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數(shù)學(xué)建模簡明教程 國家精品課程 第三章常微分方程 一 引言 二 模型的建立 機理分析法 三 SARS傳播模型中參數(shù)的確定 四 SARS傳播模型的求解 五 參數(shù)的靈敏度分析 2003年全國數(shù)模競賽的A題 SARS Severe 制提供可靠 足夠的信息的傳染病模型 傳播 要求建立一個能夠預(yù)測以及能為預(yù)防和控 AcuteRespiratorySyndrome 非典型肺炎 的 天發(fā)病 SARS自02年11月發(fā)現(xiàn)以來 迅速蔓延 播的惡性傳染病 潛伏期約2 12天 通常在4 5 非典型肺炎是21世紀(jì)第一個在世界范圍內(nèi)傳 一 引言 到世界28個國家 據(jù)世界衛(wèi)生組織報告 截至03 延創(chuàng)造條件的重要性 這是人們十分關(guān)注的問題 研究傳染病的傳播規(guī)律 為預(yù)測和控制傳染病蔓 中得到了許多重要的經(jīng)驗和教訓(xùn) 認(rèn)識到定量地 的經(jīng)濟發(fā)展和人民生活帶來了很大影響 我們從 患者即高達(dá)百人以上 SARS的爆發(fā)和蔓延給我國 人 其中343人死亡 高峰期 北京市每日新增 792人死亡 我國情況尤為嚴(yán)重 病例高達(dá)5327 年6月13日 全世界的SARS病例已達(dá)8454人 共 建立SARS傳播的數(shù)學(xué)模型 可以在一般情 和控制 最后給出參數(shù)的靈敏度分析以探討SARS的預(yù)防 參數(shù) 從而利用Runge Kutta方法求解該模型 針對SARS傳播模型討論如何確定模型中的關(guān)鍵 介紹利用機理分析法建立SARS傳播模型 然后 是依據(jù)機理分析的方法來建模 為此 本章首先 流行的觀測往往也不完善和充分 因此通常主要 況分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律 然而實際SARS 問題分析 1 SI模型 推知 二 模型的建立 機理分析法 SI模型 i t曲線 di dt i曲線 關(guān)于SI模型的結(jié)論 1 最終全部感染為病人 2 模型沒有考慮病人可以治愈 3 i 0 5時 di dt最大 傳染病高潮到來 此時 2 SIS模型 推知 SIS模型的解 SIS模型的分析 i t曲線 關(guān)于SIS模型的結(jié)論 1 接觸數(shù)的臨界值為 2 SI模型可視為本模型的特例 此時 3 SIR模型 推知 相平面S I分析 SIR模型的相軌線 i s 關(guān)于SIR模型的結(jié)論 4 SARS的傳播模型 就是抓住主要矛盾 忽略一些不必要的因素和 次要矛盾 理假設(shè)的前提下 確定主要因素之間的關(guān)系 也 手 微分方程建模是從實際問題出發(fā) 在某些合 把所有的因素全部考慮在內(nèi)建立模型 將無從下 遷出以及潛伏期和地理環(huán)境等因素的影響 如果 治愈率的大小等 另外 還要考慮人群的遷入 多 如患病者的數(shù)量 易感者的數(shù)量 傳染率和 事實上 SARS在傳播過程中涉及的因素很 關(guān)于SARS的假設(shè) 3 假設(shè)病人被感染后需先進入潛伏期 在潛伏期 2 結(jié)合SARS的病理特性 假設(shè)其傳播方式為接 1 所研究地區(qū)的人口總量一定 不考慮人口遷入 遷出 自然出生和自然死亡 觸性傳播 不與患病者接觸就不會被感染 內(nèi)不具備傳染性 傳染他人 易感者感染的機會與接觸患病者的機會成正比 6 假設(shè)SARS康復(fù)者不會被再次感染 且無傳染性 4 假設(shè)易感者與患病者在人群中混合充分均勻 并且傳染率為常數(shù) 5 假設(shè)SARS患者被發(fā)現(xiàn)后就立即被隔離 被隔離 者不具備傳染性 SARS患者只在被發(fā)現(xiàn)前可以 人口分類 在此用絕對人數(shù) SARS傳播倉室模型的框圖 參數(shù)說明 SARS模型 三 SARS傳播模型中參數(shù)的確定 型 可參照傳染病的一般原理 充分利用衛(wèi)生 仿真 模擬來確定參數(shù)隨時間變化的函數(shù)關(guān)系 型所面臨的一個關(guān)鍵問題 針對SARS傳播模 事實上 確定模型的參數(shù)往往是一般傳染病模 反映到模型中 亦是應(yīng)當(dāng)回答的一個重要問題 面 如何將我國一系列強有力的隔離預(yù)防措施 歷史數(shù)據(jù) 如對其傳染率就難以估計 另一方 是對這一突發(fā)的新型惡性傳染病缺乏認(rèn)識 無 在SARS流行初期 建模所碰到困難主要 部門每天發(fā)布的精確數(shù)據(jù) 通過對數(shù)據(jù)的動態(tài) 北京地區(qū)確診病人的死亡率和治愈率 先建立簡單的SIR模型 從而 有 因此 只要得到免疫率參數(shù) 就可以擬合出傳染系數(shù) 四 SARS傳播模型的求解 1 Runge Kutta方法 迭代公式解法 p階公式 如果有 二階Runge Kutta公式