護士工作時間調(diào)度的最優(yōu)模型.doc

精品文檔護士工作時間調(diào)度的最優(yōu)模型 何挺 嚴茂花 萬啟龍 摘要：本文主要建立整數(shù)規(guī)劃模型解決護士工作時間調(diào)度的問題。模型I、II：針對問題1，考慮到每個護士一天工作8小時，且連續(xù)工作4小時后需要休息2小時，我們建立了以滿足需求時需要工作的最少護士人數(shù)為目標函數(shù)的整數(shù)規(guī)劃模型。用軟件求解得到滿足需求至少需要的護士為100名，且第1、2、11、12時段開始工作的人數(shù)、分別為：23、17、12、0、0、11、17、13、7、0、0、0人；對應時段內(nèi)實際工作的護士人數(shù)分別為：30、40、29、35、40、40、40、41、35、35、30、20人。從此工作時間調(diào)度表可以看出凌晨0：00到早上4：00這段時間，安排開始上班和下班的總人數(shù)有59人，占滿足需求時需要工作的最少護士人數(shù)的59%。這不利于這段時間開始上班和下班的護士的生活，會引起護士對工作時間調(diào)度的不滿意，為降低不滿意度，我們對模型I進行改進，即給出人性化安排。以凌晨0：00到早上4：00開始上班和下班的人數(shù)最少為目標函數(shù)，建立模型II。用軟件求得這段時間開始上班和下班的人數(shù)為10人,所占比率為10%。提高了護士對工作時間安排滿意度，并給出最佳工作時間安排。模型III、IV：針對問題2，在醫(yī)院護士人數(shù)不足的情況下需要部分護士加班。同問題1類似分析，建立以需要加班的護士人數(shù)最少為目標函數(shù)的整數(shù)規(guī)劃模型。用軟件求得需要加班的最少護士人數(shù)為40人。同模型II分析，此安排在凌晨0：00到早上4：00開始上班（包括需要加班的護士和不需要加班的護士）和下班的人數(shù)有29人，占醫(yī)院護士人數(shù)的36.25%,也比較大。所以對模型III進行改進，也即給出人性化安排。以凌晨0：00到早上4：00這段時間開始上班（包括需要加班的護士和不需要加班的護士）的下班的人數(shù)最少為目標函數(shù)，建立模型IV，利用軟件處理得到這段時間開始上班和下班的護士為5人，所占比率為6.25%。并給出醫(yī)院護士在只有80名的情況下護士的工作時間最佳安排。針對模型II和模型IV對各個時段所需的護士人數(shù)、醫(yī)院護士人數(shù)最少、醫(yī)院護士人數(shù)限定以及最少加班人數(shù)作靈敏度分析。得出，在模型II中如過醫(yī)院的護士增加到100人，凌晨0：00到早上4：00這段時間，安排開始上班和下班的人數(shù)為0，即護士對工作時間調(diào)度的滿意度最高；在模型IV中，醫(yī)院護士加班的人數(shù)增多5人，在凌晨0：00到早上4：00這段時間安排開始上班和下班的人數(shù)才減少1人，而醫(yī)院的護士人數(shù)增加為85人時，這段時間開始上班和下班的人數(shù)就可減少到0，所以我們建議醫(yī)院最好采用增加護士人數(shù)的辦法來增加護士的滿意度。關鍵字：整數(shù)規(guī)劃模型 護士工作時間調(diào)度 滿意度 人性化安排。 軟件 靈敏度分析一 問題重述某醫(yī)院一個工作日（分為12個兩小時長的時段）每個時段需要護士人數(shù)如下表： 每個時段的人員需求表編號 時段 需要護士人數(shù)0 00am-02am 151 02am-04am 152 04am-06am 153 06am-08am 354 08am-10am 405 10am-12pm 40 6 12pm-02pm 407 02pm-04pm 308 04pm-06pm 319 06am-08pm 3510 08am-10pm 3011 10pm-12am 20問題1：假定每個護士每天工作8小時，且在連續(xù)工作4小時后需要休息2小時，請計算為滿足需求至少需要多少個護士。問題2：此醫(yī)院目前只有80名護士，這個數(shù)目不足以滿足需求，因此需要安部分人加班，每天加班時間為2小時，且緊跟隨在后一個4小時工作時段之后，中間沒有休息，請給出護士工作時間安排方案，以使需要加班的護士人數(shù)最少。二 模型假設模型I、II的假設：1、假設每個護士都服從工作安排；2、假設每個護士都準時上、下班，在上班期間無特殊情況發(fā)生,不需要請假；3、假設每個護士每天工作8小時，且連續(xù)工作4小時后只能休息2小時，在休息2小時后連續(xù)工作；4、假設在夜晚要上班的護士所要休息的2個小時都在醫(yī)院休息。模型III、IV的假設：1、假設此醫(yī)院目前只有80名護士，且每名護士都要上班，無請假人員；2、假設80名護士不能滿足要求，需要安排部分人加班；3、假設每天加班的時間為2小時，且緊跟隨在后一個4小時工作時段之后，中間沒有休息時間。三 符號約定：為滿足要求至少需要的護士人數(shù)；：在護士人數(shù)不滿足要求時，至少需要加班的護士人數(shù)；：第個時段醫(yī)院需要護士人數(shù)；：第個時段開始工作的護士人數(shù)，(第1時段為0002，第2時段為0204第12時段為1012)，；：第個時段開始工作的護士人數(shù)中不需要加班的人數(shù)，； ：第個時段開始工作的護士人數(shù)中需要加班的人數(shù)，。四 問題分析根據(jù)醫(yī)院需求，我們需要合理安排護士的工作時間。問題1：我們需要保證在每個時段都有足夠的護士在工作?？紤]到護士一天只工作8小時，且連續(xù)工作4小時后需要休息2小時。例如：在第6時段內(nèi)工作的護士人數(shù)等于此時段開始工作的護士人數(shù)、第5時段開始工作的人數(shù)、以及第2個和第3個時段開始工作的護士人數(shù)之和。即：在時段6中，正在工作的護士分別在時段2、3、5、6開始工作，例如：有個護士在時段2開始工作，則她在時段2和時段3中將進行工作，在時段4休息，然后在時段5和時段6繼續(xù)工作。所以以滿足要求時需要工作的最少護士人數(shù)為目標函數(shù)，護士一天工作八小時，且連續(xù)工作四小時后需要休息2小時為約束條件，建立整數(shù)規(guī)劃模型，求出滿足需求時需要護士的最少人數(shù)。此工作時間安排可以滿足醫(yī)院需求，但按此工作時間調(diào)度表，凌晨0：00到早上4：00開始上班和下班的護士人數(shù)很多人，所占總人數(shù)的比率很大，考慮到這樣的工作時間調(diào)度表可能會引起在這段時間內(nèi)開始上班和下班的護士的不滿，為解決不滿，我們對模型I進行改進，以凌晨0：00到早上4：00開始上班和下班的護士人數(shù)最少為目標函數(shù)，建立模型II，利用軟件求出更為合理的護士工作時間調(diào)度表。問題2：此醫(yī)院目前只有80名護士，這個數(shù)目不足以滿足需求，故需要安排部分人加班。考慮到護士每天只加班兩小時，且緊跟隨在后一個4小時工作時段之后，中間沒有休息，同問題一類似分析，例如：在第6時段內(nèi)工作的護士人數(shù)等于此時段開始工作的護士人數(shù)、第5時段開始工作的人數(shù)、第2個和第3個時段開始工作的護士人數(shù)以及第1時段開始工作的護士人數(shù)中需要加班的護士人數(shù)之和。建立整數(shù)規(guī)劃模型III，利用軟件處理求出最少加班人數(shù)。同問題1，考慮到凌晨0：00到早上4：00開始上班（包括需要加班的護士和不需要加班的護士）和下班的護士較多，所占比率較大。我們對模型III進行改進，建立以凌晨0：00到早上4：00這段時間開始上班（包括需要加班的護士和不需要加班的護士）的下班的人數(shù)最少為目標函數(shù)的規(guī)劃模型，用軟件處理求得更為合理的護士工作時間調(diào)度表。五 模型的建立與求解模型I：首先，知某醫(yī)院的一個工作日分為12個時段，每個時段所需護士的人數(shù)不同，所以，必須保證每個時段都有足夠的護士在工作；其次，每個護士一天只工作8小時，且連續(xù)工作4小時后需要休息2小時，所以可以給出約束條件；接下來，建立以滿足需求至少需要的護士人數(shù)為目標函數(shù)的整數(shù)規(guī)劃模型。模型如下：用軟件求解，得：為滿足需求，最少需要的護士人數(shù)為100人，且第1、2、11、12時段新安排工作的人數(shù)、和總的工作人數(shù)如下表一所示：時間段開始工作人數(shù)總工作人數(shù)00:00-02:00233002:00-04:00174004:00-06:00122906:00-08:0003508:00-10:0004010:00-12:00114012:00-14:00174014:00-16:00134116:00-18:0073518:00-20:0003520:00-22:0003022:00-00:00020表一模型II：為更好的對數(shù)據(jù)進行闡述分析，我們用圖將其表示出來。 醫(yī)院在不同時段所需的護士人數(shù)如圖一所示：圖一通過該圖可以看出，醫(yī)院的護士人數(shù)在白天需求量比較多，晚上較少，與針對不同疾病開設的醫(yī)院在不同時段所需的護士人數(shù)進行比較，可推斷該醫(yī)院可能是病人在白天需要護士護理的醫(yī)院（如心腦血管醫(yī)院）。 各個時段開始工作的護士人數(shù)如圖二所示：圖二通過該圖可以看出：護士在凌晨0：004：00開始上班與下班的總人數(shù)為59人，占最少所需護士總人數(shù)的59%；在這段時間間開始上班和下班的護士在生活會有很大的不便，如乘車，且所占百分比很大，超過一半。這對在這段時間開始上班和下班的護士有一定的不公平性，會引起這些護士的不滿意。為降低不滿意度，我們對模型I進行改進。為此本文做如下定義1：表示第個時段開始工作的護士人數(shù)，(第1時段為0002，第2時段為0204第12時段為1012)，；當（）中等于0、-1、-2、-3時，分別表示第12、11、10、9個時段開始工作的護士人數(shù)。定義2：凌晨0：00到早上4：00開始上班和下班人數(shù)的多少為醫(yī)院護士對工作時間調(diào)度表的滿意度。這段時間開始上班和下班的人數(shù)越多，護士對工作時間調(diào)度表的滿意度越小，這段時間開始上班和下班的人數(shù)越少，護士對工作時間調(diào)度表的滿意度越大。護士在凌晨0：004：00開始上班和下班的人是由第1、2、3、8、9、10個時段開始工作的護士人組成，因此在滿足醫(yī)院各個時段護士需求的條件下，在模型I的基礎上醫(yī)院有100名護士，對護士的滿意度可建立模型II，如下：用軟件求解，得到第3時段（04：0006：00）開始上班的護士人數(shù)為5人；第2時段（02：0004：00）下班的護士人數(shù)也即第10時段（18：0020：00）開始上班的護士人數(shù)為5人，其他時段開始上班和下班的人數(shù)為0。即在凌晨0：00到早上4：00開始上班和下班的總人數(shù)為10人（具體安排如下表二），僅占總人數(shù)的10%。比模型I的工作調(diào)度表更為合理，能很大程度上降低護士對工作時間安排的不滿意度。得到模型改進后的最佳工作時間安排如圖三所示：時間段開始工作人數(shù)總工作人數(shù)00:00-02:0001502:00-04:0001504:00-06:0052506:00-08:00203508:00-10:00204010:00-12:00154012:00-14:00155514:00-16:0005516:00-18:0003518:00-20:0053520:00-22:00103022:00-00:001020表二圖三模型III：首先，醫(yī)院只有80名護士，這個數(shù)目不足以滿足需求。所以要部分人加班；其次，同模型I，只不過此模型中，每個時段內(nèi)工作的護士人數(shù)（包括需要加班的護士人數(shù)和不需要加班的護士人數(shù)這兩部分）不僅僅是前幾個時段和相對應的此時段開始工作的護士人數(shù)之和，還應加上某時段開始工作的護士人數(shù)中需要加班的那一部分。例如：在第6時段內(nèi)工作的護士人數(shù)等于此時段開始工作的護士人數(shù)、第5時段開始工作的人數(shù)、第2個和第3個時段開始工作的護士人數(shù)以及第1時段開始工作的護士人數(shù)中需要加班的那部分護士人數(shù)之和；最后，建立以加班的護士人數(shù)最少為目標函數(shù)的整數(shù)規(guī)劃模型如下：利用軟件求解，得到最少加班的護士人數(shù)為40人；第5、6、7、12時段開始工作的護士中需要加班的人數(shù)分別為：6、15、14、5人；其余時段開始工作的護士不需要加班。并求得各個時段開始工作的人數(shù)、開始工作的人數(shù)中不需要加班的人數(shù)及各個時段總工作人數(shù)如下表二所示；時間段不加班工作人數(shù)要加班人數(shù)開始工作人數(shù)總工作人數(shù)00:00-02:00190192402:00-04:000001904:00-06:00100101506:00-08:001013508:00-10:0096154010:00-12:00015154012:00-14:00014144014:00-16:001013116:00-18:000003118:00-20:000003520:00-22:000003022:00-00:0005520表二模型IV：表二中不加班工作人數(shù)、要加班人數(shù)、開始工作人數(shù)的分布分別用圖表示如下：通過該工作時間調(diào)度表，我們可得知：在凌晨0：00到早上4：00開始上班（包括需要加班的護士和不需要加班的護士）和下班的人數(shù)有29人，所占比例為36.25%。為求得更為合理的工作時間調(diào)度表，對模型III進行改進，以凌晨0：00到早上4：00這段時間開始上班（包括需要加班的護士和不需要加班的護士）的下班的人數(shù)最少為目標函數(shù)。為此本文做與模型II類似的定義：分別表示第個時段開始工作的護士人數(shù)中不需要加班的人數(shù)與第個時段開始工作的護士人數(shù)中需要加班的人數(shù)；(第1時段為0002，第2時段為0204第12時段為1012)，；當（）中等于0、-1、-2、-3時，分別表示第12、11、10、9個時段開始工作的護士人數(shù)中不需要加班的人數(shù)；當（）中等于0、-1、-2、-3時，分別表示第12、11、10、9個時段開始工作的護士人數(shù)中需要加班的人數(shù)。護士在凌晨0：004：00開始上班和下班的人是由第1、2、3、8、9、10個時段開始工作的不需要加班護士與第1、2、3、7、8、9、10個時段開始工作的需要加班護士人組成，因此在滿足醫(yī)院各個時段護士需求的條件下，在模型III的基礎上不改變醫(yī)院現(xiàn)有80名護士，并且最少需要40名護士加班的條件下，對護士的滿意度可建立模型IV。模型如下：利用軟件求解，得到第1時段（00：0002：00）開始上班的人數(shù)為5人。即在凌晨0：00到早上4：00開始上班（包括要加班的護士和不加班護士）和下班的總人數(shù)為5人，占總人數(shù)的6.25%（具體數(shù)據(jù)如下表三所示）。在模型III求得的結果上有一定的改進，能降低護士對工作時間安排的不滿意度，有較大的可取性。時間段不加班工作人數(shù)要加班人數(shù)開始工作人數(shù)總工作人數(shù)00:00-02:005051502:00-04:000001504:00-06:000002006:00-08:00100103508:00-10:00105154010:00-12:001015254012:00-14:005054014:00-16:000004016:00-18:000003118:00-20:000003520:00-22:00010103022:00-00:000101020表三六 模型的討論與靈敏度分析模型的討論：本文建立了四個模型，模型I和模型III運用了整數(shù)規(guī)劃模型解決了在滿足需求時所需護士人數(shù)最少和加班人數(shù)最少的問題。模型II和模型IV在考慮護士工作滿意程度和在醫(yī)院所需護士人數(shù)最少和加班人數(shù)最少的情況下，分別對模型I、III改進后，進一步得到更為合理的工作時間安排表。以上四個模型假設了每名護士在且連續(xù)工作4小時后只能休息2小時，在休息2小時后連續(xù)工作。在實際工作中，護士在工作時間內(nèi)，可能會有特殊情況需要請假；護士上班時間不連續(xù)；或者是有突發(fā)事件導致所需護士人數(shù)增加?？紤]以上因素，可建立一個工作時間不連續(xù)的整數(shù)規(guī)劃模型，用枚舉法可得出在工作時間不連續(xù)的情況下的最優(yōu)人數(shù)與工作時間安排。靈敏度分析：本文中對模型結果產(chǎn)生影響的因素主要是：各個時段所需的護士人數(shù)、醫(yī)院護士人數(shù)最少（100）、醫(yī)院護士人數(shù)限定（80）、最少加班人數(shù)（40）。1、模型II對各個時段所需的護士人數(shù)和醫(yī)院護士人數(shù)最少的靈敏度分析醫(yī)院各個時段所需的護士人數(shù)是此模型的重要因素，各個時段所需的護士人數(shù)的多少直接影響著醫(yī)院所需護士的總人數(shù)、護士工作時間調(diào)度；而醫(yī)院護士人數(shù)最少是護士工作時間調(diào)度和滿意度的主要因素。在醫(yī)院護士人數(shù)最少為100時，各個時段所需的護士人數(shù)和醫(yī)院護士人數(shù)最少對護士工作時間調(diào)度和滿意度作靈敏度分析，解得值如下表：時段號時段所需的護士人數(shù)變化區(qū)間100am-02am155，30202am-04am155，35304am-06am150，25406am-08am3530，35508am-10am4030，40610am-12pm4035，40712pm-02pm400，55802pm-04pm300，55904pm-06pm310，351006am-08pm3525，351108am-10pm3025，301210pm-12am200，20護士人數(shù)100100，105由此可知：所需的護士人數(shù)在以上區(qū)間內(nèi)，對醫(yī)院所需護士人數(shù)的影響較??；護士人數(shù)增加至105人時，可使所有護士都不在凌晨0：00到早上4：00這段時間內(nèi)開始上班和下班，即護士對工作時間安排滿意度最高。2、模型IV對各個時段所需的護士人數(shù)、醫(yī)院護士人數(shù)限定以及最少加班人數(shù)的的靈敏度分析對模型IV中醫(yī)院各個時段所需的護士人數(shù)同樣是此模型的重要因素，醫(yī)院所需護士的總人數(shù)和最少加班人數(shù)是護士工作時間調(diào)度和滿意度的主要因素。在醫(yī)院護士人數(shù)為80和最少加班人數(shù)為40時，各個時段所需的護士人數(shù)、醫(yī)院護士人數(shù)以及最少加班人數(shù)對護士工作時間調(diào)度和滿意度作靈敏度分析，解得值如下表：時段號時段所需的護士人數(shù)變化區(qū)間100am-02am1515，23202am-04am155，15304am-06am150，20406am-08am3532，35508am-10am4040，40610am-12pm4040，40712pm-02pm400，45802pm-04pm3025，35904pm-06pm310，351006am-08pm3535，351108am-10pm3030，301210pm-12am200，20護士人數(shù)8080，40最少加班人數(shù)4040,40由此可知：所需的護士人數(shù)在以上區(qū)間內(nèi)，對醫(yī)院需要加班人數(shù)的影響較??；在護士人數(shù)不變的情況下,當加班人數(shù)變?yōu)?2時,只能使在凌晨0：00到早上4：00這段時間內(nèi)開始上班和下班的護士人數(shù)減少1名，因此,改變護士加班人數(shù),對護士對工作時間安排滿意度改變較底；而當護士加班人數(shù)不變時，醫(yī)院護士人數(shù)增為85人時可使所有護士都不在凌晨0：00到早上4：00這段時間內(nèi)開始上班和下班。因此，醫(yī)院可考慮新引進5名護士，即可使護士對工作時間安排滿意度最高。七 模型的評價與推廣優(yōu)點：所建模型簡單，通俗易懂，并為求得更為合理的時間工作調(diào)度表，我們對模型I、III都進行了改進，有較強的實用性；利用軟件，算法簡便,編程實現(xiàn)簡單,推廣容易，運籌學的題目到都可以用整數(shù)規(guī)劃模型解決；增強和減弱約束條件后能運用到各個方面的員工工作時間調(diào)度問題上，如減弱約束條件，工作日為早上9點到晚上9點，分為6個時間段，所建模型就可解決超市工作人員的時間調(diào)度問題。 缺點：所建模型是建立在假設每名護士在且連續(xù)工作4小時后只能休息2小時，在休息2小時后連續(xù)工作的基礎上。有一定的不合理度。因為在實際生活中，護士工作4小時后，在工作人員充足的情況下，該護士可以休息多個小時再工作接下來的4小時。這樣就更貼近實際生活。 推廣：像這類問題在實際中經(jīng)常碰到，例如實驗室工作人員和商場的工作人員值班的問題；生產(chǎn)過程中在制品庫存問題，都可建立類似的線形規(guī)劃模型。參考文獻：1 姜啟源 謝金星 葉俊，數(shù)學模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003。2 何堅勇，最優(yōu)化方法，北京：清華大學出版社，2007。3 趙靜 但琦，數(shù)學建模與數(shù)學實驗，北京：高等教育出版社，2000。4 董臻圃，數(shù)學建模方法與實踐，北京：國防工業(yè)出版社，2006。5 牛映武，運籌學，陜西：西安交通大學出版社，1994。附表：程序1：model:sets:sjd/1.12/:x;endsetsdata:enddatamin=sum(sjd:x);x(1)+x(9)+x(10)+x(12)15;x(1)+x(2)+x(10)+x(11)15;x(2)+x(3)+x(11)+x(12)15;x(1)+x(3)+x(4)+x(12)35;x(1)+x(2)+x(4)+x(5)40;x(2)+x(3)+x(5)+x(6)40;x(3)+x(4)+x(6)+x(7)40;x(4)+x(5)+x(7)+x(8)30;x(5)+x(6)+x(8)+x(9)31;x(6)+x(7)+x(9)+x(10)35;x(7)+x(8)+x(10)+x(11)30;x(8)+x(9)+x(11)+x(12)20;x(11)=15;for(sjd:gin(x);程序2：model:sets:sjd/1.12/:x;endsetsdata:enddatamin=x(1)+x(2)+x(3)+x(10)+x(9)+x(8);x(1)+x(9)+x(10)+x(12)15;x(1)+x(2)+x(10)+x(11)15;x(2)+x(3)+x(11)+x(12)15;x(1)+x(3)+x(4)+x(12)35;x(1)+x(2)+x(4)+x(5)40;x(2)+x(3)+x(5)+x(6)40;x(3)+x(4)+x(6)+x(7)40;x(4)+x(5)+x(7)+x(8)30;x(5)+x(6)+x(8)+x(9)31;x(6)+x(7)+x(9)+x(10)35;x(7)+x(8)+x(10)+x(11)30;x(8)+x(9)+x(11)+x(12)20;sum(sjd:x)=100;for(sjd:gin(x);程序3：model:sets:jb/1.12/:x,y;endsetsdata:enddatamin=sum(jb:y);y(8)+x(1)+y(1)+x(9)+y(9)+x(10)+y(10)+x(12)+x(12)15;y(9)+x(1)+y(1)+x(2)+y(2)+x(10)+y(10)+x(11)+y(11)15;y(10)+x(2)+y(2)+x(3)+y(3)+x(11)+y(11)+x(12)+y(12)15;y(11)+x(1)+y(1)+x(3)+y(3)+x(4)+y(4)+x(12)+y(12)35;y(12)+x(1)+y(1)+x(2)+y(2)+x(4)+y(4)+x(5)+y(5)40;y(1)+x(2)+y(2)+x(3)+y(3)+x(5)+y(5)+x(6)+y(6)40;y(2)+x(3)+y(3)+x(4)+y(4)+x(6)+y(6)+x(7)+y(7)40;y(3)+x(4)+y(4)+x(5)+y(5)+x(7)+y(7)+x(8)+y(8)30;y(4)+x(5)+y(5)+x(6)+y(6)+x(8)+y(8)+x(9)+y(9