(理論物理導論)李衛(wèi)-修訂版.doc

理工類可用量子力學與統(tǒng)計物理習題解答第一章1. 一維運動粒子處于的狀態(tài)，式中l(wèi)0，求（1）歸一化因子A；（2）粒子的幾率密度；（3）粒子出現(xiàn)在何處的幾率最大？ 解：（1） 令 ，則 由歸一化的定義 得 （2）粒子的幾率密度 （3）在極值點，由一階導數(shù) 可得方程 而方程的根 ； 即為極值點。幾率密度在極值點的值 ；由于P(x)在區(qū)間(0，1/l)的一階導數(shù)大于零，是升函數(shù)；在區(qū)間(1/l，)的一階導數(shù)小于零，是減函數(shù)，故幾率密度的最大值為，出現(xiàn)在處。2. 一維線性諧振子處于狀態(tài) （1）求歸一化因子A； （2）求諧振子坐標小的平均值； （3）求諧振子勢能的平均值。 解：（1） 由歸一化的定義 得 （2） 因被積函數(shù)是奇函數(shù)，在對稱區(qū)間上積分應為0，故 （3）將、代入，可得 是總能量的一半，由能量守恒定律可知動能平均值和勢能平均值相等，也是總能量的一半。3設(shè)把寬為的一維無限深勢阱的坐標原點取在勢阱中點，有試通過具體解定態(tài)薛定諤方程，證明勢阱中粒子的波函數(shù)為粒子的能量為證明：勢函數(shù)與時間無關(guān)，是定態(tài)問題。由于是無限深勢阱，粒子不可能到達阱外，因此在阱外在阱內(nèi)，波函數(shù)滿足定態(tài)薛定諤方程上式可變形為令，則方程化為該方程的通解為在邊界上，波函數(shù)應滿足連續(xù)性條件，即將通解代入有由此可得A和B不能同時為零，否則解無意義。，則必有，則必有由此可得方程的解為由歸一化條件可知解得故在阱內(nèi)的波函數(shù)為粒子的能量波函數(shù)的兩個表達式還可統(tǒng)一為一個表達式書中例題與習題的不同是將坐標原點取在勢阱的左邊界上，其解為因此只要作坐標平移代換，將坐標原點移到勢阱中心，立即可得到習題的結(jié)果。4帶電荷q的一維諧振子在外電場E作用下運動，試證明粒子的能量和波函數(shù)分別為證明：勢函數(shù)與時間無關(guān)，是定態(tài)問題。定態(tài)薛定諤方程為上式可改寫為即作代換，則方程化為標準的一維諧振子方程其解為能量為代換回去得能量波函數(shù)我們看一下諧振子所受的力由F=0可知諧振子的平衡點不再是而是平移到作代換，無非是將坐標原點移到新的平衡點，移到新的平衡點后，與標準諧振子的力函數(shù)表達式完全相同。5有一維勢壘如下圖所示，自由粒子沿方向向勢壘運動，求粒子的透射系數(shù)D。提示：寫出表達式；令，解出積分限b；利用（2-104）式得D，并注意簡化運算。U0U(x)0axbE解：由可得故6粒子在三維無限深勢阱中運動，求粒子的波函數(shù)和能量。解：勢能不含時間是定態(tài)問題。在阱外，波函數(shù)在阱內(nèi)，波函數(shù)滿足定態(tài)薛定諤方程令，則方程可化為標準形式令代入方程有除以XYZ，可得要使上式成立，必然有即由波函數(shù)的連續(xù)性可知在邊界上由方程和邊界條件可得由歸一化條件可得；或波函數(shù) 能量第四章1試證為和的共同本征函數(shù)，并求出相應的本征值。證明： 滿足的本征方程，是的本征函數(shù)，本征值是。 滿足的本征方程，也是的本征函數(shù)，本征值是。故為和的共同本征函數(shù)。2設(shè)粒子在被限制在半徑為的球內(nèi)運動，其勢能函數(shù)為求粒子角動量為零時的波函數(shù)和能量。提示：利用（4-50）式，注意到，令。解：在球外，波函數(shù)在球內(nèi)，波函數(shù)滿足定態(tài)薛定諤方程因角動量為零，即，方程變?yōu)槌Ｎ⒎址匠躺鲜娇筛膶憺榱睿氲眠M一步改寫為令，代入得標準二階常微分方程方程的通解為在球心，由波函數(shù)有限性可知（注意），即得在邊界上，由波函數(shù)連續(xù)性可知 即得波函數(shù)由歸一化條件可得波函數(shù)能量 在球心處，波函數(shù)3氫原子處于基態(tài)，求電子出現(xiàn)在距離氫核二倍玻爾軌道半徑以外的幾率。解： 4分別求出氫原子處于2s態(tài)和2p態(tài)時,電子徑向分布幾率取最大值時的r值。這兩個r值是否等于相應的波爾軌道半徑?解：2s態(tài)徑向分布幾率 令 即 得因所以、和不是最大點。因和是極大值點，但，所以是最大值點。5求出氫原子p態(tài)電子（l=1）當m=1時的角分布幾率，所得結(jié)果與舊量子論關(guān)于電子沿確定軌道運動的概念是否一致？解： 若電子沿確定軌道運動，即沿確定空間曲線運動，則電子只應出現(xiàn)在該曲線上。但上式表明角分布幾率與無關(guān)，電子不是分布在曲線上，而是分布在空間一個相當寬的區(qū)域。故電子不是沿確定軌道運動，與舊量子論概念不一致。第五章1. 一維非線性諧振子處于勢場，求該非線性諧振子基態(tài)的一級近似能量。解：無微擾項為線性諧振子，其基態(tài)波函數(shù)微擾項 基態(tài)的一級近似能量 因被積函數(shù)是奇函數(shù)，第一項積分因被積函數(shù)是偶函數(shù)，第二項積分即3. 有兩個諧振子組成的耦合諧振子，其能量算符式中為兩諧振子的相互作用能量，可視為。試證：（1）此耦合諧振子的零級近似能量（2）此耦合諧振子第一激發(fā)態(tài)（N = 1）能量的一級修正證明：（1） 微擾項 無微擾項 無微擾時的定態(tài)薛定諤方程因算符僅與x1有關(guān)、僅與x2有關(guān)，可分離變量，令則前述方程可分離為兩個獨立的方程 每一個獨立的方程描述了一獨立的一維諧振子，其能量 總能量（2）N =1時，耦合諧振子有兩種狀態(tài)，即諧振子1處于第一激發(fā)態(tài)，諧振子2處于基態(tài)諧振子2處于第一激發(fā)態(tài)，諧振子1處于基態(tài)兩種狀態(tài)具有同樣的能量，是簡并的。微擾矩陣元 由于被積函數(shù)是奇函數(shù)，在對稱區(qū)間上積分為0，故 同理 積分 故 同理 代入久期方程有即 解得 5一體系的能級為二度兼并，對應的本征函數(shù)為、，試證此體系有微擾作用時，體系能量的一級修正并寫出各的表達式。證明：由久期方程