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第2課時(shí)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用 第一章 1 1分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理 學(xué)習(xí)目標(biāo)1 進(jìn)一步理解分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的區(qū)別 2 會(huì)正確應(yīng)用這兩個(gè)計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù) 問(wèn)題導(dǎo)學(xué) 達(dá)標(biāo)檢測(cè) 題型探究 內(nèi)容索引 問(wèn)題導(dǎo)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)一兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的區(qū)別與聯(lián)系 解決較為復(fù)雜的計(jì)數(shù)問(wèn)題 一般要將兩個(gè)計(jì)數(shù)原理綜合應(yīng)用 使用時(shí)要做到目的明確 層次分明 先后有序 還需特別注意以下兩點(diǎn) 1 合理分類(lèi) 準(zhǔn)確分步 處理計(jì)數(shù)問(wèn)題 應(yīng)扣緊兩個(gè)原理 根據(jù)具體問(wèn)題首先弄清楚是 分類(lèi) 還是 分步 要搞清楚 分類(lèi) 或者 分步 的具體標(biāo)準(zhǔn) 分類(lèi)時(shí)需要滿足兩個(gè)條件 類(lèi)與類(lèi)之間要互斥 保證不重復(fù) 總數(shù)要完備 保證不遺漏 也就是要確定一個(gè)合理的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn) 分步時(shí)應(yīng)按事件發(fā)生的連貫過(guò)程進(jìn)行分析 必須做到步與步之間互相獨(dú)立 互不干擾 并確保連續(xù)性 知識(shí)點(diǎn)二兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用 2 特殊優(yōu)先 一般在后 解含有特殊元素 特殊位置的計(jì)數(shù)問(wèn)題 一般應(yīng)優(yōu)先安排特殊元素 優(yōu)先確定特殊位置 再考慮其他元素與其他位置 體現(xiàn)出解題過(guò)程中的主次思想 題型探究 例1用0 1 2 3 4五個(gè)數(shù)字 1 可以排成多少個(gè)三位數(shù)字的電話號(hào)碼 解三位數(shù)字的電話號(hào)碼 首位可以是0 數(shù)字也可以重復(fù) 每個(gè)位置都有5種排法 共有5 5 5 53 125 種 類(lèi)型一組數(shù)問(wèn)題 解答 2 可以排成多少個(gè)三位數(shù) 解三位數(shù)的首位不能為0 但可以有重復(fù)數(shù)字 首先考慮首位的排法 除0外共有4種方法 第二 三位可以排0 因此 共有4 5 5 100 種 3 可以排成多少個(gè)能被2整除的無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù) 解被2整除的數(shù)即偶數(shù) 末位數(shù)字可取0 2 4 因此 可以分兩類(lèi) 一類(lèi)是末位數(shù)字是0 則有4 3 12 種 排法 一類(lèi)是末位數(shù)字不是0 則末位有2種排法 即2或4 再排首位 因0不能在首位 所以有3種排法 十位有3種排法 因此有2 3 3 18 種 排法 因而有12 18 30 種 排法 即可以排成30個(gè)能被2整除的無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù) 解答 引申探究由本例中的五個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù) 解完成 組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù) 這件事 可以分四步 第一步定個(gè)位 只能從1 3中任取一個(gè) 有2種方法 第二步定首位 把1 2 3 4中除去用過(guò)的一個(gè)剩下的3個(gè)中任取一個(gè) 有3種方法 第三步 第四步把剩下的包括0在內(nèi)的3個(gè)數(shù)字先排百位有3種方法 再排十位有2種方法 由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有2 3 3 2 36 個(gè) 解答 反思與感悟?qū)τ诮M數(shù)問(wèn)題 應(yīng)掌握以下原則 1 明確特殊位置或特殊數(shù)字 是我們采用 分類(lèi) 還是 分步 的關(guān)鍵 一般按特殊位置 末位或首位 分類(lèi) 分類(lèi)中再按特殊位置 或特殊元素 優(yōu)先的策略分步完成 如果正面分類(lèi)較多 可采用間接法求解 2 要注意數(shù)字 0 不能排在兩位數(shù)字或兩位數(shù)字以上的數(shù)的最高位 跟蹤訓(xùn)練1從0 2中選一個(gè)數(shù)字 從1 3 5中選兩個(gè)數(shù)字 組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù) 其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為a 24b 18c 12d 6 解析由于題目要求是奇數(shù) 那么對(duì)于此三位數(shù)可以分成兩種情況 奇偶奇 偶奇奇 如果是第一種奇偶奇的情況 可以從個(gè)位開(kāi)始分析 3種情況 之后十位 2種情況 最后百位 2種情況 共12種 如果是第二種情況偶奇奇 個(gè)位 3種情況 十位 2種情況 百位 不能是0 一種情況 共6種 因此總共有12 6 18 種 情況 故選b 答案 解析 例2高三年級(jí)的三個(gè)班到甲 乙 丙 丁四個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐 其中工廠甲必須有班級(jí)去 每班去何工廠可自由選擇 則不同的分配方案有a 16種b 18種c 37種d 48種 類(lèi)型二選 抽 取與分配問(wèn)題 答案 解析 解析方法一 直接法 以甲工廠分配班級(jí)情況進(jìn)行分類(lèi) 共分為三類(lèi) 第一類(lèi) 三個(gè)班級(jí)都去甲工廠 此時(shí)分配方案只有1種情況 第二類(lèi) 有兩個(gè)班級(jí)去甲工廠 剩下的班級(jí)去另外三個(gè)工廠 其分配方案共有3 3 9 種 第三類(lèi) 有一個(gè)班級(jí)去甲工廠 另外兩個(gè)班級(jí)去其他三個(gè)工廠 其分配方案共有3 3 3 27 種 綜上所述 不同的分配方案有1 9 27 37 種 方法二 間接法 先計(jì)算3個(gè)班級(jí)自由選擇去何工廠的總數(shù) 再扣除甲工廠無(wú)人去的情況 即4 4 4 3 3 3 37 種 方案 反思與感悟解決抽取 分配 問(wèn)題的方法 1 當(dāng)涉及對(duì)象數(shù)目不大時(shí) 一般選用列舉法 樹(shù)狀圖法 框圖法或者圖表法 2 當(dāng)涉及對(duì)象數(shù)目很大時(shí) 一般有兩種方法 直接使用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理 一般地 若抽取是有順序的就按分步進(jìn)行 若是按對(duì)象特征抽取的 則按分類(lèi)進(jìn)行 間接法 去掉限制條件 計(jì)算所有的抽取方法數(shù) 然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可 跟蹤訓(xùn)練23個(gè)不同的小球放入5個(gè)不同的盒子 每個(gè)盒子至多放一個(gè)小球 共有多少種方法 解 以小球?yàn)檠芯繉?duì)象 分三步來(lái)完成 第一步 放第一個(gè)小球有5種選擇 第二步 放第二個(gè)小球有4種選擇 第三步 放第三個(gè)小球有3種選擇 由分步乘法計(jì)數(shù)原理得 總方法數(shù)n 5 4 3 60 解答 例3 1 將3種作物全部種植在如圖所示的5塊試驗(yàn)田中 每塊種植一種作物 且相鄰的試驗(yàn)田不能種同一種作物 則不同的種植方法共有 種 類(lèi)型三涂色與種植問(wèn)題 42 答案 解析 解析分別用a b c代表3種作物 先安排第一塊田 有3種方法 不妨設(shè)放入a 再安排第二塊田 有兩種方法b或c 不妨設(shè)放入b 第三塊也有2種方法a或c 1 若第三塊田放c 第四 五塊田分別有2種方法 共有2 2 4 種 方法 2 若第三塊田放a 第四塊有b或c兩種方法 若第四塊放c 第五塊有2種方法 若第四塊放b 第五塊只能種作物c 共1種方法 綜上 共有3 2 2 2 2 1 42 種 方法 2 將紅 黃 藍(lán) 白 黑五種顏色涂在如圖所示 田 字形的4個(gè)小方格內(nèi) 每格涂一種顏色 相鄰兩格涂不同的顏色 如果顏色可以反復(fù)使用 共有多少種不同的涂色方法 解第1個(gè)小方格可以從5種顏色中任取一種顏色涂上 有5種不同的涂法 當(dāng)?shù)?個(gè) 第3個(gè)小方格涂不同顏色時(shí) 有4 3 12 種 不同的涂法 第4個(gè)小方格有3種不同的涂法 由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知有5 12 3 180 種 不同的涂法 當(dāng)?shù)?個(gè) 第3個(gè)小方格涂相同顏色時(shí) 有4種涂法 由于相鄰兩格不同色 因此 第4個(gè)小方格也有4種不同的涂法 由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知有5 4 4 80 種 不同的涂法 由分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理可得共有180 80 260 種 不同的涂法 解答 引申探究本例 2 中的區(qū)域改為如圖所示 其他條件均不變 則不同的涂法共有多少種 解答 解依題意 可分兩類(lèi)情況 不同色 同色 第一類(lèi) 不同色 則 所涂的顏色各不相同 我們可將這件事情分成4步來(lái)完成 第一步涂 從5種顏色中任選一種 有5種涂法 第二步涂 從余下的4種顏色中任選一種 有4種涂法 第三步涂 與第四步涂 時(shí) 分別有3種涂法和2種涂法 于是由分步乘法計(jì)數(shù)原理得 不同的涂法為5 4 3 2 120 種 第二類(lèi) 同色 則 不同色 我們可將涂色工作分成三步來(lái)完成 第一步涂 有5種涂法 第二步涂 有4種涂法 第三步涂 有3種涂法 于是由分步乘法計(jì)數(shù)原理得 不同的涂法有5 4 3 60 種 綜上可知 所求的涂色方法共有120 60 180 種 反思與感悟解決涂色 種植 問(wèn)題的一般思路涂色問(wèn)題一般是綜合利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理求解 有幾種常用方法 1 按區(qū)域的不同 以區(qū)域?yàn)橹鞣植接?jì)數(shù) 用分步乘法計(jì)數(shù)原理分析 2 以顏色為主分類(lèi)討論 適用于 區(qū)域 點(diǎn) 線段 等問(wèn)題 用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理分析 3 將空間問(wèn)題平面化 轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域的涂色問(wèn)題 種植問(wèn)題按種植的順序分步進(jìn)行 用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)或按種植品種恰當(dāng)選取情況分類(lèi) 用分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù) 跟蹤訓(xùn)練3如圖所示 將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色 并使同一條棱上的兩個(gè)端點(diǎn)異色 如果只有5種顏色可供使用 則不同染色方法的總數(shù)為 答案 解析 420 解析按照s a b c d的順序進(jìn)行染色 按照a c是否同色分類(lèi) 第一類(lèi) a c同色 則有5 4 3 1 3 180 種 不同的染色方法 第二類(lèi) a c不同色 則有5 4 3 2 2 240 種 不同的染色方法 根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理 共有180 240 420 種 不同的染色方法 達(dá)標(biāo)檢測(cè) 1 有a b兩種類(lèi)型的車(chē)床各一臺(tái) 現(xiàn)有甲 乙 丙三名工人 其中甲 乙都會(huì)操作兩種車(chē)床 丙只會(huì)操作a種車(chē)床 要從這三名工人中選兩名分別去操作這兩種車(chē)床 則不同的選派方法有a 6種b 5種c 4種d 3種 解析不同的選派情況可分為3類(lèi) 若選甲 乙 有2種方法 若選甲 丙 有1種方法 若選乙 丙 有1種方法 根據(jù)分類(lèi)加法計(jì)數(shù)原理知 不同的選派方法有2 1 1 4 種 答案 解析 1 2 3 4 5 答案 解析 2 用0 1 9這10個(gè)數(shù)字 可以組成有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為a 243b 252c 261d 648 解析0 1 2 9共能組成9 10 10 900 個(gè) 三位數(shù) 其中無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有9 9 8 648 個(gè) 所以有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)有900 648 252 個(gè) 1 2 3 4 5 答案 解析 3 某班有3名學(xué)生準(zhǔn)備參加校運(yùn)會(huì)的100米 200米 跳高 跳遠(yuǎn)四項(xiàng)比賽 如果每班每項(xiàng)限報(bào)1人 則這3名學(xué)生的參賽的不同方法有a 24種b 48種c 64種d 81種 解析由于每班每項(xiàng)限報(bào)1人 故當(dāng)前面的學(xué)生選了某項(xiàng)之后 后面的學(xué)生不能再報(bào) 由分步乘法計(jì)數(shù)原理 共有4 3 2 24 種 不同的參賽方法 1 2 3 4 5 答案 解析 4 火車(chē)上有10名乘客 沿途有5個(gè)車(chē)站 乘客下車(chē)的可能方式有a 510種b 105種c 50種d 500種 1 2 3 4 5 解析分10步 第1步 考慮第1名乘客下車(chē)的所有可能有5種 第2步 考慮第2名乘客下車(chē)的所有可能有5種 第10步 考慮第10名乘客下車(chē)的所有可能有5種 故共有乘客下車(chē)的可能方式 510 種 1 2 3 4 5 答案 解析 5 如圖 用4種不同的顏色涂入圖中的矩形a b c d中 要求相鄰的矩形涂色不同 則不同的涂法有 種 解析a有4種涂法 b有3種涂法 c有3種涂法 d有3種涂法 共有4 3 3 3 108 種 涂法 1 2 3 4 5 108
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