理論力學(xué)課件第一篇靜力學(xué)第四章 空間任意力系x.ppt

圖示的三角柱剛體是正方體的一半 在其中三個側(cè)面各自作用著一個力偶 已知力偶 F1 F 1 的矩M1 20N m 力偶 F2 F 2 的矩M2 20N m 力偶 F3 F 3 的矩M3 20N m 試求合力偶矩矢M 又問使這個剛體平衡 還需要施加怎樣一個力偶 1 畫出各力偶矩矢 2 合力偶矩矢M的投影 解 3 合力偶矩矢M的大小和方向 4 為使這個剛體平衡 需加一力偶 其力偶矩矢為M4 M 桅桿式起重機(jī)可簡化為如圖所示結(jié)構(gòu) AC為立柱 BC CD和CE均為鋼索 AB為起重桿 A端可簡化為球鉸鏈約束 設(shè)B點(diǎn)滑輪上起吊重物的重量P 20kN AD AE 6m 其余尺寸如圖 起重桿所在平面ABC與對稱面ACG重合 不計(jì)立柱和起重桿的自重 求起重桿AB 立柱AC和鋼索CD CE所受的力 1 先取滑輪B為研究對象 注意 起重桿AB為桁架構(gòu)件 兩端鉸接 不計(jì)自重 它是一個二力構(gòu)件 把滑輪B簡化為一點(diǎn) 它的受力圖如圖所示 解 這是一平面匯交力系 列平衡方程 解得 2 再選取C點(diǎn)為研究對象 它的受力圖如圖所示 此力系在Axy平面上投影為一平面匯交力系 其中 先列出對Az軸的投影方程 這是一空間匯交力系 作直角坐標(biāo)系A(chǔ)xy 把力系中各力投影到Axy平面和Az軸上 列平衡方程 由此解得 所求結(jié)果如下 第一節(jié)空間任意力系的簡化 第一節(jié)空間任意力系的簡化 一 空間任意力系向一點(diǎn)簡化 設(shè)有空間任意力系F1 F2 Fn 各力分別作用于A1 A2 An各點(diǎn) 任取一點(diǎn) 作簡化中心 將各力平行移至 點(diǎn) 并各附加一力偶 得到一個匯交力系和一個附加力偶系 圖4 1空間任意力系向O點(diǎn)簡化 第一節(jié)空間任意力系的簡化 各附加力偶矩應(yīng)作為矢量 分別垂直于相應(yīng)的力與 點(diǎn)所決定的平面 并分別等于相應(yīng)的力對于 點(diǎn)的矩 匯交力系 1 2 n 可合成為一個力 R 等于各力的矢量和 即 R 1 2 n 亦即 4 1 附加力偶系可合成為一個力偶 力偶矩 O等于各附加力偶矩的矢量和 即MO M M2 Mn 亦即等于原力系中各力對于簡化中心的矩的矢量和 4 2 矢量稱為原力系的主矢量 矢量稱為原力系對于簡化中心 的主矩 第一節(jié)空間任意力系的簡化 可知 空間力系向一點(diǎn) 簡化中心 簡化的結(jié)果一般是一個力和一個力偶 這個力作用于簡化中心 等于原力系中所有各力的矢量和 亦即等于原力系的主矢量 這個力偶的矩等于原力系中所有各力對于簡化中心的矩的矢量和 亦即等于原力系對于簡化中心的主矩 如果選取不同的簡化中心 主矢量并不改變 所以 一個力系的主矢量是一常量 與簡化中心的位置無關(guān) 但是 力系中各力對于不同的簡化中心的力矩是不同的 因而它們的矢量和一般說來也不相等 所以 主矩一般將隨簡化中心位置不同而改變 第一節(jié)空間任意力系的簡化 對于不同的兩個簡化中心及來說 力系對于它們的主矩之間存在如下的關(guān)系 4 3 由此可知 當(dāng)簡化中心沿主矢量的作用線移動時 主矩將保持不變 為了計(jì)算主矢量和主矩 可過簡化中心取直角坐標(biāo)系Oxyz 由 4 4 第一節(jié)空間任意力系的簡化 得到 而 的大小及方向余弦為 4 6 4 5 第一節(jié)空間任意力系的簡化 相似地 主矩 o在坐標(biāo)軸上的投影 x y z 則分別等于各力對 點(diǎn)的矩在對應(yīng)軸上的投影之和 亦即等于各力對于對應(yīng)軸的矩之和 即 上式還可寫成 4 7 4 8 第一節(jié)空間任意力系的簡化 已知主矩 o的投影 則可求得 o的大小及方向余弦為 4 9 第一節(jié)空間任意力系的簡化 二 空間平行力系 取z軸平行于各力作用線 則有FRx 0 FRy 0 Mz 0 得 4 10 第一節(jié)空間任意力系的簡化 三 空間任意力系簡化結(jié)果討論 第一節(jié)空間任意力系的簡化 若FR MO 則原力系簡化為一個合力 合力的作用線通過簡化中心O點(diǎn) 其大小和方向等于原力系的主矢量 第一節(jié)空間任意力系的簡化 若FR MO 但MO FR 這表明MO所代表的力偶與FR在同一平面內(nèi) 于是 可以繼續(xù)合成為一個合力FR 如圖4 2所示 圖4 2 第一節(jié)空間任意力系的簡化 空間任意力系的合力矩定理數(shù)學(xué)表達(dá)式為 借助于圖 4 2 可證明合力矩定理 略 第一節(jié)空間任意力系的簡化 對于空間平行力系 當(dāng)FR和MO都不等于零時 MO總是垂直于FR 所以必能簡化成為一個合力 合力矩定理也必定成立 且由合力矩定理可以確定合力作用線位置 若FR MO 且MO與FR不相垂直 如圖 4 3a 則可用下述方法進(jìn)一步簡化 圖4 3力螺旋 第一節(jié)空間任意力系的簡化 這樣的一個力和一個力偶稱為力螺旋 直線O P稱為原力系的中心軸 如MR與FR同方向 則稱為右手螺旋 如MR與FR方向相反 則稱為左手螺旋 力螺旋是空間力系簡化的最簡單形式 而且 對于確定的空間力系 組成力螺旋的力和力偶矩是確定的 力螺旋的中心軸的位置也是確定的 MR是力系的最小主矩 第一節(jié)空間任意力系的簡化 第二節(jié)空間任意力系的平衡條件平衡方程 第二節(jié)空間任意力系的平衡條件平衡方程 如果空間任意力系的主矢量及對于任意簡化中心的主矩同時等于零 則該力系為平衡力系 反之 如空間任意力系成平衡 其主矢量與對于任一簡化中心的主矩必分別等于零 空間任意力系成平衡的必要與充分條件是力系的主矢量與力系對于任一點(diǎn)的主矩都等于零 過O點(diǎn)取直角坐標(biāo)系Oxyz 上述條件可用代數(shù)方程表示為 4 16 式 4 16 的六個方程就是空間任意力系的平衡方程 它們表示 力系中所有的力在三個直角坐標(biāo)軸中的每一軸上的投影的代數(shù)和等于零 所有的力對于每一軸的矩的代數(shù)和等于零 第二節(jié)空間任意力系的平衡條件平衡方程 對空間平行力系 令z軸平行于各力 則 Fix Fiy Miz 空間平行力系的平衡方程成為 注意 方程 4 16 雖然是由直角坐標(biāo)系導(dǎo)出的 但在解答具體問題時 不一定使三個投影軸或矩軸垂直 也沒有必要使矩軸和投影軸重合而可以分別選取適宜軸線為投影軸或矩軸 使每一平衡方程中包含的未知量最少 以簡化計(jì)算 第二節(jié)空間任意力系的平衡條件平衡方程 式 4 16 稱為平衡方程的基本形式有時為了方便 也可減少平衡方程中的投影方程 而增加力矩方程 如取二個投影方程和四個力矩方程 四力矩形式 或取一個投影方程和五個力矩方程 五力矩形式 或全部取六個力矩方程 六力矩形式 但不管采用何種平衡方程的形式 它最多只能有六個獨(dú)立的平衡方程 但要注意 不同平衡方程形式中投影軸與矩軸需滿足一定的條件 才能保證方程是相互獨(dú)立的 第二節(jié)空間任意力系的平衡條件平衡方程 懸臂剛架ABC上作用有分布荷載q 1kN m P 3kN Q 4kN及力偶矩2kNm 剛架各部分尺寸如圖示 求固定端A處的約束反力及力偶矩 解 作受力圖 建坐標(biāo)系 求解得 若負(fù)值說明與設(shè)定方向相反 三輪卡車自重 包括車輪重 Fw 8kN 載重Fp 10kN 作用點(diǎn)位置如圖4 4所示 求靜止時地面作用于三個輪子的反力 圖中長度單位為m 圖4 例4 1附圖 例4 1 第二節(jié)空間任意力系的平衡條件平衡方程 解 作三輪卡車的受力圖 各力組成一平衡的空間平行力系 取坐標(biāo)軸如圖 寫出平衡方程求解各未知量 解得 例4 1 第二節(jié)空間任意力系的平衡條件平衡方程 解得 解得 例4 1 第二節(jié)空間任意力系的平衡條件平衡方程 重Fw 100N的均質(zhì)矩形板ABCD 在A點(diǎn)用球鉸 B點(diǎn)用普通鉸鏈 并用繩DE支承于水平位置 圖4 5 力FP作用在過C點(diǎn)的鉛直面內(nèi) 設(shè)力FP的大小為200N a 1m b 0 4m 45o 求A B兩處的約束力及繩DE的拉力 圖4 5例4 2附圖 例4 2 第二節(jié)空間任意力系的平衡條件平衡方程 解 考慮矩形板的平衡 球鉸和鉸鏈的約束力 用它們的分量表示如圖 并設(shè)繩子的拉力為FT 取坐標(biāo)系如圖所示 按以下次序列平衡方程 1 2 3 例4 2 第二節(jié)空間任意力系的平衡條件平衡方程 4 5 6 解之得 例4 2 第二節(jié)空間任意力系的平衡條件平衡方程 某廠房支承屋架和吊車梁的柱子如圖4 6所示 下端固定 柱頂承受屋架傳來的力FP1 牛腿上承受吊車梁傳來的鉛直力FP2及水平制動力FT 例4 3 第二節(jié)空間任意力系的平衡條件平衡方程 圖4 6例4 3附圖 圖4 6例4 3附圖 已知 e1 0 1m e2 0 34m h 6m FP1 120kN FP2 300kN 制動力FT平行于x軸 FT 25kN 柱所受重力FQ可認(rèn)為沿z軸作用 且FQ 40kN 試求基礎(chǔ)對柱作用的約束力及力偶矩 例4 3 第二節(jié)空間任意力系的平衡條件平衡方程 圖4 6例4 3附圖 解 柱子下端的約束力和約束力偶如圖示 事實(shí)上固定端的約束力是作用在柱端表面的一個分布力 向 點(diǎn)簡化后可得到一個力和一個力偶 計(jì)算時用其分量表示 例4 3 第二節(jié)空間任意力系的平衡條件平衡方程 按以下次序列六個平衡方程 例4 3 第二節(jié)空間任意力系的平衡條件平衡方程 將已知值代入 解得 Fox 25kN Foy 0 Foz 460kN Mox 90kN m Moy 150kN m Moz 8 5kN m 例4 3 第二節(jié)空間任意力系的平衡條件平衡方程 第三節(jié)一般平行分布力的簡化 第三節(jié)一般平行分布力的簡化 一 沿平面曲線分布的平行力 沿狹長面積分布的平行力可以簡化為沿平面曲線分布的平行力 設(shè)力沿平面曲線AB分布 則荷載圖成為一曲面 取直角坐標(biāo)系的z軸平行于分布力 曲線AB位于xy平面內(nèi) 令坐標(biāo)為x y處的荷載集度為q 則在該處微小長度 s上的力的大小為 F q s 亦即等于 s上荷載圖的面積 A 于是 線段AB上所受的力的合力大小等于 F F q s A 線段AB上荷載圖的面積 第三節(jié)一般平行分布力的簡化 合力F的作用線位置可用合力矩定理求得 分別對y軸及x軸求矩有 xcF xq s x A ycF yq s y A 由此得 這就是荷載圖形心的x坐標(biāo)和y坐標(biāo) 沿平面曲線分布的平行分布力的合力的大小等于荷載圖的面積 合力作用線通過荷載圖面積的形心 4 18 第三節(jié)一般平行分布力的簡化 二 平行分布于平面上的力 如圖4 8為面積A上的荷載圖 取直角坐標(biāo)系的中z軸平行于分布力 荷載作用面為xy面 在面積A內(nèi)坐標(biāo)為 x y 處取微小面積 A 若該處荷載集度為p 則微小面積 A上所受的力的大小為 F p A 亦即等于 A上荷載圖的體積 V 圖4 8面積A上的分布力 第三節(jié)一般平行分布力的簡化 面積A上所受的力的合力大小為 面積 上荷載圖的體積 第三節(jié)一般平行分布力的簡化 合力作用線的位置仍用合力矩定理求出 可得 可見 平行分布的面力的合力的大小等于荷載圖的體積 合力通過荷載圖體積的形心 水平半圓形 半徑 梁上受鉛直分布荷載 其集度按q qosin 變化 如圖 4 9 所示 求分布荷載的合力的大小及作用線位置 圖4 9例4 4附圖 例4 4 第三節(jié)一般平行分布力的簡化 解 首先求合力F的大小 在 處 長ds Rd 的梁上所受的力dF qRd Rqosin d 所以整個梁上所受荷載的合力的大小為 再求F的作用線位置 設(shè)作用線與xy平面的交點(diǎn)為C 由對稱性 點(diǎn)C必位于y軸上 故xC 0 只需求yC 例4 4 第三節(jié)一般平行分布力的簡化 由合力矩定理 可得 于是得到 例4 4 第三節(jié)一般平行分布力的簡化 第四節(jié)重心 質(zhì)心和形心 第四節(jié)重心 質(zhì)心和形心 重心的位置對于物體的平衡和運(yùn)動 都有很大關(guān)系 在工程上 設(shè)計(jì)擋土墻 重力壩等建筑物時 重心位置直接關(guān)系到建筑物的抗傾覆穩(wěn)定性及其內(nèi)部的受力狀態(tài) 機(jī)械的轉(zhuǎn)動部分 有的 如偏心輪 應(yīng)使其重心離開轉(zhuǎn)動軸一定的距離 以便利用由于偏心而產(chǎn)生的效果 有的 特別是高速轉(zhuǎn)動者 卻必須使其重心盡可能不偏離轉(zhuǎn)動軸 以避免產(chǎn)生不良影響 所以 如何確定物體重心的位置 在實(shí)踐上有著重要意義 一 基本公式 設(shè)物體任一微小部分Mi所受的重力為 FPi 所有各力 FPi i 1 2 n 的合力FP就是整個物體所受的重力 不論物體在空中取什么樣的位置 合力FP的作用線必通過某一確定點(diǎn)C 這一點(diǎn)C就稱為物體的重心 第四節(jié)重心 質(zhì)心和形心 各部分的 FPi可以看作平行力 所以 合力的大小FP FPi 而物體重心位置則可利用合力矩定理求得 由于工程上的物體都遠(yuǎn)較地球?yàn)樾?離地心又很遠(yuǎn) 所以各部分的 FPi可以看作平行力而足夠精確 這樣 合力FP的大小 即整個物體的重量 FP FPi 而物體重心位置則可利用合力矩定理求得 為此 使物體固定于坐標(biāo)系Oxyz內(nèi) 令Mi及 相對于 點(diǎn)的矢徑為ri及rC 第四節(jié)重心 質(zhì)心和形心 由合力矩定理有 沿重力的方向取單位矢量p0 則 可得 第四節(jié)重心 質(zhì)心和形心 或 無論p0的方向如何 上式恒成立 即得 將上式兩邊投影到x y z軸上 即得求物體重心公式 4 21 第四節(jié)重心 質(zhì)心和形心 如微小部分Mi的質(zhì)量為 mi 物體的質(zhì)量為m 重力加速度為g 則 FPi mig FP mig 由求重心的公式 4 20 可得 4 22 由式 4 22 所確定的C點(diǎn)稱為物體的質(zhì)心 可見 在地面附近物體的重心與質(zhì)心是重合的 相應(yīng)地 式 4 21 成為 4 23 第四節(jié)重心 質(zhì)心和形心 如果物體是均質(zhì)的 即質(zhì)量密度 是常數(shù) 則每單位體積的重力 也為常數(shù) 命Mi的體積為 Vi 整個物體的體積為 Vi 則 FPi Vi FP 而 代入式 4 21 或式 4 23 就得到 4 24 第四節(jié)重心 質(zhì)心和形心 式 4 24 表明 對于均質(zhì)物體 其重心和質(zhì)心的位置完全決定于物體的幾何形狀 由式 4 24 所確定的點(diǎn) 便稱為幾何形體的形心 對于曲面或曲線 只須在公式 4 24 中分別將 Vi改為 Ai 面積 或 Li 長度 V改為A或L 即可得相應(yīng)的重心坐標(biāo)公式 對于平面圖形或平面曲線 如取所在的平面為xy面 則顯然zc 而xc及yc可由公式 4 24 中的前兩式求得 第四節(jié)重心 質(zhì)心和形心 在公式 2 29 中 如令 V趨近于零而取和式的極限 可得到計(jì)算形心坐標(biāo)的積分公式為 4 25 由形心計(jì)算公式可見 凡具有對稱面 對稱軸或?qū)ΨQ中心的均質(zhì)物體 或幾何形體 其重心 或形心 必定在對稱面 對稱軸或?qū)ΨQ中心上 第