高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) （回顧+突破+鞏固+提升作業(yè)） 第六章 第四節(jié) 簡單線性規(guī)劃課件 文.ppt

第四節(jié)簡單線性規(guī)劃 1 二元一次不等式 組 表示的平面區(qū)域 1 直線l ax by c 0 ax by c 0 ax by c 0 2 二元一次不等式ax by c 0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線ax by c 0某一側(cè)的 且不含邊界 作圖時邊界直線畫成 當(dāng)我們在坐標(biāo)系中畫不等式ax by c 0所表示的平面區(qū)域時 此區(qū)域應(yīng)包括邊界直線 此時邊界直線畫成 平面區(qū)域 虛線 實線 3 由于對直線ax by c 0同一側(cè)的所有點 x y 把點的坐標(biāo) x y 代入ax by c 所得到實數(shù)的符號都 所以只需在此直線的某一側(cè)取一個特殊點 x0 y0 從ax0 by0 c的 即可判斷ax by c 0 0 表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域 當(dāng)c 0時 常取 作為特殊點 相同 正 負(fù) 原點 2 線性規(guī)劃的有關(guān)概念 一次 線性 解 x y 集合 最大值 最小值 最大值 最小值 3 解二元線性規(guī)劃問題的一般步驟 1 在平面直角坐標(biāo)系中畫出 2 分析 的幾何意義 將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行變形 3 確定 4 求出 可行域 目標(biāo)函數(shù) 最優(yōu)解 最值或范圍 判斷下面結(jié)論是否正確 請在括號中打 或 1 不等式ax by c 0表示的平面區(qū)域一定在直線ax by c 0的上方 2 任何一個二元一次不等式組都表示平面上的一個區(qū)域 3 線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解可能是不唯一的 4 線性目標(biāo)函數(shù)取得最值的點一定在可行域的頂點或邊界上 5 目標(biāo)函數(shù)z ax by b 0 中 z的幾何意義是直線ax by z 0在y軸上的截距 6 目標(biāo)函數(shù)z x a 2 y b 2的幾何意義是點 x y 與 a b 的距離 解析 1 錯誤 不等式ax by c 0表示的平面區(qū)域也可能在直線ax by c 0的下方 這要取決于a與b的符號 2 錯誤 不一定 如果二元一次不等式組的解集為空集 它就不表示任何區(qū)域 3 正確 當(dāng)目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的直線與可行域的某一條邊界直線平行時 最優(yōu)解可能有無數(shù)多個 4 正確 線性目標(biāo)函數(shù)都是通過平移直線 在與可行域有公共點的情況下 其最值即在邊界或端點處取到 因此其取得最值的點一定在可行域的頂點或邊界上 5 錯誤 由ax by z 0可得才是該直線在y軸上的截距 6 錯誤 其幾何意義應(yīng)該是點 x y 與 a b 的距離的平方 答案 1 2 3 4 5 6 1 若點 m 1 在不等式2x 3y 5 0所表示的平面區(qū)域內(nèi) 則m的取值范圍是 a m 1 b m 1 c m1 解析 選d 依題意有2m 3 5 0 解得m 1 2 若x y滿足約束條件則z 3x y的最小值是 a 2 b 3 c 4 d 5 解析 選c z 3x y y 3x z 作出可行域 由圖可知過a點時z取最小值 把點a 0 4 代入 可得z 4 3 已知點p x y 的坐標(biāo)滿足條件則x2 y2的最大值為 b c 8 d 10 解析 選d 畫出不等式組對應(yīng)的可行域如圖所示 易得a 1 1 oa b 2 2 c 1 3 故 op 的最大值為即x2 y2的最大值等于10 故選d 4 某廠要將100臺洗衣機運往鄰近的鄉(xiāng)鎮(zhèn) 現(xiàn)有4輛甲型貨車和8輛乙型貨車可供使用 每輛甲型貨車運輸費用400元 可裝洗衣機20臺 每輛乙型貨車運輸費用300元 可裝洗衣機10臺 若每輛至多只運一次 則該廠所花的最少運輸費用為 a 2000元 b 2200元 c 2400元 d 2800元 解析 選b 設(shè)甲型貨車使用x輛 乙型貨車使用y輛 則所花運費為z 400 x 300y 畫出可行域 如圖 由圖可知當(dāng)直線z 400 x 300y經(jīng)過點a 4 2 時 z取最小值 最小值為zmin 2200 故選b 5 已知實數(shù)x y滿足則此不等式組表示的平面區(qū)域的面積為 解析 作可行域為 所求面積為答案 3 考向1平面區(qū)域的相關(guān)問題 典例1 1 2013 太原模擬 已知不等式組 a 0 表示的平面區(qū)域的面積是則a等于 b 3 c d 2 2 2012 福建高考 若直線y 2x上存在點 x y 滿足約束條件則實數(shù)m的最大值為 a 1 b 1 c d 2 思路點撥 1 先畫出不等式組所表示的平面區(qū)域 由于a 0 其形狀基本確定 是一個三角形 然后根據(jù)三角形的面積公式求解 2 畫出不等式組所表示的平面區(qū)域 然后結(jié)合函數(shù)y 2x的單調(diào)性及圖象特征確定區(qū)域邊界點的位置 從而求出m的值 規(guī)范解答 1 選a 畫出平面區(qū)域 可知該區(qū)域是一個三角形 設(shè)該三角形高為h 其面積等于所以解方程組選a 2 選b 如圖 當(dāng)y 2x經(jīng)過且只經(jīng)過x y 3 0和x m的交點時 即三條曲線有唯一公共點時 m取到最大值 此時 m 2m 在直線x y 3 0上 則m 1 互動探究 本例題 2 若約束條件中的m 0 那么當(dāng)函數(shù)y 2x h的圖象上存在點滿足約束條件時 實數(shù)h的取值范圍是 解析 畫出可行域 由圖形可知 當(dāng)函數(shù)y 2x h的圖象經(jīng)過點 0 3 和點 3 0 時 和區(qū)域只有一個公共點 此時h的值分別等于2和 8 因此要使函數(shù)圖象上存在點滿足約束條件 實數(shù)h的取值范圍應(yīng)是 8 h 2 答案 8 h 2 拓展提升 平面區(qū)域問題的求解思路求解平面區(qū)域與函數(shù)圖象 曲線方程等一些綜合問題時 要以數(shù)形結(jié)合思想方法為核心 充分利用函數(shù)圖象與方程曲線的特征 增減性 對稱性 經(jīng)過的定點 變化趨勢等 與平面區(qū)域的位置和形狀聯(lián)系起來 對參數(shù)的取值情況分析討論 進(jìn)行求解 變式備選 若不等式組表示的平面區(qū)域為m 當(dāng)拋物線y2 2px p 0 與平面區(qū)域m有公共點時 實數(shù)p的取值范圍是 a 0 2 b d 解析 選d 作出平面區(qū)域 如圖 可以求得a 1 2 b 2 1 代入拋物線方程可得p 2 所以 考向2線性規(guī)劃的相關(guān)問題 典例2 1 2013 望江模擬 設(shè)點m x y 是不等式組表示的平面區(qū)域 內(nèi)一動點 則 o為坐標(biāo)原點 的最大值為 a 8 b 6 c 4 d 2 2 設(shè)變量x y滿足約束條件 則的最大值為 b c 1 d 不存在 3 2013 寧波模擬 已知實數(shù)x y滿足目標(biāo)函數(shù)z ax y的最小值和最大值分別為 2和2 則a的值為 思路點撥 1 將用x y表示后 利用解決線性規(guī)劃問題的一般步驟解題 2 非線性目標(biāo)函數(shù) 借助斜率模型進(jìn)行求解 3 線性規(guī)劃逆向性問題 可行域已經(jīng)確定 可對目標(biāo)函數(shù)中的參數(shù)a進(jìn)行分類討論 確定最優(yōu)解 從而求出a的值 規(guī)范解答 1 選b 作出可行域為當(dāng)直線l 過點時z取最大值 2 選b 畫出可行域 如圖 又表示 x y 與定點p 2 0 連線的斜率 所以當(dāng) x y 在點a 0 1 時取到最大值 3 畫出可行域 如圖所示 由z ax y得y ax z 顯然當(dāng)a 0時 z的最大值和最小值分別為0和 2 不合題意 若a 0 則z ax y在a 2 2 處取得最大值2 在處取得最小值 2 因此有解得a 2 符合題意 若a 0 則z ax y在a 2 2 處取得最小值 2 在處取得最大值2 因此有無解 綜上可知 a的值為2 答案 2 互動探究 本例題 2 中 若約束條件不變 將目標(biāo)函數(shù)變?yōu)閦 x2 2x y2 則其最大值等于 解析 由于z x2 2x y2 x 1 2 y2 1 所以它表示可行域內(nèi)的點 x y 與定點m 1 0 之間距離的平方再減去1 由圖形可知 當(dāng)點 x y 在點b 2 1 時與點m的距離最大 這時 mb 所以z的最大值為答案 9 拓展提升 線性規(guī)劃中的參數(shù)問題及其求解思路 1 線性規(guī)劃中的參數(shù)問題 一般是已知目標(biāo)函數(shù)的最值或最優(yōu)解 求約束條件或目標(biāo)函數(shù)中所含參數(shù)的取值或范圍 2 解決這類問題時 首先要注意對參數(shù)取值的討論 將各種情況下的可行域畫出來 以確定是否符合題意 然后在符合題意的可行域里 尋求最優(yōu)解 從而確定參數(shù)的值 提醒 目標(biāo)函數(shù)中出現(xiàn)類似 x a 2 y b 2的形式時 應(yīng)注意它是指點 x y 與定點 a b 之間的距離的平方 而不是兩點間的距離 變式備選 在平面直角坐標(biāo)系中 若點 x y 在不等式組 a為正數(shù) 所表示的平面區(qū)域內(nèi) 且z 2x y的最大值為6 則該區(qū)域的面積等于 a 1 b 2 c 4 d 6 解析 選c 畫出可行域 如圖 當(dāng)直線y 2x z經(jīng)過m a a 時z取到最大值 所以2a a 6 得a 2 這時可行域的面積為 考向3線性規(guī)劃的實際應(yīng)用 典例3 某營養(yǎng)師要為某個兒童預(yù)訂午餐和晚餐 已知一個單位的午餐含12個單位的碳水化合物 6個單位的蛋白質(zhì)和6個單位的維生素c 一個單位的晚餐含8個單位的碳水化合物 6個單位的蛋白質(zhì)和10個單位的維生素c 另外 該兒童這兩餐需要的營養(yǎng)中至少含64個單位的碳水化合物 42個單位的蛋白質(zhì)和54個單位的維生素c 如果一個單位的午餐 晚餐的費用分別是2 5元和4元 那么要滿足上述的營養(yǎng)要求 并且花費最少 應(yīng)當(dāng)為該兒童分別預(yù)訂多少個單位的午餐和晚餐 思路點撥 設(shè)出午餐和晚餐的單位個數(shù) 列出不等式組和費用關(guān)系式 利用線性規(guī)劃求解 規(guī)范解答 設(shè)需要預(yù)訂滿足要求的午餐和晚餐分別為x個單位和y個單位 所花的費用為z元 則依題意得z 2 5x 4y 且x y滿足 作出線性約束條件所表示的可行域 如圖中陰影部分內(nèi)的整數(shù)點 將目標(biāo)函數(shù)表示的直線2 5x 4y z在可行域上平移 由此可知z 2 5x 4y在b 4 3 處取得最小值 因此 應(yīng)當(dāng)為該兒童預(yù)訂4個單位的午餐和3個單位的晚餐 就可滿足要求 拓展提升 求解線性規(guī)劃應(yīng)用題的注意點 1 明確問題中的所有約束條件 并根據(jù)題意判斷約束條件中是否能夠取到等號 2 注意結(jié)合實際問題的實際意義 判斷所設(shè)未知數(shù)x y的取值范圍 特別注意分析x y是否是整數(shù) 是否是非負(fù)數(shù)等 3 正確地寫出目標(biāo)函數(shù) 一般地 目標(biāo)函數(shù)是等式的形式 變式訓(xùn)練 2013 南昌模擬 某企業(yè)生產(chǎn)甲 乙兩種產(chǎn)品 已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用a原料3噸 b原料2噸 生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用a原料1噸 b原料3噸 甲產(chǎn)品每噸利潤為5萬元 乙產(chǎn)品每噸利潤為3萬元 該企業(yè)在一個生產(chǎn)周期內(nèi)消耗a原料不超過13噸 b原料不超過18噸 那么該企業(yè)的最大利潤為 解析 設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸 乙產(chǎn)品y噸 利潤為z萬元 由題意可得目標(biāo)函數(shù)為z 5x 3y 作出如圖所示的可行域 陰影部分 當(dāng)直線5x 3y z經(jīng)過a 3 4 時 z取得最大值 zmax 5 3 3 4 27 萬元 答案 27萬元 易錯誤區(qū) 忽視對參數(shù)的分類討論致誤 典例 2013 長沙模擬 已知x y滿足約束條件 x 2 y 2 且z y mx m 0 的最小值等于 2 則實數(shù)m的值等于 誤區(qū)警示 本題容易出現(xiàn)的錯誤主要有兩個方面 1 沒有將絕對值不等式轉(zhuǎn)化為不等式組 畫不出正確的可行域 2 沒有對參數(shù)m的取值情況進(jìn)行分類討論 造成漏解 只得到m 1 規(guī)范解答 原不等式等價于以下四個不等式組 因此可畫出可行域 如圖 由z y mx得y mx z 1 當(dāng)時 由圖形可知 目標(biāo)函數(shù)在點a 2 0 處取得最小值 因此 2 0 2m 解得m 1 2 當(dāng)時 由圖形可知 目標(biāo)函數(shù)在點d 0 1 取得最小值 因此 2 1 m 0 m無解 3 當(dāng)時 由圖形可知 目標(biāo)函數(shù)在點c 2 0 處取得最小值 因此 2 0 2m 解得m 1 4 當(dāng)時 由圖形可知 目標(biāo)函數(shù)在點d 0 1 取得最小值 因此 2 1 m 0 m無解 綜上 實數(shù)m的值等于1或 1 答案 1或 1 思考點評 1 含絕對值不等式表示區(qū)域的畫法含有絕對值的不等式所表示的平面區(qū)域 應(yīng)該根據(jù)變量的取值情況 將不等式中的絕對值符號去掉 化為幾個不等式組 把每一個不等式表示的平面區(qū)域畫出后合并起來就是相應(yīng)的含絕對值不等式所表示的平面區(qū)域 2 正確運用分類討論的方法本題是已知目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù)的值的問題 這類問題的特點是目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù) 參數(shù)的不同取值將要影響到最優(yōu)解的位置 因此要根據(jù)可行域邊界直線的斜率與目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)直線斜率的大小關(guān)系 對參數(shù)的取值情況進(jìn)行分類討論 在運動變化中尋找問題成立的條件 從而得到參數(shù)的取值 如果在約束條件中含有參數(shù) 那么隨著參數(shù)的變化 可行域的形狀可能就要發(fā)生變化 因此在求解時也要根據(jù)參數(shù)的取值對可行域的各種情況進(jìn)行分類討論 以免出現(xiàn)漏解 1 2012 廣東高考 已知變量x y滿足約束條件則z 3x y的最大值為 a 12 b 11 c 3 d 1 解析 選b 作出如圖所示的可行域 當(dāng)直線z 3x y經(jīng)過點b 3 2 時 z取得最大值 最大值為11 2 2013 池州模擬 已知x y滿足線性約束條件若a x 2 b 1 y 則z a b的最大值為 a 1 b c 5 d 7 解析 選c 作可行域如圖 z a b x 2y 當(dāng)直線z x 2y過點b時 z取最大值 zmax 3 2 1 5 3 2013 渭南模擬 若實數(shù)x y滿足則z 3x 2y的最小值是 a 1 b 0 c d 9 解析 選a 令m x 2y 作可行域 如圖 當(dāng)直線m x 2y過點b 0 0 時 m取得最小值 即z取得最小值 則mmin 0 2 0 0 zmin 30 1 4 2013 長安模擬 已知實系數(shù)一元二次方程x2 1 a x a b 1 0的兩個實數(shù)根為x1 x2 且0 x1 1 x2 1 則的取值范圍是 a 1 b 1 c 2 d 2 解析 選d 由題意作可行域為 5 2012 江西高考 某農(nóng)戶計劃種植黃瓜和韭菜 種植面積不超過50畝 投入資金不超過54萬元 假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量 成本和售價如下表 為使一年的種植總利潤 總利潤 總銷售收入 總