高中數(shù)學(xué)（北師大版）必修五教案：11拓展資料：數(shù)列定義在解題中的潛在功能.doc

數(shù)列定義在解題中的潛在功能高考作為一種選拔性考試，在重視基礎(chǔ)知識(shí)考查的同時(shí)，更加重視對(duì)應(yīng)用能力的考查.作為中學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，等差（比）數(shù)列一直是高考考查時(shí)重點(diǎn)，特別是近幾年，有關(guān)數(shù)列的高考綜合題，幾乎都與等差（比）數(shù)列有關(guān).這里我們感興趣的是等差（比）數(shù)列的定義在解題中的潛在功能，即遇到數(shù)列問(wèn)題，特別是證明通項(xiàng)為and或前n項(xiàng)和首先要證明它是等差（比）數(shù)列，必要時(shí)再進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化，即將一般數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差（比）數(shù)列.例1.設(shè)等差數(shù)列的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，則它的前3m項(xiàng)和為（ ）.（A）130 （B）170 （C）210 （D）260解 若等差數(shù)列前m項(xiàng)、次m項(xiàng)、又次m項(xiàng)和分別為S1，S2，S3，則S1，S2，S3也成等差數(shù)列.事實(shí)上，所以S1，S2，S3成等差數(shù)列.因?yàn)?0，70，S3m100成等差數(shù)列，所以30+S3m100=140，即S3m=210.故應(yīng)選（C）.例2.設(shè)an是等差數(shù)列，已知，求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.解 an成等差數(shù)列，bn成等比數(shù)列,=b1b3.由b1b2b3=,得b2=.從而有b1+b3= ,b1b3=.b1,b3是方程x2+兩根.解得或，a1=1,d=2或a1=3,d=2.故an=a1+(n1)d=2n3或an=52n.例3.一個(gè)數(shù)列an,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí), an=5n+1;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),an=2,求這個(gè)數(shù)列的前2m項(xiàng)的和.解:a1,a3,a5,，a2m1成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，S2m=.例4.設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系是（其中k是與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，且k1）.（1）試寫(xiě)出由n,k表示的an的表達(dá)式；（2）若，求k的取值范圍.解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，由,得當(dāng)n2時(shí)，由，得.若k=0，則an=1(n=1)或an=0(n2).若k0,則an是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以.（2），1，解得k.例5.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和的公式是.（1）求證：an是等差數(shù)列，并求出它的首項(xiàng)和公差；（2）記，求證：對(duì)任意自然數(shù)n，都有.證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，；當(dāng)n2時(shí)，=.an是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.（2）只要證明bn是首項(xiàng)為,公比為1的等比數(shù)列.，和bn是首項(xiàng)為，公比為1的等比數(shù)列，.例6.設(shè)an是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，并且對(duì)于所有自然數(shù)n,an與2的等差中項(xiàng)等于Sn與2的等比中項(xiàng).（1）寫(xiě)出數(shù)列an的前3項(xiàng)；（2）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式（寫(xiě)出推證過(guò)程）；（3）令，求解 （1），得0；，解得：0)；，解得：0).（2）當(dāng)n2時(shí)，即，即.0,.an是首項(xiàng)為2，公差為4的等差數(shù)列，.（3），.例7.已知數(shù)列an滿(mǎn)足條件：0），且anan1是公比為q(q0)的等比數(shù)列.設(shè).（1）求出使不等式成立的q的取值范圍；（2）求bn和，其中；（3）設(shè)，求數(shù)列的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值.解： （1）0，q0,0,0q .（2）.又是首項(xiàng)為1+r，公比為q的等比數(shù)列，.（3）.記，則有c21.故cn的最大項(xiàng)為c21=2.25，最小項(xiàng)為c20=4.例8.設(shè)An為數(shù)列an前n項(xiàng)的和，數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）若，則稱(chēng)d為數(shù)列an與bn的公共項(xiàng).將數(shù)列an與bn的公共項(xiàng)，按它們?cè)谠瓟?shù)列中的先后順序排成一個(gè)新的數(shù)列dn，證明數(shù)列dn的通項(xiàng)是（3）設(shè)數(shù)列dn中的第n項(xiàng)是數(shù)列bn中的第r項(xiàng)，Br為數(shù)列bn前r項(xiàng)的和，Dn為數(shù)列dn前n項(xiàng)的和，Tn=BrDn，求解: （1）當(dāng)n=1時(shí)，由,得a1=3;當(dāng)n2時(shí)，由,得2)an是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，故（2）證dn是等比數(shù)列.顯然d1=a3=27,設(shè)ai=3