真正有效的數(shù)學理解教學.ppt

促進數(shù)學理解的有效路徑 上外附屬大境中學趙玉梅2012年7月3日 故事之一 石匠的目標 有個人經(jīng)過一個建筑工地 問那里的建筑工人們在做什么 三個工人有三個不同的回答 第一個工人回答 我正在砌一堵墻 第二個工人回答 我正在蓋一座大樓 第三個工人回答 我正在建造一座城市 十年以后 第一個工人還在砌墻 第二個工人成了建筑工地的管理者 第三個工人則成了這個城市的領(lǐng)導者 心靈啟示 思想有多遠 我們就能走多遠 故事之二 笨鳥 在一間無人居住的房子的窗戶外 一只不知名的鳥總是每日準時光顧 它站在窗臺上 不停地用頭撞擊玻璃 然后總被撞得落回窗臺 但它堅持不懈 每日總要撞十來分鐘 爾后又跌回窗臺 隨即離開 人們好奇心大發(fā) 紛紛猜測它大概是為了進那間房 但是就在這鳥兒站立的窗臺旁邊 另外一扇窗戶是打開的 于是得出結(jié)論 這是只大笨鳥 故事之二 笨鳥 直到有一天 好事者帶來望遠鏡 一切才真相大白 窗玻璃上粘滿了小飛螢的尸體 鳥兒吃得不亦樂乎 心靈啟示 人們總喜歡將自己的思維方式強加于別人 而且自以為是 不要以為我們看不見的東西就不存在 我們對學習的理解何嘗不如此 何謂理解 辭海 對理解的定義是 了解 領(lǐng)會 現(xiàn)代漢語詞典的解釋是 懂 了解 維基百科自由的百科全書理解 Understanding 又稱為領(lǐng)會 了解 懂得 思維作用 intellection 是指一種心理過程 與諸如人 情形或訊息之類的某種抽象的或有形的對象相關(guān) 籍此一個人能夠?qū)ζ浼右运伎?并且運用概念對該對象加以適當?shù)奶幚?理解乃是概念表達 又稱為概念化 的界線 互動百科理解就是因每個人的大腦對事物分析決定的 一種對事物本質(zhì)的認識 就是通常所說的知其然 又知其所以然 一般也稱了解或領(lǐng)會 理解與概念和問題都有密切關(guān)系 有時是互相重疊的 行為主義把學習解釋為刺激與反應之間的聯(lián)結(jié) 認為學習過程是一種試誤過程 在不斷的嘗試與錯誤中逐漸形成聯(lián)結(jié) 現(xiàn)代認知心理學認為理解的實質(zhì)是學習者以信息的傳輸 編碼為基礎(chǔ) 根據(jù)已有信息建構(gòu)內(nèi)部的心理表征 并進而獲得心理意義的過程 理解是一種多維度的 復雜的東西 數(shù)學理解 數(shù)學理解的界定 Hiebert和Carpenter認為 一個數(shù)學的概念或方法或事實被理解了 如果它成為個人內(nèi)部網(wǎng)絡的一個部分 李士锜認為 學習一個數(shù)學概念 原理 法則 如果在心理上能組織起適當?shù)挠行У恼J知結(jié)構(gòu) 并使之成為個人內(nèi)部的知識網(wǎng)絡的一部分 那么才說明是理解了 數(shù)學理解的本質(zhì) 1 對數(shù)學概念 規(guī)則或方法的理解 指個體建立了關(guān)于這些觀念的內(nèi)部網(wǎng)絡 2 數(shù)學理解的水平具有層次性 個體的差異往往表現(xiàn)為理解水平的差異 3 數(shù)學理解是一個動態(tài)過程 是認知結(jié)構(gòu)的建構(gòu)和知識意義的建構(gòu)過程 數(shù)學理解的意義 從理論研究的角度看 理解與數(shù)學理解的研究意義體現(xiàn)在它的廣闊包容性和相對獨立性從個體發(fā)展的角度看 知識的理解有助于完善個體大腦內(nèi)部的知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡 從而推動記憶 進而又更易于同化與理解新知識 新信息 形成一個良性學習過程 同時 知識只有被深刻理解了 才具有遷移與應用的活性 這種遷移能力對個體未來發(fā)展是十分重要的 數(shù)學理解的意義 從社會需求的角度看 信息化社會和知識經(jīng)濟社會所需要的是那種能不斷學習新知識 新技能 能應用自己的已有知識去解決新問題的創(chuàng)新人才 沃特海梅爾的研究 讓兩組學生對平行四邊行面積公式分別展開理解法學習和死記法學習 數(shù)學理解的層次 正向理解變式理解反省理解 促進學生數(shù)學理解的路徑 對數(shù)學概念的理解 對數(shù)學公式的理解對數(shù)學定理的理解對數(shù)學問題的理解 對數(shù)學概念的理解 學習一個概念取決于對它的理解 而理解的含義是對概念本質(zhì)的把握 下面從5個例子看概念理解 數(shù)系的擴充 用圖形表示包含關(guān)系 舉例1 揭示概念的背景 在新舊聯(lián)系中理解復數(shù) 知識引入 引入一個新數(shù) 現(xiàn)在我們就引入這樣一個數(shù)i 把i叫做虛數(shù)單位 并且規(guī)定 1 i2 1 2 實數(shù)可以與i進行四則運算 在進行四則運算時 原有的加法與乘法的運算率 包括交換率 結(jié)合率和分配率 仍然成立 形如a bi a b R 的數(shù)叫做復數(shù) 全體復數(shù)所形成的集合叫做復數(shù)集 一般用字母C表示 卡盟卡盟 MicrosoftOfficePowerPoint 是微軟公司的演示文稿軟件 用戶可以在投影儀或者計算機上進行演示 也可以將演示文稿打印出來 制作成膠片 以便應用到更廣泛的領(lǐng)域中 利用MicrosoftOfficePowerPoint不僅可以創(chuàng)建演示文稿 還可以在互聯(lián)網(wǎng)上召開面對面會議 遠程會議或在網(wǎng)上給觀眾展示演示文稿 MicrosoftOfficePowerPoint做出來的東西叫演示文稿 其格式后綴名為 ppt pptx 或者也可以保存為 pdf 圖片格式等 復數(shù)的代數(shù)形式 通常用字母z表示 即 其中稱為虛數(shù)單位 復數(shù)a bi 復數(shù)集 虛數(shù)集 實數(shù)集 純虛數(shù)集之間的關(guān)系 思考 復數(shù)集 虛數(shù)集 實數(shù)集 純虛數(shù)集 舉例2 要理解概念的實質(zhì) 對頻率與概率的理解 隨機事件A出現(xiàn)的概率等于事件A所包含的基本事件數(shù)除以試驗中所有的基本事件數(shù)對于隨機事件E 如果在次試驗中出現(xiàn)了次 那么稱為事件E出現(xiàn)的頻數(shù) 稱為事件E出現(xiàn)的頻率 挖掘定義的內(nèi)涵 1 頻率的穩(wěn)定值就是概率的估計值 嗎 2 隨著試驗次數(shù)的增加 頻率就越來越接近于概率 嗎 3 用頻率估計概率 一定要大量重復試驗 嗎 4 必然事件與概率為1等價 不可能事件與概率為0等價 隨機事件的概率大于0而小于1 嗎 頻率與概率 頻率是隨機的概率是一個客觀存在的常數(shù) 舉例3 對抽象概念的理解要層層深入 曲線與方程 概念的理解 一般地 如果曲線C和方程之間有以下兩個關(guān)系 曲線C上點的坐標都是方程解 以方程的解為坐標的點都是曲線C上的點 此時 把方程叫做曲線C的方程 theequationofacurveC 曲線C叫做方程的曲線 曲線與方程 1 對曲線與方程概念本質(zhì)的第一層認識2 對曲線與方程概念本質(zhì)的第二層認識3 對曲線與方程概念本質(zhì)的第三層認識4 強化對 曲線的方程與方程的曲線 兩個概念的理解 曲線與方程概念理解 練習1 1 到兩坐標軸距離相等的的點的軌跡的方程是嗎 為什么 2 以y軸為對稱軸的等腰三角形的底邊的方程是x 0嗎 為什么 練習2 1 寫出表示下列圖形 實線部分 的方程 作下列方程所表示的圖形 舉例4 預設好問題串 深化理解核心概念 函數(shù)概念的理解 問題1 下列解析式能表示函數(shù)嗎 1 2 3 問題2 下列圖像能作為函數(shù)圖像的是那些 預設好問題串 深化理解核心概念 函數(shù)概念的理解 問題3 函數(shù)都有解析式嗎 問題4 函數(shù)都能畫出圖像嗎 函數(shù)的表示方法 1主要方法 解析法 公式法 列表法和圖象法 2可用 特殊方法 來表示的函數(shù) 1 分段函數(shù) 在定義域的不同部分用不同的公式來表示 例如 符號函數(shù) 借助于Sgnx可表示 即 2 符號函數(shù)例如 3 取整函數(shù) 4 用語言敘述的函數(shù) 注意 以下函數(shù)不是分段函數(shù) 例 取整函數(shù) irichlet Riemman函數(shù) 舉例5 巧設問題 適時追問 展示概念的形成過程 對三角比定義的理解 第一步 引入問題 任意畫一個銳角 能否根據(jù)銳角三角比的定義 借助三角板求出的近似值 追問1 有更好的構(gòu)造法能使計算更簡便嗎 追問2 哪條邊畫成單位長方便呢 追問3 還有其它三角比嗎 有幾個 追問4 中角有限制范圍嗎 第二步 從銳角到任意角的推廣 追問1 引進直角坐標系的作用 追問2 能否使定義的形式比較簡單 追問3 通過類比 能否借助坐標來定義任意角的正弦值呢 追問4 類似地 在直角坐標系中 其他的三角比又該如何定義呢 第三步 對概念獲得的 精致 過程 也是思維深刻性和批判性的發(fā)展要求 展示概念背景 培養(yǎng)思維的主動性 創(chuàng)設求知情境 培養(yǎng)思維的敏捷性 精確表述概念 培養(yǎng)思維的準確性 解剖新概念 培養(yǎng)思維的縝密性 分析錯解成因 培養(yǎng)思維的批判性 對數(shù)學公式的理解 注重三用 即正著用 變著用 逆著用 正用 就是指公式左邊符合兩項和兩項差的乘積條件就可直接應用 得出簡潔的結(jié)果 變用 是指將暫時不能直接利用公式的變形后再利用公式 例如 逆用 是指將公式的條件和結(jié)論互換后的利用 公式是一個恒等式 在一定條件下 左右兩邊互換后仍然成立 平方差公式 對數(shù)學公式的理解 平方差公式 1 歸納2 應用3 深化 舉例 兩角和與差的正弦 余弦和正切 對數(shù)學公式的理解 體會公式的內(nèi)在聯(lián)系 逆用公式 化簡下列各式 對數(shù)學定理的理解 正向理解 正確區(qū)分定理的條件和結(jié)論 并能直接利用數(shù)學定理變式理解 能直接創(chuàng)造定理成立的條件來利用定理解決問題反省理解 能夠解決條件開放或結(jié)論開放的開放題 提高學生的反省理解 對數(shù)學問題的理解 1 設計問題有梯度 循序漸進 層層深入 課例1與圓錐曲線定義有關(guān)的軌跡問題 執(zhí)教 高二 1 班2012 4 24 與圓錐曲線定義有關(guān)的軌跡問題的探求 復習 1 若F 2 0 且 MF 1 則點M的軌跡是什么 2 若 MAB的一邊AB的長為6 周長為16 則頂點M的軌跡是什么 3 若線段AB的長為6 M為AB外一點 且 MA MB 4 則點M的軌跡是什么 4 若點F 1 0 直線l x 1 則過點F且與直線l相切的圓的圓心的軌跡是什么 探求 問題一 已知動圓P與圓和圓都外切 求動圓圓心P的軌跡方程 P y x O C1 C2 問題一 已知動圓P與圓和圓都外切 求動圓圓心P的軌跡方程 P 1 在問題一中 若動圓P與圓C2內(nèi)切 與圓C1外切 則動圓圓心P的軌跡方程是什么 拓展 P 2 在問題一中 若動圓P與圓C1內(nèi)切 與圓C2外切 則動圓圓心P的軌跡方程是什么 P 3 在問題一中 若把圓C1的半徑改為1 那么動圓圓心P的軌跡又是什么 4 上述的結(jié)論是否具有一般性 探求 問題二 F1 F2是橢圓的兩個焦點 O是橢圓的中心 點P是橢圓上不在長軸上的任意一點 從右焦點F2引 F1PF2的外角平分線的垂線 求垂足M的軌跡方程 y x O F1 F2 P M Q 問題二 F1 F2是橢圓的兩個焦點 O是橢圓的中心 點P是橢圓上不在長軸上的任意一點 從右焦點F2引 F1PF2的外角平分線的垂線 求垂足M的軌跡方程 練習 練習1 已知F1 F2是雙曲線的兩個焦點 O是雙曲線的中心 點P是雙曲線上不在實軸上的任意一點 從任一焦點引 F1PF2的角平分線的垂線 求垂足M的軌跡方程 y x O F1 F2 P M Q 練習2 已知一個橢圓過點A 7 0 B 7 0 一焦點坐標為C 2 12 求另一焦點P的軌跡方程 練習 問題三 動點M x y 到定點F 3 0 的距離比它到y(tǒng)軸的距離大3 求動點M x y 的軌跡方程 探求 練習1 動點M x y 到定點F 3 0 的距離比它到y(tǒng)軸的距離大1 求動點M x y 的軌跡方程 練習 練習2 動點M x y 到定點F 3 0 的距離比它到y(tǒng)軸的距離大5 求動點M x y 的軌跡方程 對數(shù)學問題的理解 2 引導學生學會提出問題 引發(fā)思考 促進理解 課例2 運用數(shù)形結(jié)合思想方法研究方程根問題 討論問題 1 討論關(guān)于的方程在下列情況下實數(shù)解的個數(shù) 1 在上 2 在上 3 在上 討論問題 討論問題 試一試 請你設計一個方程問題 1 含有參數(shù) 2 與判斷方程解的個數(shù)有關(guān) 研究問題 來自學生 問題2 來自學生 問題3 來自學生 研究問題 問題變式 問題拓展 提高學生數(shù)學理解水平的途徑 1 促進合作交流2 變式練習3 指導學生進行自我提問4 進行分層教學5 引導學生進行積極反思 提高學生數(shù)學理解水平的途徑 5 引導學生進行積極反思 1 反思解題過程的合理性舉例 若已知圓關(guān)于直線對稱 求參數(shù)的值 引導學生進行積極反思 2 反思解題思路的嚴密性 3 反思解題方法的靈活性 4 反思所解問題的