2013高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料.doc

1.分類討論的常見情形（1）由數(shù)學(xué)概念引起的分類討論：主要是指有的概念本身是分類的，在不同條件下有不同結(jié)論，則必須進(jìn)行分類討論求解，如絕對(duì)值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等.（2）由性質(zhì)、定理、公式引起的分類討論：有的數(shù)學(xué)定理、公式、性質(zhì)是分類給出的，在不同條件下結(jié)論不一致，如二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)，由a的正負(fù)而導(dǎo)致開口方向不確定，等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式因公比q是否為1而導(dǎo)致公式的表達(dá)式不確定等.（3）由某些數(shù)學(xué)式子變形引起的分類討論：有的數(shù)學(xué)式子本身是分類給出的，如ax2+bx+c0，a=0，a0，a0解法是不同的.（4）由圖形引起的分類討論：有的圖形的類型、位置也要分類，如角的終邊所在象限，點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系等.（5）由實(shí)際意義引起的討論：此類問題在應(yīng)用題中常見.（6）由參數(shù)變化引起的討論：所解問題含有參數(shù)時(shí)，必須對(duì)參數(shù)的不同取值進(jìn)行分類討論；含有參數(shù)的數(shù)學(xué)問題中，參變量的不同取值，使得變形受限導(dǎo)致不同的結(jié)果.2.分類的原則（1）每次分類的對(duì)象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是同一的；分類討論問題的難點(diǎn)在于什么時(shí)候開始討論，即認(rèn)識(shí)為什么要分類討論，又從幾方面開始討論，只有明確了討論原因，才能準(zhǔn)確、恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行分類與討論.這就要求我們準(zhǔn)確掌握所用的概念、定理、定義，考慮問題要全面.函數(shù)問題中的定義域，方程問題中根之間的大小，直線與二次曲線位置關(guān)系中的判別式等等，常常是分類討論劃分的依據(jù).（2）每次分類的對(duì)象不遺漏、不重復(fù)、分層次、不越級(jí)討論.當(dāng)問題中出現(xiàn)多個(gè)不確定因素時(shí)，要以起主導(dǎo)作用的因素進(jìn)行劃分，做到不重不漏，然后對(duì)劃分的每一類分別求解，再整合后得到一個(gè)完整的答案.數(shù)形結(jié)合是簡(jiǎn)化分類討論的重要方法.3.分類討論的一般步驟第一，明確討論對(duì)象，確定對(duì)象的范圍；第二，確定分類標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行合理分類，做到不重不漏；第三，逐類討論，獲得階段性結(jié)果；第四，歸納總結(jié)，得出結(jié)論.4.分類討論應(yīng)注意的問題第一，按主元分類的結(jié)果應(yīng)求并集.第二，按參數(shù)分類的結(jié)果要分類給出.第三，分類討論是一種重要的解題策略，但這種分類討論的方法有時(shí)比較繁雜，若有可能，應(yīng)盡量避免分類.類型一：不等式中的字母討論1、解關(guān)于的不等式：.思路點(diǎn)撥：依據(jù)式子的特點(diǎn)，此題應(yīng)先按對(duì)最高次項(xiàng)的系數(shù)是否為0來(lái)分類，然后對(duì)式子分解因式，并按兩個(gè)根之間的大小關(guān)系來(lái)分類討論.而對(duì)于與時(shí)，先寫簡(jiǎn)單好作的.解析：（1）當(dāng)時(shí)，原不等式化為一次不等式：，；（2）當(dāng)時(shí)，原不等式變?yōu)椋海?若，則原不等式化為 ，不等式解為或， 若，則原不等式化為， （）當(dāng)時(shí)，不等式解為， （）當(dāng)時(shí)，不等式解為； （）當(dāng)時(shí)，不等式解為， 綜上所述，原不等式的解集為： 當(dāng)時(shí)，解集為； 當(dāng)時(shí)，解集為x|x1； 當(dāng)時(shí)，解集為； 當(dāng)時(shí)，解集為； 當(dāng)時(shí)，解集為.總結(jié)升華：1. 對(duì)于分類討論的解題程序可大致分為以下幾個(gè)步驟:（1）明確討論的對(duì)象，確定對(duì)象的全體，確定分類標(biāo)準(zhǔn)，正確分類，不重不漏；（2）逐步進(jìn)行討論，獲得結(jié)段性結(jié)論；（3）歸納總結(jié)，綜合結(jié)論.2一般分類討論問題的原則為: 按誰(shuí)礙事就分誰(shuí).不等式中的字母討論標(biāo)準(zhǔn)有：最高次項(xiàng)的系數(shù)能否為0，不等式對(duì)應(yīng)的根的大小關(guān)系，有沒有根（判別式）等.3字母討論一般按從易到難，從等到不等的順序進(jìn)行.舉一反三：【變式1】解關(guān)于的不等式:（）.解析：原不等式可分解因式為: ，（下面按兩個(gè)根與的大小關(guān)系分類）（1）當(dāng)，即或時(shí)，不等式為或，不等式的解集為：；（2）當(dāng)，即時(shí)，不等式的解集為：；（3）當(dāng)，即或時(shí)，不等式的解集為：；綜上所述，原不等式的解集為：當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，.【變式2】解關(guān)于的不等式:.解析：（1）當(dāng)時(shí)，不等式為, 解集為；（2）當(dāng)時(shí)，需要對(duì)方程的根的情況進(jìn)行討論： 即時(shí)，方程有兩根 . 則原不等式的解為. 即時(shí)，方程沒有實(shí)根， 此時(shí)為開口向上的拋物線，故原不等式的解為. 即時(shí)，方程有兩相等實(shí)根為， 則原不等式的解為.（3）當(dāng)時(shí)，恒成立， 即時(shí)，方程有兩根 . 此時(shí)，為開口向下的拋物線， 故原不等式的解集為.綜上所述，原不等式的解集為：當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為 ；當(dāng)時(shí)，解集為. 類型二：函數(shù)中的分類討論2、設(shè)為實(shí)數(shù)，記函數(shù)的最大值為，（）設(shè)，求的取值范圍，并把表示為的函數(shù)；（）求；（）試求滿足的所有實(shí)數(shù).解析：（I）， 要使有意義，必須且，即 ，且 的取值范圍是 ， 由得：， ，（II）由題意知即為函數(shù)，的最大值，時(shí)，直線是拋物線的對(duì)稱軸，可分以下幾種情況進(jìn)行討論：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，的圖象是開口向上的拋物線的一段， 由知在上單調(diào)遞增，故；（2）當(dāng)時(shí)，有=2；（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，的圖象是開口向下的拋物線的一段， 若即時(shí)， 若即時(shí)， 若即時(shí)，綜上所述，有=（III）當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)， ， 故當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，由知：，故； 當(dāng)時(shí)，故或，從而有或， 要使，必須有，即， 此時(shí)，綜上所述，滿足的所有實(shí)數(shù)為：或.舉一反三：【變式1】函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(-1，3)，且f(x)在(-1，+)上恒有f(x)3，求函數(shù)f(x).解析：f(x)圖象經(jīng)過點(diǎn)(-1，3)，則，整理得：，解得或(1)當(dāng)時(shí)，則，此時(shí)x(-1，+)時(shí)，f(x)3，不滿足題意；(2)當(dāng)，則，此時(shí)，x(-1，+)時(shí)，即f(x)3，滿足題意為所求.綜上，.【變式2】已知函數(shù)有最大值2，求實(shí)數(shù)的取值.解析：令，則().(1)當(dāng)即時(shí)， 解得:或（舍）；(2)當(dāng)即時(shí)，, 解得:或（舍）；(3)當(dāng)即時(shí)，解得（全都舍去）.綜上，當(dāng)或時(shí)，能使函數(shù)的最大值為2.3、已知函數(shù)（）.（1）討論的單調(diào)性；（2）求在區(qū)間上的最小值.解析：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+） 對(duì)求導(dǎo)數(shù)，得 解不等式，得0xe 解不等式，得xe 故在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，+）上單調(diào)遞減（2）當(dāng)2ae時(shí)，即時(shí)，由（1）知在（0，e）上單調(diào)遞增， 所以 當(dāng)ae時(shí)，由（1）知在（e，+）上單調(diào)遞減， 所以 當(dāng)時(shí)，需比較與的大小 因?yàn)?所以，若，則，此時(shí) 若2ae，則，此時(shí) 綜上，當(dāng)0a2時(shí)，；當(dāng)a2時(shí)總結(jié)升華：對(duì)于函數(shù)問題，定義域要首先考慮，而（）中比較大小時(shí)，作差應(yīng)該是非常有效的方法.舉一反三：【變式1】設(shè)，（1）利用函數(shù)單調(diào)性的意義，判斷f(x)在（0，+）上的單調(diào)性；（2）記f(x)在0x1上的最小值為g(a)，求y=g(a)的解析式.解析：（1）設(shè)0x1x2+ 則f(x2)-f(x1)= 由題設(shè)x2-x10，ax1x20 當(dāng)0x1x2時(shí)，f(x2)-f(x1)0， 即f(x2)f(x1)，則f(x)在區(qū)間0，單調(diào)遞減， 當(dāng)x1x2+時(shí)，f(x2)-f(x1)0， 即f(x2)f(x1)，則f(x)在區(qū)間（，+）單調(diào)遞增.（2）因?yàn)?x1，由（1）的結(jié)論， 當(dāng)01即a1時(shí)，g(a)=f()=2-; 當(dāng)1，即0a1時(shí)，g(a)=f(1)=a 綜上，所求的函數(shù)y=g(a).【變式2】求函數(shù)在上的值域.解析： 令，則 (1)當(dāng)0a1時(shí)， 0xa，f(x)0(只有a=1且x=1時(shí)f(x)=0) f(x)在0,a上單增，從而，值域?yàn)椋?(2)當(dāng)a1時(shí)， 0xa，f(x)在單增，在上單減， 并且，值域?yàn)椋?(3)當(dāng)-1a0時(shí)， 0x|a|，f(x)在0,|a|上遞減 從而即，值域?yàn)?(4)當(dāng)a-1時(shí)， 0x|a|，f(x)在單減，在上單增， ，又， ，值域?yàn)?類型三：數(shù)列4、數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知Sn是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，試比較與的大小，并證明你的結(jié)論.解析：設(shè)等比數(shù)列Sn的公比為q，則q0q=1時(shí)，Sn=S1=a1當(dāng)n=1時(shí)，a2=0，即當(dāng)n2時(shí)，an=Sn-Sn-1=a1-a1=0，即q1時(shí)，Sn=S1qn-1=a1qn-1當(dāng)n=1時(shí)，即.當(dāng)n2時(shí)，an=Sn-Sn-1=a1qn-1-a1qn-2=a1qn-2(q-1)此時(shí)q1時(shí)，0q1時(shí)，.總結(jié)升華：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式分q=1或q1兩種情況進(jìn)行討論.舉一反三：【變式1】求數(shù)列：1，a+a2,a2+a3+a4,a3+a4+a5+a6,（其中a0）的前n項(xiàng)和Sn.解析：數(shù)列的通項(xiàng) an=an-1+an+a2n-2討論：（1）當(dāng)a=1時(shí)，an=n，Sn=1+2+n=（2）當(dāng)a=-1時(shí)，（3）當(dāng)a1且a0時(shí)， .【變式2】設(shè)an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，證明:.解析：（1）當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1，從而，（2）當(dāng)q1時(shí)， 從而 由（1）（2）得:. 函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù). .【變式3】已知an是公比為q的等比數(shù)列，且a1，a3，a2成等差數(shù)列.()求q的值；()設(shè)bn是以2為首項(xiàng)，q為公差的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)n2時(shí)，比較Sn與bn的大小，并說(shuō)明理由.解析：()由題設(shè)2a3=a1+a2，即2a1q2=a1+a1q,a10，2q2-q-1=0，或，()若q=1，則當(dāng)n2時(shí)，若當(dāng)n2時(shí)， 故對(duì)于nN+，當(dāng)2n9時(shí)，Snbn；當(dāng)n=10時(shí)，Sn=bn；當(dāng)n11時(shí)，Snbn.【變式4】對(duì)于數(shù)列，規(guī)定數(shù)列為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中；一般地，規(guī)定為的k階差分?jǐn)?shù)列，其中且kN*，k2。（1）已知數(shù)列的通項(xiàng)公式。試證明是等差數(shù)列；（2）若數(shù)列的首項(xiàng)a1=13，且滿足，求數(shù)列 及的通項(xiàng)公式；（3）在（2）的條件下，判斷是否存在最小值；若存在，求出其最小值，若不存在，說(shuō)明理由。解析：（1）依題意：， ， 數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為5的等差數(shù)列。（2），（3）令， 則當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增； 又因， 而， 所以當(dāng)n=2時(shí)，數(shù)列an存在最小值，其最小值為18。類型四：解析幾何5、已知橢圓C的方程為，點(diǎn)P（a,b）的坐標(biāo)滿足，過點(diǎn)P的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段AB的中點(diǎn)，求：（1）點(diǎn)Q的軌跡方程.（2）點(diǎn)Q的軌跡與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù).思路點(diǎn)撥：本題求點(diǎn)的軌跡方程，點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系，直線與橢圓相交等知識(shí).解析：（1）設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)為（x1，y1），（x2，y2），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q（x,y）. 當(dāng)x1x2時(shí)，可設(shè)直線l：y=k(x-a)+b 由已知， y1=k(x1-a)+b,y2=k(x2-a)+b 由得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0 由得y1+y2=k(x1+x2)-2ak+2b 由、及，得 點(diǎn)Q的坐標(biāo)滿足方程2x2+y2-2ax-by=0 當(dāng)x1=x2時(shí)，l平行于y軸， 因此AB的中點(diǎn)Q一定落在x軸上，即Q的坐標(biāo)為（a,0）， 顯然Q點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程. 綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)滿足方程：2x2+y2-2ax-by=0. 設(shè)方程所表示的曲線為L(zhǎng)， 則由，得（2a2+b2）x2-4ax+2-b2=0 由于=8b2(a2+-1)，由已知a2+1 所以當(dāng)a2+=1時(shí)，=0， 曲線L與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P（a,b）. 當(dāng)a2+1時(shí)0，曲線L與橢圓無(wú)交點(diǎn)， 而因?yàn)椋?，0）在橢圓C內(nèi)，又在曲線L上， 所以曲線L在橢圓C內(nèi). 故點(diǎn)Q的軌跡方程為2x2+y2-2ax-by=0.（2）由，解得或， 又由，解得或， 則當(dāng)a=0,b=0,即點(diǎn)P(a,b)為原點(diǎn). 曲線L與坐標(biāo)軸只有一個(gè)交點(diǎn)(0,0) 當(dāng)a=0且0|b|時(shí), 即點(diǎn)P(a,b)不在橢圓C外且在除去原點(diǎn)的y軸上時(shí), 點(diǎn)(a,0)與(0,0)重合，曲線L與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)(0,b)與(0,0) 當(dāng)b=0且0|a|1時(shí)， 即點(diǎn)P(a,b)不在橢圓C外且在除去原點(diǎn)的x軸上時(shí), 曲線L與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)(a,0)與(0,0). 當(dāng)0|a|1且0|b|時(shí), 即點(diǎn)P(a,b)在橢圓C內(nèi)且不在坐標(biāo)軸上時(shí), 曲線L與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)(a,0),(0,b)與(0,0).總結(jié)升華：本題充分運(yùn)用了分類討論的思想方法,以及綜合運(yùn)用知識(shí)解題的能力,此題運(yùn)算量大,涉及知識(shí)點(diǎn)較多,需要較高的運(yùn)算能力和邏輯推理能力,做為考題區(qū)分度好,特別是分類討論時(shí)易出錯(cuò).舉一反三：【變式1】討論k的取值，說(shuō)明方程表示的曲線.解析：方程中x、y的平方項(xiàng)系數(shù)是否為0，是否相等決定著方程表示的曲線，故需要對(duì)k值就以上情況分類討論.當(dāng)k2=0即k=0時(shí)，方程化為，表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，x軸為對(duì)稱軸，開口向左的拋物線.當(dāng)2k-1=0即時(shí)，方程化為x(x-8)=0x=0或x=8，表示y軸和過點(diǎn)(8，0) 斜率不存在的兩平行直線.當(dāng)k2=2k-1,即k=1時(shí)，方程化為，表示以(1，0)為圓心，半徑為1的圓 當(dāng)k0，k1時(shí)方程可化為當(dāng)方程表示焦點(diǎn)在平行y軸直線上，中心在的橢圓當(dāng)時(shí)，方程表示以為中心，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線.【變式2】已知圓x2+y2=1和雙曲線(x-1)2-y2=1，直線l與雙曲線交于不同兩點(diǎn)A、B，且線段AB的中點(diǎn)恰是l與圓相切的切點(diǎn)，求直線l的方程.解析：當(dāng)l斜率不存在時(shí)，由對(duì)稱性可知：l方程為x=-1當(dāng)l斜率存在時(shí)設(shè)l方程為y=kx+b由l與圓相切l(wèi)方程代入雙曲線整理得(1-k2)x2-2(kb+1)x-b2=0 (1-k20)，0設(shè)A(x1，y1)，B(x2,y2)，AB中點(diǎn)為M，由ABOM，整理得k2+1+2kb=0將k2+1=b2代入b2+2bk=0,b(b+2k)=0b0，否則l過原點(diǎn)與圓不相切b=-2k，解方程組得經(jīng)檢驗(yàn)0l的方程為x=-1或.高考沖刺：數(shù)形結(jié)合編稿：林景飛 審稿：張揚(yáng) 責(zé)編：嚴(yán)春梅熱點(diǎn)分析高考動(dòng)向數(shù)形結(jié)合應(yīng)用廣泛，不僅在解答選擇題、填空題中顯示出它的優(yōu)越性，而且在解決一些抽象數(shù)學(xué)問題中常起到事半功倍的效果。高考中利用數(shù)形結(jié)合的思想在解決選、填題中十分方便，而在解答題中書寫應(yīng)以代數(shù)推理論證為主，幾何方法可作為思考的方法。數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”，但“以數(shù)解形”在近年高考試題中也得到了加強(qiáng)，其發(fā)展趨勢(shì)不容忽視。歷年的高考都有關(guān)于數(shù)形結(jié)合思想方法的考查，且占比例較大。知識(shí)升華數(shù)形結(jié)合是通過“以形助數(shù)”（將所研究的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為研究其對(duì)應(yīng)的幾何圖形）或“以數(shù)助形”（借助數(shù)的精確性來(lái)闡明形的某種屬性），把抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)思考，也就是將抽象思維與形象思維有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，是解決問題的一種數(shù)學(xué)思想方法。它能使抽象問題具體化，復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，在數(shù)學(xué)解題中具有極為獨(dú)特的策略指導(dǎo)與調(diào)節(jié)作用。具體地說(shuō)，數(shù)形結(jié)合的基本思路是：根據(jù)數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造出與之相應(yīng)的幾何圖形，并利用圖形的特性和規(guī)律，解決數(shù)的問題；或?qū)D形信息全部轉(zhuǎn)化成代數(shù)信息，使解決形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的討論。選擇題，填空題等客觀性題型，由于不要求解答過程，就某些題目而言，這給學(xué)生創(chuàng)造了靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，尋找快速思路的空間。但在解答題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想時(shí)，要注意輔之以嚴(yán)格的邏輯推理，“形”上的直觀是不夠嚴(yán)密的。1高考試題對(duì)數(shù)形結(jié)合的考查主要涉及的幾個(gè)方面：（1）集合問題中Venn圖（韋恩圖）的運(yùn)用；（2）數(shù)軸及直角坐標(biāo)系的廣泛應(yīng)用；（3）函數(shù)圖象的應(yīng)用；（4）數(shù)學(xué)概念及數(shù)學(xué)表達(dá)式幾何意義的應(yīng)用；（5）解析幾何、立體幾何中的數(shù)形結(jié)合。2運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題時(shí)，要遵循三個(gè)原則：（1）等價(jià)性原則。要注意由于圖象不能精確刻畫數(shù)量關(guān)系所帶來(lái)的負(fù)面效應(yīng)；（2）雙方性原則。既要進(jìn)行幾何直觀分析，又要進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)抽象探求，僅對(duì)代數(shù)問題進(jìn)行幾何分 析容易出錯(cuò)；（3）簡(jiǎn)單性原則。不要為了“數(shù)形結(jié)合”而數(shù)形結(jié)合，具體運(yùn)用時(shí)，一要考慮是否可行和是否有利； 二要選擇好突破口，恰當(dāng)設(shè)參、用參、建立關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化；三要挖掘隱含條件，準(zhǔn)確界定參變 量的取值范圍，特別是運(yùn)用函數(shù)圖象時(shí)應(yīng)設(shè)法選擇動(dòng)直線與定二次曲線為佳。3進(jìn)行數(shù)形結(jié)合的信息轉(zhuǎn)換，主要有三個(gè)途徑：（1）建立坐標(biāo)系，引入?yún)⒆償?shù)，化靜為動(dòng)，以動(dòng)求解，如解析幾何；（2）構(gòu)造成轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)模型，利用函數(shù)圖象求解；（3）構(gòu)造成轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何模型，利用圖形特征求解。4常見的“以形助數(shù)”的方法有：(1)借助于數(shù)軸、文氏圖，樹狀圖，單位圓；(2)借助于函數(shù)圖象、區(qū)域(如線性規(guī)劃)、向量本身的幾何背景；(3)借助于方程的曲線，由方程代數(shù)式，聯(lián)想其幾何背景，并用幾何知識(shí)解決問題，如點(diǎn)，直線，斜 率，距離，圓及其他曲線，直線和曲線的位置關(guān)系等，對(duì)解決代數(shù)問題都有重要作用，應(yīng)充分予以 重視。5常見的把數(shù)作為手段的數(shù)形結(jié)合：主要體現(xiàn)在解析幾何中，歷年高考的解答題都有這方面的考查.經(jīng)典例題透析類型一：利用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)問題1已知，若的最小值記為，寫出的表達(dá)式。思路點(diǎn)撥：依據(jù)函數(shù)的對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，結(jié)合函數(shù)圖象確定在上的增減情況，進(jìn)而可以明確在何處取最小值。解析：由于，所以拋物線的對(duì)稱軸為，開口向上，當(dāng)，即時(shí)，在t，t+1上單調(diào)遞增（如圖所示），當(dāng)x=t時(shí)，最小，即。當(dāng)，即時(shí)，在上遞減，在上遞增（如圖）。當(dāng)時(shí)，最小，即。當(dāng)，即時(shí)，在t，t+1上單調(diào)遞減（如圖）。當(dāng)x=t+1時(shí)，最小，即， 圖 圖 圖綜合得?？偨Y(jié)升華：通過二次函數(shù)的圖象確定解題思路，直觀、清晰，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性。應(yīng)特別注意，對(duì)于二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，應(yīng)抓住對(duì)稱軸與所給區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系進(jìn)行討論解決。首先確定其對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，結(jié)合函數(shù)圖象確定在閉區(qū)間上的增減情況，然后再確定在何處取最值。舉一反三：【變式1】已知函數(shù)在0x1時(shí)有最大值2，求a的值。解析：，拋物線的開口向下，對(duì)稱軸是，如圖所示： （1） （2） （3）（1）當(dāng)a0時(shí)，如圖（1）所示， 當(dāng)x=0時(shí)，y有最大值，即。 1a=2。即a=1，適合a0。（2）當(dāng)0a1時(shí)，如圖（2）所示， 當(dāng)x=a時(shí)，y有最大值，即。 a2a+1=2，解得。 0a1，不合題意。（3）當(dāng)a1時(shí)，如圖（3）所示。 當(dāng)x=1時(shí)，y有最大值，即。a=2。綜合（1）（2）（3）可知，a的值是1或2【變式2】已知函數(shù)。（）寫出的單調(diào)區(qū)間；（）設(shè)，求在0，a上的最大值。解析：如圖：（1）的單調(diào)增區(qū)間：，；單調(diào)減區(qū)間：（1，2）（2）當(dāng)a1時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)，?！咀兪?】已知()(1)若，在上的最大值為，最小值為，求證：；(2)當(dāng)，時(shí)，對(duì)于給定的負(fù)數(shù)，有一個(gè)最大的正數(shù)，使得x0, 時(shí)，都有 |f(x)|5，問a為何值時(shí)，M(a)最大？并求出這個(gè)最大值。解析：(1)若a=0，則c=0，f(x)=2bx 當(dāng)-2x2時(shí)，f(x)的最大值與最小值一定互為相反數(shù)，與題意不符合，a0； 若a0，假設(shè)， 區(qū)間-2,2在對(duì)稱軸的左外側(cè)或右外側(cè)， f(x)在-2，2上是單調(diào)函數(shù)， （這是不可能的） (2)當(dāng)，時(shí)， ，所以， （圖1） （圖2） (1)當(dāng)即，時(shí)（如圖1），則所以是方程的較小根，即 (2)當(dāng)即，時(shí)（如圖2），則所以是方程的較大根，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立），由于，因此當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值類型二：利用數(shù)形結(jié)合思想解決方程中的參數(shù)問題2若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。思路點(diǎn)撥：將方程的左右兩邊分別看作兩個(gè)函數(shù)，畫出函數(shù)的圖象，借助圖象間的關(guān)系后求解，可簡(jiǎn)化運(yùn)算。解析：畫出和的圖象，當(dāng)直線過點(diǎn)，即時(shí)，兩圖象有兩個(gè)交點(diǎn)。又由當(dāng)曲線與曲線相切時(shí)，二者只有一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)，則，即，解得切點(diǎn)，又直線過切點(diǎn)，得，當(dāng)時(shí)，兩函數(shù)圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)不等實(shí)根。誤區(qū)警示：作圖時(shí)，圖形的相對(duì)位置關(guān)系不準(zhǔn)確，易造成結(jié)果錯(cuò)誤?？偨Y(jié)升華：1解決這類問題時(shí)要準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖象，注意函數(shù)的定義域。2用圖象法討論方程（特別是含參數(shù)的方程）解的個(gè)數(shù)是一種行之有效的方法，值得注意的是首先把 方程兩邊的代數(shù)式看作是兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式（有時(shí)可能先作適當(dāng)調(diào)整，以便于作圖），然后作出兩 個(gè)函數(shù)的圖象，由圖求解。3在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析問題和解決問題時(shí)，需做到以下四點(diǎn)： 要準(zhǔn)確理解一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征； 要恰當(dāng)設(shè)參，合理用參，建立關(guān)系，做好轉(zhuǎn)化； 要正確確定參數(shù)的取值范圍，以防重復(fù)和遺漏； 精心聯(lián)想“數(shù)”與“形”，使一些較難解決的代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化,便于問題求解。舉一反三：【變式1】若關(guān)于x的方程在（1，1）內(nèi)有1個(gè)實(shí)根，則k的取值范圍是 。解析：把方程左、右兩側(cè)看作兩個(gè)函數(shù)，利用函數(shù)圖象公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來(lái)確定方程根的個(gè)數(shù)。設(shè)（x1，1）如圖：當(dāng)或時(shí)，關(guān)于x的方程在（1，1）內(nèi)有1個(gè)實(shí)根。【變式2】若02，且方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍及這兩個(gè)實(shí)根的和。解析：將原方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的圖象與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)，求a的范圍及+的值。設(shè)，在同一坐標(biāo)中作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象由圖可知，當(dāng)或時(shí)，y1與y2的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，即對(duì)應(yīng)方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，若，設(shè)原方程的一個(gè)根為，則另一個(gè)根為.若，設(shè)原方程的一個(gè)根為，則另一個(gè)根為，. 所以這兩個(gè)實(shí)根的和為或.且由對(duì)稱性可知，這兩個(gè)實(shí)根的和為或。類型三：依據(jù)式子的結(jié)構(gòu)，賦予式子恰當(dāng)?shù)膸缀我饬x，數(shù)形結(jié)合解答3求函數(shù)的最大值和最小值思路點(diǎn)撥：可變形為，故可看作是兩點(diǎn)和的連線斜率的倍，只需求出范圍即可；也可以利用三角函數(shù)的有界性，反解求解。方法一：數(shù)形結(jié)合可看作是單位圓上的動(dòng)點(diǎn)，為圓外一點(diǎn)，如圖，由圖可知：，顯然，設(shè)直線的方程：，解得，方法二：令，總結(jié)升華：一些代數(shù)式所表示的幾何意義往往是解題的關(guān)鍵，故要熟練掌握一些代數(shù)式的幾何意義：（1）表示動(dòng)點(diǎn)（x，y）與定點(diǎn)（a，b）兩點(diǎn)間的距離；（2）表示動(dòng)點(diǎn)（x，y）與定點(diǎn)（a，b）兩點(diǎn)連線的斜率；（3）求ax+by的最值，就是求直線ax+by=t在y軸上的截距的最值。舉一反三：【變式1】已知圓C：(x+2)2+y2=1，P（x，y）為圓C上任一點(diǎn)。（1）求的最大、最小值；（2）求的最大、最小值；（3）求x2y的最大、最小值。解析：聯(lián)想所求代數(shù)式的幾何意義，再畫出草圖，結(jié)合圖象求解。（1）表示點(diǎn)（x，y）與原點(diǎn)的距離， 由題意知P（x，y）在圓C上，又C（2，0），半徑r=1。 |OC|=2。 的最大值為2+r=2+1=3， 的最小值為2r=21=1。（2）表示點(diǎn)（x，y）與定點(diǎn)（1，2）兩點(diǎn)連線的斜率， 設(shè)Q（1，2），過Q點(diǎn)作圓C的兩條切線，如圖： 將整理得kxy+2k=0。 ，解得， 所以的最大值為，最小值為。（3）令x2y=u，則可視為一組平行線系， 當(dāng)直線與圓C有公共點(diǎn)時(shí)，可求得u的范圍， 最值必在直線與圓C相切時(shí)取得。這時(shí)， 。 x2y的最大值為，最小值為?！咀兪?】求函數(shù)的最小值。解析：則y看作點(diǎn)P（x，0）到點(diǎn)A（1，1）與B（3，2）距離之和如圖，點(diǎn)A（1，1）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A（1，1），則即為P到A，B距離之和的最小值，【變式3】若方程x2+(1+a)x+1+a+b=0的兩根分別為橢圓、雙曲線的離心率，則的取值范圍是（ ）A B或 C D或解析：如圖由題知方程的根，一個(gè)在（0，1）之間，一個(gè)在（1，2）之間，則 ，即下面利用線性規(guī)劃的知識(shí)，則可看作可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)O（0，0）連線的斜率則 ，選C。高考沖刺：轉(zhuǎn)化與化歸思想編稿：林景飛 審稿：張揚(yáng) 責(zé)編：嚴(yán)春梅熱點(diǎn)分析高考動(dòng)向轉(zhuǎn)化與化歸思想在高考中占有相當(dāng)重要的地位，可以說(shuō)比比皆是，如未知向已知的轉(zhuǎn)化、新知識(shí)向舊知識(shí)的轉(zhuǎn)化、復(fù)雜問題向簡(jiǎn)單問題的轉(zhuǎn)化、不同數(shù)學(xué)問題之間的互相轉(zhuǎn)化、實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化等等.各種變換、具體解題方法都是轉(zhuǎn)化的手段，轉(zhuǎn)化的思想方法滲透到所有的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容和解題過程中.知識(shí)升華轉(zhuǎn)化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時(shí)采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而得到解決的一種方法.一般總是將復(fù)雜的問題通過變換轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題，將難解的問題通過變換轉(zhuǎn)化為容易求解的問題，將未解決的問題變換轉(zhuǎn)化為已解決的問題.解題的過程就是“化歸”的過程，不斷地改變待解決的問題，重新敘述它，變換它，直到最后成功地找到某些有用的東西為止.1轉(zhuǎn)化與化歸應(yīng)遵循的原則（1）熟悉化原則：將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，以利于我們運(yùn)用熟知的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和方法來(lái)解決.（2）簡(jiǎn)單化原則：將復(fù)雜問題化歸為簡(jiǎn)單問題，通過對(duì)簡(jiǎn)單問題的解決，達(dá)到解決復(fù)雜問題的目的， 或獲得某種解題的啟示和依據(jù).（3）和諧化原則：化歸問題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所呈現(xiàn)的和諧統(tǒng)一的形 式，或者轉(zhuǎn)化命題，使其有利于運(yùn)用某種數(shù)學(xué)方法或符合人們的思維規(guī)律.（4）直觀化原則：將比較抽象的問題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題來(lái)解決.（5）正難則反原則：當(dāng)問題正面討論遇到困難時(shí)，可考慮問題的反面，設(shè)法從問題的反面去探求，使 問題獲解.2轉(zhuǎn)化與化歸的基本類型（1）正與反、一般與特殊的轉(zhuǎn)化，即正難則反，特殊化原則.（2）常量與變量的變化，即在處理多元問題時(shí)，選取其中的變量（或參數(shù)）當(dāng)“主元”，其他的變量 看作常量.（3）數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，即利用對(duì)數(shù)量關(guān)系的討論來(lái)研究圖形性質(zhì)，也可利用圖形直觀提供思路，直觀地 反映函數(shù)或方程中的變量之間的關(guān)系.（4）數(shù)學(xué)各分支之間的轉(zhuǎn)化，如利用向量方法解立體幾何問題，用解析幾何方法處理平面幾何、代 數(shù)、三角問題等.（5）相等與不等之間的轉(zhuǎn)化，如利用均值不等式、判別式等.（6）實(shí)際問題與數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化.3常見的轉(zhuǎn)化方法（1）直接轉(zhuǎn)化法：把原問題直接轉(zhuǎn)化為基本定理、基本公式或基本圖形問題.（2）換元法：運(yùn)用“換元”把超越式轉(zhuǎn)化為有理式或使整式降冪等，把較復(fù)雜的函數(shù)、方程、不等式 問題轉(zhuǎn)化為易于解決的基本問題.（3）數(shù)形結(jié)合法：研究原問題中數(shù)量關(guān)系（解析式）與空間形式（圖形）關(guān)系，通過互相變換、獲得 轉(zhuǎn)化途徑.（4）參數(shù)法：引進(jìn)參數(shù)，使原問題的變換具有靈活性，易于轉(zhuǎn)化.（5）構(gòu)造法：“構(gòu)造”一個(gè)合適的數(shù)學(xué)模型，把問題變?yōu)橐子诮鉀Q的問題.（6）坐標(biāo)法：以坐標(biāo)系為工具，用計(jì)算方法解決幾何問題.（7）類比法：運(yùn)用類比推理，猜測(cè)問題的結(jié)論.（8）特殊化方法：把原問題的形式向特殊化形式轉(zhuǎn)化，并證明特殊化后的結(jié)論適合原問題.（9）一般化方法：當(dāng)原問題是某個(gè)一般化形式問題的特殊形式且又較難解決時(shí)，可將問題通過一般化 的途徑進(jìn)行轉(zhuǎn)化.（10）等價(jià)問題法：把原問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)易于解決的等價(jià)命題，達(dá)到轉(zhuǎn)化目的.（11）加強(qiáng)命題法：在證明不等式時(shí)，原命題難以得證，往往把命題的結(jié)論加強(qiáng)，即把命題的結(jié)論加強(qiáng)為原命題的充分條件，反而能將原命題轉(zhuǎn)化為一個(gè)較易證明的命題，加強(qiáng)命題法是非等價(jià)轉(zhuǎn)化方法.（12）補(bǔ)集法：如果正面解決原問題有困難，可把原問題結(jié)果看作集合A，而把包含該問題的整體問題的結(jié)果類比為全集U，通過解決全集U及補(bǔ)集獲得原問題的解決.以上所列的一些方法是互相交叉的，不能截然分割.經(jīng)典例題透析類型一：常量與變量的轉(zhuǎn)化問題1已知二次方程ax2+2(2a1)x+4a7=0中的a為正整數(shù)，問a取何值時(shí)此方程至少有一個(gè)整數(shù)根.思路點(diǎn)撥：本題可以將原方程變?yōu)殛P(guān)于a的式子,根據(jù)a為正整數(shù)，得出x的取值，再代回去，求出a的值.解析：原方程即是(x2+4x+4)a=2x+7，x=2不是原方程的解，又a為正整數(shù)，解得3x1，又x是整數(shù)且x2，x=3，1，0，1，把它們分別代入原方程得，故當(dāng)a=1或a=5時(shí)，原方程至少有一個(gè)整數(shù)根.知識(shí)升華：解決本題易按求根公式，討論方程至少有一個(gè)整數(shù)根的條件，而無(wú)法進(jìn)行下去.將變量與參數(shù)變更關(guān)系，視a為主元，轉(zhuǎn)換思考的角度，使解法變得簡(jiǎn)易.舉一反三：【變式1】已知a0且a1，若關(guān)于x的方程loga(x-3)-loga(x+2)-loga(x-1)=1有實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解析：要使原方程有意義，需，解得x3.原方程化為：.x-3=a(x-1)(x+2)在區(qū)間(3, +)上有解，.問題轉(zhuǎn)化為求右端在(3, +)上的值域，即將a看作x的函數(shù)a(x).由，x3, x-30，.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).又x3時(shí)，a0, , 故a的取值范圍是.【變式2】設(shè)，若t2，2時(shí)，y0恒成立，求x的取值范圍.答案：類型二：等價(jià)轉(zhuǎn)化2已知函數(shù)的值域?yàn)?，4，求實(shí)數(shù)a、b的值.思路點(diǎn)撥：設(shè)，將所給函數(shù)看作關(guān)于x的方程.則由題意可知當(dāng)y1，4時(shí)，關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)解.解析：的定義域?yàn)镽，故可等價(jià)轉(zhuǎn)化為yx2ax+yb=0.令=a24y(yb)0，即4y24bya20，則由題意可知，不等式4y24bya20的解集為1，4.也就是1，4是關(guān)于y的方程4y24bya2=0的兩根.，a=4，b=3.所以所求實(shí)數(shù)a=4，b=3.總結(jié)升華：本題是利用函數(shù)、不等式與方程的關(guān)系一步一步地等價(jià)轉(zhuǎn)化使問題得以解決，常見的轉(zhuǎn)化類型有高次向低次的轉(zhuǎn)化，多元向一元的轉(zhuǎn)化，分式向整式的轉(zhuǎn)化，無(wú)理向有理的轉(zhuǎn)化，空間向平面的轉(zhuǎn)化等.舉一反三：【變式1】已知奇函數(shù)在定義域（1，1）上是減函數(shù)，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.答案：【變式2】若的圖象在（0，1）內(nèi)與x軸恰好有一個(gè)交點(diǎn)，則a的取值范圍為_.解析：的圖象是直線，在（0，1）內(nèi)與x軸恰有一個(gè)交點(diǎn)，則，則a3（當(dāng)a=0時(shí)不合題意）.【變式3】已知函數(shù)，滿足，求的最大值、最小值及取得最大值和最小值時(shí)對(duì)應(yīng)a，c的值.答案：，此時(shí)；，此時(shí)類型三：正面與反面的轉(zhuǎn)化問題3已知非空集合A=x|x2Amx+2m+6=0，xR，若AR，求實(shí)數(shù)m的取值范圍（R表示負(fù)實(shí)數(shù)集，R+表示正實(shí)數(shù)集）.思路點(diǎn)撥：本題可以根據(jù)AR的反面AR=時(shí)的取值范圍進(jìn)行求解.解析：設(shè)全集U=m|=16m28m240=m|m1或.方程x24mx+2m+6=0的兩根均非負(fù)的充要條件是，可得.AR=時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍為；AR時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍為m|m1.知識(shí)升華：正面難以解決的問題，可采用補(bǔ)集的思想，轉(zhuǎn)化為反面問題來(lái)解決.一個(gè)題目若出現(xiàn)多種成立的情況，則不成立的情況一般較少，易從反而考慮，比如題目中出現(xiàn)“至多”，“至少”等字眼時(shí).舉一反三：【變式1】試求常數(shù)m的范圍，使曲線y=x2的所有弦都不能被直線y=m(x-3)垂直平分.解析：?jiǎn)栴}可以轉(zhuǎn)化為：為使曲線y=x2有兩個(gè)對(duì)稱于直線y=m(x-3)的點(diǎn)，求m的取值范圍.易得，因此原問題的解是.【變式2】已知二次函數(shù)f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1，若區(qū)間-1，1內(nèi)至少存在一個(gè)實(shí)數(shù)c，使f(c)0, 則實(shí)數(shù)p的取值范圍是（ ）.A、 B、 C、 D、解析：?jiǎn)栴}轉(zhuǎn)化為先求在-1，1內(nèi)沒有一個(gè)實(shí)數(shù)C使f(c)0，即對(duì)任意x-1,1，f(x)0的P的取值范圍.由二次函數(shù)f(x)在-1，1的圖形易知：f(1)0且f(-1)0, 解得：或P3.滿足已知條件的P的取值范圍為.【變式3】已知三條拋物線：，中至少有一條與x軸相交，求實(shí)a的取值范圍.答案：或.類型四：換元轉(zhuǎn)化問題4求函數(shù)的最大值.思路點(diǎn)撥：令t=sin x，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)，再求二次函數(shù)在區(qū)間1，1上的最大值.解析： .設(shè)sin x=t，則1t1，令.如圖所示，當(dāng)a0時(shí)，有.同理，當(dāng)a0時(shí)，有.所以，當(dāng)a0時(shí)函數(shù)的最大值為34a.當(dāng)a0時(shí)函數(shù)的最大值為3+4a.總結(jié)升華：通過換元將三角問題轉(zhuǎn)化為較熟悉的一元二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，特別注意：換元后所得t的函數(shù)的定義域?yàn)?，1；應(yīng)該討論二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的拋物線的對(duì)稱軸相對(duì)于區(qū)間1，1的位置，才能確定其最值.舉一反三：【變式1】已知x2+y2=1，則z=x2y的取值范圍是_.解析：令x=cos，y=sin，則，.【變式2】已知aR，求函數(shù)y=(asin x)(acos x)的最小值.解析：設(shè)t=sin x+cos x，則，故.而，于是，.原問題化歸為求二次函數(shù)在上的最值問題.當(dāng)時(shí)，若t=a，；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，.【變式3】已知，tR.（1）當(dāng)t=1時(shí)，解不等式；（2）如果x0，1時(shí)，恒成立，求參數(shù)t的取值范圍.答案：（1） （2）t1類型五：命題的轉(zhuǎn)化5關(guān)于x的方程x33x2a=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍.思路點(diǎn)撥：本題是一個(gè)高次方程的問題，無(wú)法用判別式去判定根的個(gè)數(shù)，故可以轉(zhuǎn)化命題，轉(zhuǎn)化為曲線y=x33x2與直線y=a有一個(gè)交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解析：由x33x2a=0得a=x33x2，令，令，得x=0或x=2.當(dāng)x（，0）時(shí)，；當(dāng)x（0，2）時(shí)，；當(dāng)x（2，+）時(shí)，.所以在（，0）和（2，+）上是增函數(shù)，在（0，2）上為減函數(shù).又，.如圖所示，畫出的草圖.結(jié)合圖象，直線y=a與曲線y=x33x2有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則a4或a0.所以關(guān)于x的方程x33x2a=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為a4或a0.總結(jié)升華：在解題的過程中，直接考慮思維受阻時(shí)，要學(xué)會(huì)變換解決問題的角度，轉(zhuǎn)化命題的形式，使問題變得直觀、簡(jiǎn)潔，進(jìn)而使問題得以解決，有些問題可以考慮其反面，通過解決反面使問題得以解決，有些空間中的問題轉(zhuǎn)化為平面問題則變得簡(jiǎn)潔.這就是轉(zhuǎn)化與化歸思想的真諦.舉一反三：【變式】設(shè)02，且方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍及這兩個(gè)實(shí)根的和.解析：將原方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的圖象與直線有兩