中考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn) 三角函數(shù)復(fù)習(xí) 銳角三角函數(shù)和解直角三角形課件.ppt

第36課銳角三角函數(shù)和解直角三角形 1 銳角三角函數(shù)的意義 rt abc中 設(shè) c 90 為rt abc的一個(gè)銳角 則 的正弦sin 的余弦cos 的正切tan 要點(diǎn)梳理 2 30 45 60 的三角函數(shù)值 如下表 1 3 同角三角函數(shù)之間的關(guān)系 sin2 cos2 tan 互余兩角的三角函數(shù)關(guān)系式 為銳角 sin cos 函數(shù)的增減性 0 90 1 sin tan 的值都隨 2 cos 都隨 1 cos sin 增大而增大 增大而減小 4 解直角三角形的概念 方法及應(yīng)用 解直角三角形 由直角三角形中除直角外的已知元素 求出所有未知元素的過(guò)程叫做解直角三角形 直角三角形中的邊角關(guān)系 在rt abc中 c 90 a b c所對(duì)的邊分別為a b c則 1 邊與邊的關(guān)系 2 角與角的關(guān)系 3 邊與角的關(guān)系 5 三角形面積公式 s ah a2 b2 c2 a b 90 sina cosb cosa sinb tana tanb absinc 1 正確理解三角函數(shù)的概念書(shū)寫(xiě)三角函數(shù)時(shí) 若銳角用一個(gè)大寫(xiě)字母或者一個(gè)小寫(xiě)希臘字母表示的 表示它的正弦時(shí) 習(xí)慣省略角的符號(hào) 如sina 若銳角是用三個(gè)大寫(xiě)字母或數(shù)字表示的 表示它的正弦時(shí) 不能省略角的符號(hào) 如sin abc 余弦和正切的寫(xiě)法同理 由定義可以看出 銳角a的正弦 余弦 正切都是它所在直角三角形的兩邊的比 因此都是正數(shù) 因?yàn)殇J角a的取值范圍是00 當(dāng) a確定時(shí) 三個(gè)比值也分別有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng) 難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源 2 解直角三角形在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用解直角三角形在實(shí)際中有廣泛的應(yīng)用 主要涉及測(cè)量 航空 航海 工程等領(lǐng)域 常作為習(xí)題出現(xiàn)的有以下幾個(gè)方面 度量工作 工程建筑 測(cè)量距離等 解這類(lèi)問(wèn)題的一般步驟是 1 弄清題中名詞術(shù)語(yǔ)的意義 然后根據(jù)題意畫(huà)出幾何圖形 建立數(shù)學(xué)模型 2 將實(shí)際問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系歸結(jié)為直角三角形中元素之間的關(guān)系 當(dāng)有些圖形不是直角三角形時(shí) 可添加適當(dāng)?shù)妮o助線 把它們分割成直角三角形 3 尋求基礎(chǔ)直角三角形 并解這個(gè)三角形或設(shè)未知數(shù)進(jìn)行求解 1 2011 煙臺(tái) 如果 abc中 sina cosb 則下列最確切的結(jié)論是 a abc是直角三角形b abc是等腰三角形c abc是等腰直角三角形d abc是銳角三角形解析 當(dāng)sina cosb 時(shí) a b 45 所以 abc是等腰直角三角形 基礎(chǔ)自測(cè) c 2 2011 湖州 如圖 已知在rt abc中 c 90 bc 1 ac 2 則tana的值為 a 2b c d 解析 在rt abc中 c 90 tana b 3 2011 茂名 如圖 已知45 cosac sina tanad sina b bc ac 在rt abc中 sina cosa sina cosa b 4 20011 鎮(zhèn)江 如圖 在rt abc中 acb 90 cd ab 垂足為d 若ac bc 2 則sin acd的值為 a b c d 解析 在rt abc中 acb 90 ac bc 2 則ab 3 由cd ab 得 acd b 所以sin acd sinb a 5 2011 蘇州 如圖 在四邊形abcd中 e f分別是ab ad的中點(diǎn) 若ef 2 bc 5 cd 3 則tanc等于 a b c d 解析 連接bd 因?yàn)閑 f分別是ab ad的中點(diǎn) 所以ef是 abd的中位線 bd 2ef 2 2 4 在 bcd中 bd 4 bc 5 cd 3 由bd2 cd2 bc2 得 bdc 90 所以tanc b 題型一特殊角三角函數(shù)參與實(shí)數(shù)運(yùn)算 例1 計(jì)算tan45 sin45 4sin30 cos45 tan30 解 原式 1 4 探究提高利用特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行數(shù)的運(yùn)算 往往與絕對(duì)值 乘方 開(kāi)方 二次根式相結(jié)合 準(zhǔn)確地記住三角函數(shù)值是解決此類(lèi)題目的關(guān)鍵 所以必須熟記 題型分類(lèi)深度剖析 知能遷移1計(jì)算 1 tan45 的值是 解析 tan45 1 1 1 0 0 2 2sin60 解析 2sin60 2 3 解析 tan30 1 1 tan30 1 1 題型二仰角 俯角 方向角有關(guān)問(wèn)題 例2 已知 如圖 在某建筑物ac上 掛著 多彩云南 的宣傳條幅bc 小明站在點(diǎn)f處 看條幅頂端b 測(cè)得仰角為30 再往條幅方向前行20m到達(dá)點(diǎn)e處 看到條幅頂端b 測(cè)得仰角為60 求宣傳條幅bc的長(zhǎng) 小明的身高不計(jì) 結(jié)果用含有根號(hào)的式子表示 解 設(shè)bc x 在rt bcf中 tanf cf x 在rt bce中 tan bec ec x fe fc ec x x 20 x 20 x 10 答 宣傳條幅bc的長(zhǎng)是10m 探究提高此類(lèi)問(wèn)題常與仰角 俯角等知識(shí)相關(guān) 通常由視線 水平線 鉛垂線構(gòu)成直角三角形 再利用邊與角之間存在的三角函數(shù)式 變形求得物體高度 知能遷移2 2011 潛江 五月石榴紅 枝頭鳥(niǎo)兒歌 一只小鳥(niǎo)從石榴樹(shù)上的a處沿直線飛到對(duì)面一房屋的頂部c處 從a處看房屋頂部c處的仰角為30 看房屋底部d處的俯角為45 石榴樹(shù)與該房屋之間的水平距離為3m 求出小鳥(niǎo)飛行的距離ac和房屋的高度cd 解 作ae cd于點(diǎn)e 由題意可知 cae 30 ead 45 ae 3m 在rt ace中 tan cae 即tan30 ce 3tan30 3 3m ac 2ce 2 3 6 m 在rt aed中 ade 90 ead 90 45 45 de ae 3 m dc ce de 3 3 m 答 ac 6m dc 3 3 m 題型三解直角三角形的簡(jiǎn)單應(yīng)用 例3 2010 赤峰 關(guān)于三角函數(shù)有如下的公式 sin sin cos cos sin cos sin cos sin sin tan 1 tan tan 0 利用這些公式可以將一些不是特殊的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)來(lái)求值 如tan105 tan 45 60 2 根據(jù)上面的知識(shí) 你可以選擇適當(dāng)?shù)墓浇鉀Q下面的實(shí)際問(wèn)題 如圖 直升飛機(jī)在一建筑物cd上方a點(diǎn)處測(cè)得建筑物頂端d點(diǎn)的俯角 為60 底端c點(diǎn)的俯角 為75 此時(shí)直升飛機(jī)與建筑物cd的水平距離bc為42m 求建筑物cd的高 解 過(guò)點(diǎn)d作de ab于e 在rt ade中 ade a 60 ae ed tan60 bc tan60 42 在rt acb中 acb 75 ab bc tan75 tan75 tan 45 30 2 ab 42 2 84 42 cd be ab ae 84 42 42 84 答 建筑物cd的高為84m 探究提高在解斜三角形時(shí) 通常把斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形 常見(jiàn)的方法是作高 作高把斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形 再利用解直角三角形的有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題 知能遷移3 2011 安順 一次數(shù)學(xué)活動(dòng)課上 老師帶領(lǐng)學(xué)生去測(cè)一條南北流向的河寬 如圖所示 某學(xué)生在河?xùn)|岸點(diǎn)a處觀測(cè)到河對(duì)岸水邊有一點(diǎn)c 測(cè)得c在a北偏西31 的方向上 沿河岸向北前行40m到達(dá)b處 測(cè)得c在b北偏西45 的方向上 請(qǐng)你根據(jù)以上數(shù)據(jù) 求這條河的寬度 參考數(shù)值 tan31 解 如圖 過(guò)點(diǎn)c作cd ab于d 由題意 dac 31 dbc 45 設(shè)cd bd x 則ad ab bd 40 x 在rt acd中 tan dac 則 解得x 60 答 這條河的寬是60m 題型四解直角三角形在實(shí)際中的應(yīng)用 例4 2010 杭州 如圖 臺(tái)風(fēng)中心位于點(diǎn)p 并沿東北方向pq移動(dòng) 已知臺(tái)風(fēng)移動(dòng)的速度為30千米 時(shí) 受影響區(qū)域的半徑為200千米 b市位于點(diǎn)p的北偏東75 方向上 距離p點(diǎn)320千米處 1 說(shuō)明本次臺(tái)風(fēng)會(huì)影響b市 2 求這次臺(tái)風(fēng)影響b市的時(shí)間 解題示范 規(guī)范步驟 該得的分 一分不丟 解 1 作bh pq于點(diǎn)h 在rt bhp中 由條件知 pb 320 bpq 75 45 30 得bh 320 sin30 160 200 本次臺(tái)風(fēng)會(huì)影響b市 4分 2 如圖 若臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)到p1時(shí) 臺(tái)風(fēng)開(kāi)始影響b市 臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)到p2時(shí) 臺(tái)風(fēng)影響結(jié)束 由 1 得bh 160 由條件得bp1 bp2 200 p1p2 2 240 8分 臺(tái)風(fēng)影響的時(shí)間t 8 小時(shí) 10分 探究提高此類(lèi)問(wèn)題一般求出危險(xiǎn)區(qū)域中心的距離 看其是否小于圓形危險(xiǎn)區(qū)域的半徑 其實(shí)質(zhì)是判斷圓和直線的位置關(guān)系 求影響情況 通常以此為圓心 以臺(tái)風(fēng)影響半徑為半徑畫(huà)圓 交臺(tái)風(fēng)行進(jìn)路線于兩點(diǎn) 這兩點(diǎn)之間的距離就是受影響其間臺(tái)風(fēng)所經(jīng)過(guò)的路程 其中最靠近臺(tái)風(fēng)方向的一點(diǎn)表示臺(tái)風(fēng)開(kāi)始影響 另一點(diǎn)表示臺(tái)風(fēng)結(jié)束影響 知能遷移4 2010 烏魯木齊 某過(guò)街天橋的截面圖為梯形 如圖所示 其中天橋斜面cd的坡度為i 1 i 1 是指鉛直高度de與水平寬度ce的比 cd的長(zhǎng)為10m 天橋另一斜面ab坡角 abg 45 1 寫(xiě)出過(guò)街天橋斜面ab的坡度 2 求de的長(zhǎng) 3 若決定對(duì)該過(guò)街天橋進(jìn)行改建 使ab斜面的坡度變緩 將其45 坡角改為30 方便過(guò)路群眾 改建后斜面為af 試計(jì)算此改建需占路面的寬度f(wàn)b的長(zhǎng) 結(jié)果精確0 01 解 1 在rt agb中 abg 45 ag bg ab的坡度 1 2 在rt dec中 tanc c 30 又 cd 10 de cd 5 3 由 1 知 ag bg 5 在rt afg中 afg 30 tan afg 即 解得fb 5 5 3 66 答 改建后需占路面寬度約為3 66m 24 添加輔助線 把分散條件集中起來(lái)試題如圖 ad是bc邊上的高 ad dc bd 1 2 3 求 bac的度數(shù) 學(xué)生答案展示不能添加輔助線來(lái)考慮 從而無(wú)法下手 剖析如圖 延長(zhǎng)ba 過(guò)c畫(huà)ce ab 只要求 bac的外角即可 易錯(cuò)警示 正解過(guò)c作ce ba 交ba的延長(zhǎng)線于點(diǎn)e 設(shè)ad m 則dc 2m bd 3m ac m ab m b b adb ceb 90 bec bda m ce m 在rt aec中 sin eac eac 45 bac 135 批閱筆記如果題目中的條件比較分散 所給的圖形不夠完整 我們可以通過(guò)作垂線 作平行線等添輔助線的方法 將斜三角形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的數(shù)學(xué)模型 化斜為直的思想 把分散的條件集中起來(lái) 構(gòu)造直角三角形 相似三角形 以達(dá)到解題目的 方法與技巧1 準(zhǔn)確理解三角函數(shù)概念 熟練運(yùn)用正弦 余弦 正切的定義 2 形成解直角三角形思考過(guò)程的程序 在不同的條件下 應(yīng)有不同的考慮 無(wú)論什么條件下 分別求解各未知元素時(shí) 應(yīng)盡量代入已知的數(shù)值 少用在前面的求解中剛剛算出的數(shù)值 以減少以錯(cuò)傳誤的機(jī)會(huì) 3 解直角三角形應(yīng)用題的思考方法 1 尋求各類(lèi)應(yīng)用題的共同思考步驟 審題 把情景盡可能弄通 弄細(xì)致 甚至畫(huà)個(gè)示意圖 把示意圖轉(zhuǎn)化為幾何圖 思想方法感悟提高 從要求的量所在的直角三角形分析 解之 若條件不足 轉(zhuǎn)而先去解所缺條件所在的直角三角形 然后返回 若條件仍不足 再去解第二次所缺條件所在的直角三角形 直至與全部已知條件掛上鉤 然后層層返回 2 積累各種類(lèi)型應(yīng)用題的特殊思考步驟 如 測(cè)高問(wèn)題 測(cè)不可到達(dá)的兩點(diǎn)間距離問(wèn)題 航海有關(guān)問(wèn)題等 失誤與防范1 在直角三角形中 求銳角三角函數(shù)值的問(wèn)題 一般轉(zhuǎn)化為求兩條邊的問(wèn)題 這樣就把新知識(shí)