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高等數(shù)學(xué)課程復(fù)習(xí)資料一、填空題:1.設(shè),則函數(shù)的圖形關(guān)于 對稱。2.若,則 .3.極限 。4.已知,則 , 。5.已知時(shí),與是等價(jià)無窮小,則常數(shù)= 6.設(shè),其中可微,則= 。7.設(shè),其中由確定的隱函數(shù),則 。8.設(shè)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),則 。9.函數(shù)的可能極值點(diǎn)為 和 。10.設(shè)則 。11. 12. 。13.若,則 。14.設(shè): ,則由估值不等式得 15.設(shè)由圍成(),則在直角坐標(biāo)系下的兩種積分次序?yàn)?和 。16.設(shè)為,則的極坐標(biāo)形式的二次積分為 。17.設(shè)級數(shù)收斂,則常數(shù)的最大取值范圍是 。18. 。19.方程的通解為 。20微分方程的通解為 。21.當(dāng)n= 時(shí),方程 為一階線性微分方程。22.若階矩陣的行列式為是的伴隨矩陣,則 。23.設(shè)A與B均可逆,則C=也可逆,且 。24.設(shè),且,則X = 。25.矩陣的秩為 。26.向量,其內(nèi)積為 。27.n階方陣A的列向量組線性無關(guān)的充要條件是 。28.給定向量組,若線性相關(guān),則a,b滿足關(guān)系式 。29.已知向量組()與由向量組()可相互線性表示,則r()與r()之間向量個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是 。30.向量=(2,1)T 可以用=(0,1)T與=(1,3)T線性表示為 。31.方程組Ax=0有非零解是非齊次方程組AB=b有無窮組解的 條件。32.設(shè)A為mn矩陣,非齊次線性方程組b有唯一解的充要條件是r(A) r(A|b )= 。33.已知元線性方程組有解,且,則該方程組的一般解中自由未知量的個(gè)數(shù)為 。34.設(shè)是方陣A的一個(gè)特征值,則齊次線性方程組的 都是A的屬于的特征向量。35.若3階矩陣A的特征值為1,2,-3,則的特征值為 。36.設(shè)A是n階方陣,|A|0,為A的伴隨矩陣,E為n階單位矩陣,若A有特征值,則必有特征值= 。37.a,b分別為實(shí)對稱矩陣A的兩個(gè)不同特征值所對應(yīng)的特征向量,則a與b 的內(nèi)積(a,b)= 。38.二次型的秩為 。39.矩陣為正定矩陣,則的取值范圍是 。40.二次型是正定的,則的取值范圍是 。41.A、B、C代表三事件,事件“A、B、C至少有二個(gè)發(fā)生”可表示為 。42.事件A、B相互獨(dú)立,且知則 。43.若隨機(jī)事件A和B都不發(fā)生的概率為p,則A和B至少有一個(gè)發(fā)生的概率為 。44.在相同條件下,對目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行5次射擊,如果每次射擊命中率為0.6,那么擊中目標(biāo)k次的概率為 ()。45.設(shè)隨機(jī)變量X服從泊松分布,且,則= 。46.設(shè)隨機(jī)變量X的分布密度為,則= 。47.若二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為:YX1211/163/162b且X,Y相互獨(dú)立,則常數(shù) = ,b = 。48.設(shè)X的分布密度為,則的分布密度為 。49.二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為:YX1210.220.3則與應(yīng)滿足的條件是 ,當(dāng)X,Y相互獨(dú)立時(shí), 。50.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,且。令Z=-Y+2X+3,則= 。51.已知隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望.令Y2X3,則= 。二、單項(xiàng)選擇題:1.設(shè),則= A.x B.x + 1 C.x + 2 D.x + 32.下列函數(shù)中,( )不是基本初等函數(shù)。 A. B. C. D.3.下列各對函數(shù)中,( )中的兩個(gè)函數(shù)相等。 A.與 B.與C.與 D.與4.設(shè)在處間斷,則有 A.在處一定沒有意義;B.; (即);C.不存在,或;D.若在處有定義,則時(shí),不是無窮小5.函數(shù) 在x = 0處連續(xù),則k = A.-2 B.-1 C.1 D.2 6.若,為無窮間斷點(diǎn),為可去間斷點(diǎn),則 A.1 B.0 C.e D.e-17.函數(shù)的定義域?yàn)?A. B. C. D.8.二重極限 A.等于0 B.等于1 C.等于 D.不存在9.利用變量替換,一定可以把方程化為新的方程 A. B. C. D.10若,在內(nèi)則在內(nèi) A. B.C. D.11.設(shè)的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù),且,則在點(diǎn)處 A.不可導(dǎo) B.可導(dǎo),且 C.取得極大值 D.取得極小值12.設(shè)函數(shù)是大于零的可導(dǎo)函數(shù),且,則當(dāng)時(shí),有 A. B.C. D.13. A. B.C. D.14.設(shè)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),且,則 A.2 B.1 C.-1 D.-215.設(shè)上二階可導(dǎo),且。記,則有 A. B. C. D.16.設(shè)冪級數(shù)在處收斂,則此級數(shù)在處 A.絕對收斂 B.條件收斂 C.發(fā)散 D.收斂性不能確定17.下列命題中,正確的是 A.若級數(shù)的一般項(xiàng)有則有B.若正項(xiàng)級數(shù)滿足發(fā)散C.若正項(xiàng)級數(shù)收斂,則D.若冪級數(shù)的收斂半徑為,則。18.設(shè)級數(shù)收斂,則級數(shù) A.絕對收斂 B.條件收斂 C.發(fā)散 D.斂散性不確定19.微分方程的通解是 A. B.C. D.20.設(shè)滿足微分方程,若,則函數(shù)在點(diǎn) A.取極大值 B.取極小值 C.附近單調(diào)增加 D.附近單調(diào)減少.21.函數(shù)在點(diǎn)處的增量滿足且,則(D) A. B. C. D.22.若含有s個(gè)向量的向量組線性相關(guān),且該向量組的秩為r,則必有 A.r=s B.rs C.r=s+1 D.r0)由已知得:,求得=2 PX=3=46.設(shè)隨機(jī)變量X的分布密度為,則= .解:由性質(zhì)即:解得:a=247.若二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為:YX1211/163/162b且X,Y相互獨(dú)立,則常數(shù) = ,b = . 解: X,Y相互獨(dú)立 P(X=1,Y=1)=P(X=1) P(Y=1) 即: a= 又 b=48.設(shè)X的分布密度為,則的分布密度為 。解:PYy=P(X3y)=P(X)=Fx()Y=X3的分布密度為:(y)=,y049.二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為:YX1210.220.3則與應(yīng)滿足的條件是 ,當(dāng)X,Y相互獨(dú)立時(shí), 。解:=1 =1 即有=0.5當(dāng)X,Y相互獨(dú)立 P(X=1, Y=1)= P(X=1)P(Y=1)=(+0.2)(+) =0.250.設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立,且令Z = -Y + 2X +3,則= 。解: X與Y相互獨(dú)立, D(Z)=D(Y+2X+3)=D(Y)+D(2X+3) =(1)2D(Y)+4D(X)=1+42=9。51.已知隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望.令Y2X3,則= 。解:D(Y)=D(2X3)=4D(X)=4E(X2)E(X)2=4(412)=12。二、單項(xiàng)選擇題:1.設(shè) ,則=( )A. B. C. D.解:由于,得 將代入,得=正確答案:D2.下列函數(shù)中,( )不是基本初等函數(shù)。A. B. C. D.解:因?yàn)槭怯?,?fù)合組成的,所以它不是基本初等函數(shù)。正確答案:B3.下列各對函數(shù)中,( )中的兩個(gè)函數(shù)相等。A.與 B.與C.與 D.與解: A 4.設(shè)在處間斷,則有( )A.在處一定沒有意義;B.; (即);C.不存在,或;D.若在處有定義,則時(shí),不是無窮小答案:D5.函數(shù) 在x = 0處連續(xù),則k = 。A.-2 B.-1 C.1 D.2答案:B6.若,為無窮間斷點(diǎn),為可去間斷點(diǎn),則( ).A.1 B.0 C.e C.e-1解:由于為無窮間斷點(diǎn), 所以, 故. 若, 則也是無窮間斷點(diǎn). 由為可去間斷點(diǎn)得.故選(C).7.函數(shù)的定義域?yàn)椋?)。A B C D解:z的定義域?yàn)椋?(選D)8.二重極限( )A.等于0 B.等于1 C.等于 D.不存在解:與k相關(guān),因此該極限不存在 (選D)9.利用變量替換,一定可以把方程化為新的方程( )A. B. C. D.解:z是x,y的函數(shù),從,可得,故z是u,v的函數(shù),又,故z是x,y的復(fù)合函數(shù),故,從而左邊=因此方程變?yōu)椋?(選A)10.若,在內(nèi)則在內(nèi)( ).A. B.C. D.解:(選C)11.設(shè)的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù),且,則在點(diǎn)處( )。A.不可導(dǎo) B.可導(dǎo),且 C.取得極大值 D.取得極小值解:因?yàn)?則在的鄰域內(nèi)成立, 所以為的極小值,故選D。12.設(shè)函數(shù)是大于零的可導(dǎo)函數(shù),且,則當(dāng)時(shí),有( )。A. B.C. D.解:考慮輔助函數(shù)。13.( )。A. B.C. D.解:由積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可得,故選(A).14.設(shè)上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),且,則( )。A.2 B.1 C.-1 D.-2解:因?yàn)椋蕬?yīng)選(A)15.設(shè)上二階可導(dǎo),且記 , ,則有( ).A. B. C. D.解:依題意,函數(shù)在上嚴(yán)格單調(diào)減少,且其圖形是向上凸的曲線。依據(jù)幾何圖形可得,故選B。16.設(shè)冪級數(shù)在處收斂。則此級數(shù)在處( ).A.絕對收斂 B.條件收斂 C.發(fā)散 C.收斂性不能確定解:選A。17.下列命題中,正確的是( )。A.若級數(shù)的一般項(xiàng)有則有B.若正項(xiàng)級數(shù)滿足發(fā)散C.若正項(xiàng)級數(shù)收斂,則D.若冪級數(shù)的收斂半徑為,則.解:由有,因此,從而發(fā)散。故選(B)。18.設(shè)級數(shù)收斂,則級數(shù)( )。A.絕對收斂 B.條件收斂 C.發(fā)散 D.斂散性不確定解:因?yàn)槭諗?,即冪級?shù)在處收斂,由Able定理知,冪級數(shù)在處絕對收斂,亦即絕對收斂。故選(A)。19.微分方程的通解是( )A. B.C. D.解:D20.設(shè)滿足微分方程,若,則函數(shù)在點(diǎn)( )。A.取極大值 B.取極小值 C.附近單調(diào)增加 D.附近單調(diào)減少解:B21.函數(shù)在點(diǎn)處的增量滿足且,則(D)A. B. C. D.解:令,得 ,故選(D)。22.若含有s個(gè)向量的向量組線性相關(guān),且該向量組的秩為r,則必有 ( )A.r=s B.rs C.r=s+1 D.r0,所以=A,因而P(|A)=P(A|A)=1,故選(A)35.離散型隨機(jī)變量X的分布列為P X = k =, k = 1,2,3,4.則( )(A)0.05 (B)0.1 (C)0.2 (D)0.25解:由概率分布性質(zhì)可知,常數(shù)a應(yīng)滿足, a+2a+3a+4a=1,即有a=0.1,故應(yīng)選(B)。36.設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為則( )(A)(B)(C)(D)解:,故應(yīng)選(C)。37.設(shè)隨機(jī)變量X服從,的值( )(A)隨增大而減?。?(B)隨增大而增大;(C)隨增大而不變; (D)隨減少而增大.解:XN(, 4) PX2+=P,而值不隨的變化而變化,PX2+值隨增大而不變,故應(yīng)選(C)。38.設(shè)隨機(jī)變量,則服從( )(A) (B) (C) (D)解 選(D), E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b=a+b D(Y)=D(aX+b)=a2D(X)=a2 YN(a+b,a2)。39.對目標(biāo)進(jìn)行3次獨(dú)立射擊,每次射擊的命中率相同,如果擊中次數(shù)的方差為0.72,則每次射擊的命中率等于( )(A)0.1 ( B ) 0.2 ( C ) 0.3 ( D ) 0.4解:選(D);由題意知:XB(3, p),而D(X)=3 p (1p)=0.72 p=0.4。40.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為,則=( )。(A)-1 (B)0 (C)1 (D)以上結(jié)論均不正確解:選(B);E(X)=,而被積函數(shù)為對稱區(qū)間上的奇函數(shù), E(X)=0。三、解答題:1.設(shè) ,已知在處連續(xù)可導(dǎo),試確立并求解:,在處連續(xù),即。當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),故。2.設(shè), 其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求.解:,.3.設(shè)討論f(x,y)在(0,0)(1)偏導(dǎo)數(shù)是否存在。(2)是否可微。解:(1)同理可得,偏導(dǎo)數(shù)存在。(2)若函數(shù)f在原點(diǎn)可微,則應(yīng)是較高階的無窮小量,為此,考察極限,由前面所知,此極限不存在,因而函數(shù)f在原點(diǎn)不可微。4.在過點(diǎn)的所有平面中,求一平面, 使之與三個(gè)坐標(biāo)平面所圍四面體的體積最小。解:設(shè)平面方程為, 其中均為正, 則它與三坐標(biāo)平面圍成四面體的體積為,且,令,則由,求得 由于問題存在最小值, 因此所求平面方程為, 且.5.解:=6.,其中為圓域。解:將區(qū)域分為,其中。于是7.設(shè)在上連續(xù),求證:。證明:由重積分中值定理,使得,當(dāng)時(shí),由f的連續(xù)性,知,從而有:8.求冪級數(shù)收斂區(qū)間及和函數(shù):解:,所以,.當(dāng)時(shí),級數(shù)成為,由調(diào)和級數(shù)知發(fā)散;當(dāng)時(shí),級數(shù)成為,由交錯(cuò)級數(shù)的Leibniz判別法知此級數(shù)是收斂的. 所以收斂區(qū)間為。設(shè),則,所以,.9.求解 解:原方程可化為,兩邊積分得,即。由得,故即為所求。10.求解。解:原式可化為,令,得,即, 兩邊積分得 ,即,由得,故所求特解為 。11.求解滿足解:特征方程為,故通解為,由 得,故為所求特解。12.求解滿足解:對應(yīng)的齊次方程的通解為,設(shè)特解為代入原方程得,故原方程通解為,由得,。13.設(shè)二階常系數(shù)線性微分方程的一個(gè)特解為,試確定,并求該方程的通解。解:將,代入原方程得,故,方程為,故通解為。14.計(jì)算下列行列式。解:15.計(jì)算下列行列式 解:16.證明: 證:17.設(shè)AX+E=A2+X,且A=,求X。解:由AX+E=A2+X,得(AE)X=A2E,而AE可逆,故X=A+E=。18.已知矩陣,求常數(shù)a,b。解:因?yàn)樗?,得b = 2。19.將向量表示成的線性組合:解:設(shè),按分量展開得到求解得到,即20.問,取何值時(shí),齊次方程組有非零解?解:齊次方程組有非零解的必要條件是系數(shù)行列式等于零,故即或齊次方程組有非零解。21.設(shè)線性方程組試問c為何值時(shí),方程組有解?若方程組有解時(shí),求一般解。解:可見,當(dāng)c = 0時(shí),方程組有解。且原方程組的一般解為(x3是自由未知量) 22.求一個(gè)正交變換化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)型:(1)解:對應(yīng)的矩陣為,特征值為正交矩陣為,標(biāo)準(zhǔn)型為23.某工人看管甲、乙、丙3臺機(jī)器,在1小時(shí)內(nèi),這3臺機(jī)器不需照管的概率分別為0.8,0.9,0.6,設(shè)這三臺機(jī)器是否需照管是相互獨(dú)立的,求在1小時(shí)內(nèi):(1)有機(jī)床需要工人照管的概率;(2)機(jī)床因無人照管而停工的概率.解:(1)設(shè)Ai表示“甲、乙、丙三臺機(jī)床無需照管”i=1, 2, 3,則有機(jī)床需要工人照管的事件為,因而=0.568(
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