查，發(fā)現(xiàn)思