數(shù)學(xué)建模答辯.ppt

追趕曲線的計算機(jī)模擬 一 問題描述 歐洲文藝復(fù)興時期的著名人物達(dá) 芬奇曾經(jīng)提出一個有趣的 狼追兔子 問題 當(dāng)一只兔子正在它的洞穴南面60碼處覓食時 一只餓狼出現(xiàn)在兔子正東的100碼處 兔子急忙奔向自己的洞穴 狼立即以快于兔子一倍的速度緊追兔子不放 兔子一旦回到洞穴便逃脫厄 問狼是否會追趕上兔子 二 背景分析 這一問題的研究方法可以推廣到如魚雷追擊潛艇 地對空導(dǎo)彈擊飛機(jī)等問題上去 在對真實系統(tǒng)做實驗時 可能時間太長 費用太高 危險太大 甚至很難進(jìn)行 計算機(jī)模擬是用計算機(jī)模仿實物系統(tǒng) 對系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和行為進(jìn)行動態(tài)演示 以評價或預(yù)測系統(tǒng)的行為效果 根據(jù)模擬對象的不同特點 分為確定性模擬和隨機(jī)性模擬兩大類 模擬通常所用的是時間步長法 即按照時間流逝的順序一步一步對所研究的系統(tǒng)進(jìn)行動態(tài)演示 以提取所需要的數(shù)據(jù) 三 模型假設(shè) 1 設(shè)兔子奔跑的速度為 則狼運動的速度為 建立平面直角坐標(biāo)系 若當(dāng)時刻 兔子位于點處 狼位于點處 試根據(jù) 的坐標(biāo)確定一個單位向量 描述狼在時段內(nèi)的運動方向 2 根據(jù)狼的運動方向和速度推導(dǎo)到的坐標(biāo)的具體表達(dá)式 3 用計算機(jī)繪制追趕曲線的圖形 包括靜態(tài)和動態(tài)的圖形 四 模型的建立 首先計算狼的初始位置到兔子洞穴的直線距離 由于狼奔跑的速度是兔子速度的兩倍 兔子跑60碼的時間狼可以跑120碼 如果狼沿直線奔向兔窩 應(yīng)該是可以追上兔子的 但是 有人推導(dǎo)出狼在追趕兔子過程中的運動曲線為 根據(jù)曲線方程 當(dāng)時 也就是說 在沒有兔窩的情況下兔子一直往北跑 在跑到大約66碼處將被狼追上 由此可知 在有兔窩時狼是追趕不上兔子的 用計算機(jī)模擬的方法也可以得到同樣的結(jié)論 取時間步長為1s 隨時間步長的增加 考慮這一系統(tǒng)中的各個元素 狼和兔子 所處的位置變化規(guī)律 用計算機(jī)作出模擬 最后 根據(jù)第60s時狼所在的位置的坐標(biāo) 判斷狼是否能追上兔子 設(shè)兔子所在位置為動點Q 狼所在位置為動點P 在時刻tk 兩個動點的坐標(biāo)分別為 Q uk vk P xk yk 動點P的軌跡就是追趕曲線 在tk時刻到tk 1時刻這個時段 P點的運動方向可以用單位向量描述 顯然 uk 0 vk tk 五 源程序 設(shè)在初始時刻兔子和狼的位置分別為Q 0 0 P 100 0 初始時刻的狼 兔距離為100碼 我們不妨規(guī)定當(dāng)狼 兔距離小于0 5碼時 兔子被狼追上 結(jié)束追趕 下面MATLAB程序可計算并繪制追趕曲線 x 1 100 y 1 0 u 1 0 v 1 0 t 1 d 100 e 10 whiled 0 5 x t 1 x t 2 e 1 y t 1 y t 2 e 2 t t 1 u t 0 v t t e x