數(shù)值分析試題及答案.pdf

武理武理數(shù)值分析數(shù)值分析考試試題紙 考試試題紙 A A 卷 卷 課程名稱 數(shù)值分析 專業(yè)年紀(jì) 一 計(jì)算題 本題滿分 100 分 共 5 小題 每小題 20 分 1 已知函數(shù)表 x 1 0 1 2 f x 0 1 2 15 1 求 f x 的三次 Lagrange 型插值多項(xiàng)式及其插值余項(xiàng) 要求化成最簡形式 2 求 f x 的 Newton 插值多項(xiàng)式 要求化成最簡形式 2 已知 A 212 013 612 求 A 1 A A 的 LU 分解 3 敘述 m 階代數(shù)精度的定義 寫出求 f x dx b a 的 Simpson 公式 并驗(yàn)證 Simpson 公式的 代數(shù)精度為 3 階 4 設(shè)矩陣 A 01 2 11 求當(dāng) 為何值時(shí) 解線性方程組 Ax b 的 Gauss Seidel 迭代法收斂 5 敘述最小二乘法的基本原理 并舉例說明其應(yīng)用 參考答案 一 計(jì)算題 1 解 1 L3 x l0 x y0 l1 x y0 l2 x y2 l3 x y3 x 0 x 2 x 2 1 0 1 1 1 2 0 x 1 x 1 x 2 0 1 0 1 0 2 1 x 1 x 0 x 2 1 1 1 0 1 2 2 x 1 x 0 x 1 2 1 2 0 2 1 15 x3 2x2 1 R3 x f x L3 x f 4 4 4 x 2 均差表如下 N x f x0 f x0 x1 x x0 f x0 x1 x2 x x0 x x1 f x0 x1 x2 x3 x x0 x x1 x x2 0 1 x 1 2 x 1 x 0 1 x 1 x 0 x 1 x3 x2 1 2 解 A 1 max1 j 3 aij 3 i 1 2 0 6 8 A max1 i 3 aij 3 j 1 6 1 2 9 A LU 1 l211 l31l321 u11u12u13 u22u23 u33 212 013 612 由u11 2 u12 1 u13 2 l21 0 u22 1 u23 3 l31 3 l32 2 u33 2 xk f xk 一階均差 二階均差 三階均差 x0 1 0 x1 0 1 1 x2 1 2 3 2 x3 2 15 13 5 1 所以 A LU 1 01 3 21 212 13 2 3 解 定義 如果某個(gè)求積公式對(duì)于次數(shù)不超過 m 的多項(xiàng)式均能準(zhǔn)確地成立 但對(duì)于 m 1 次的多項(xiàng)式就不準(zhǔn)確成立 則稱該求積公式具有 m 次代數(shù)精度 f x dx b a 的 Simpson 公式 S b a 6 0f a 4f a b 2 f b 1 驗(yàn)證代數(shù)精度 當(dāng)f x 1時(shí) 左邊積分 1dx b a b a 右邊S b a 6 1 4 1 b a 左邊 當(dāng)f x x時(shí) 左邊積分 xdx b a 1 2 b 2 a2 右邊S b a 6 0a 4 a b 2 b1 1 2 b 2 a2 左邊 當(dāng)f x x2時(shí) 左邊積分 x2dx b a 1 3 b 3 a3 右邊S b a 6 a2 4 a b 2 2 b2 1 3 b 3 a3 左邊 當(dāng)f x x3時(shí) 左邊積分 x3dx b a 1 4 b 4 a4 右邊S b a 6 a3 4 a b 2 3 b3 1 4 b 4 a4 左邊 當(dāng)f x x4時(shí) 左邊積分 x4dx b a 1 4 b 5 a5 右邊S b a 6 a4 4 a b 2 4 b4 左邊 故 Simpson 公式對(duì)次數(shù)不超過三次的多項(xiàng)式均能準(zhǔn)確成立 而對(duì)四次多項(xiàng)式不成立 所以 Simpson 公式具有三次代數(shù)精度 4 解 Ax b x1 2x2 b1 2x1 x2 b2 其 Gauss Seidel 迭代格式為 x1 k 1 b1 2x2 k x2 k 1 b2 2x1 k k 0 1 2 迭代矩陣 B 0 0 2 20 1 該迭代發(fā)收斂的充要條件是矩陣 B 的譜半徑 B 1 1 2 當(dāng) 1 2時(shí) 解線性方程組 Ax b 的 Gauss Seidel 迭代法收斂 5 答 在 函 數(shù) 的 最 佳 平 方 逼 近 中 f x C a b 如 果 f x 只 在 一 組 離 散 點(diǎn) 集 xi i 0 1 m 上給定 這就是科學(xué)實(shí)驗(yàn)中經(jīng)常見到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù) xi yi i 0 1 m 的 曲線擬合 這里yi f xi i 0 1 m 要求一個(gè)函數(shù)y S x 與所給數(shù)據(jù) xi yi i 0 1 m 擬 合 若 記 0 x 1 x n x 是 C a b 上 線 性 無 關(guān) 函 數(shù) 族 在 span 0 x 1 x n x 中找一函數(shù)S x 使誤差平方和 2 2 i 2 m i 0 S x i yi 2 m i 0 minS x S xi yi 2 m i 0 這里 S x a0 0 x a1 1 x an n x n 這就是一般的最小二乘逼近 用幾何語言說 就成為曲線擬合的最小二乘法 舉例說明 測得銅導(dǎo)線在溫度 時(shí)的電阻如表 6 1 求電阻 R 與溫度 T 的近 似函數(shù)關(guān)系 i 0 1 2 3 4 5 6 19 1 25 0 30 1 36 0 40 0 45 1 50 0 76 30 77 80 79 25 80 80 82 35 83 90 85 10 解 畫出散點(diǎn)圖如下圖所示 可見測得的數(shù)據(jù)接近一條直線 故取 n 1 擬合函數(shù)為 列表如下 i 0 19 1 76 30 364 81 1457 330 1 25 0 77 80 625 00 1945 000 2 30 1 79 25 906 01 2385 425 3 36 0 80 80 1296 00 2908 800 4 40 0 82 35 1600 00 3294 000 5 45 1 83 90 2034 01 3783 890 6 50 0 85 10 2500 00 4255 00