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文檔簡介

巧用反證法證明不等式反證法是根據(jù)“正難則反”的原理，即如果正面證明有困難時(shí)，或者直接證明需要分多種情況而反面只有一種情況時(shí)，可以考慮用反證法。反證法不僅在幾何中有著廣泛的應(yīng)用，而且在代數(shù)中也經(jīng)常出現(xiàn)。用反證法證明不等式就是最好的應(yīng)用。要證明不等式AB，先假設(shè)AB，然后根據(jù)題設(shè)及不等式的性質(zhì)，推出矛盾，從而否定假設(shè)。要證明的不等式中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼，若正面難以找到解題的突破口，可轉(zhuǎn)換視角，用反證法往往立見奇效。例1. 設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，求證：下列三個(gè)不等式abcd，中至少有一個(gè)不正確。證明：假設(shè)不等式、都成立，因?yàn)閍，b，c，d都是正數(shù)，所以由不等式、得，。由不等式得，因?yàn)?，所以綜合不等式，得，即由不等式，得，即，顯然矛盾。不等式、中至少有一個(gè)不正確。例2. 已知求證：。證明：由知0，假設(shè)，則又因?yàn)?，所以，即從而，與已知矛盾。假設(shè)不成立，從而同理，可證。例3. 若，求證：。證明：假設(shè)，則，即。因?yàn)樗怨视?，即，即，不成立。故假設(shè)不成立，即。例4. 設(shè)a，b，c均為小于1的正數(shù)，求證：，不能同時(shí)大于。證明：假設(shè)同時(shí)大于，即，。則由，可得同理，三個(gè)同向不等式兩邊分別相加，得，所以假設(shè)不成立。原結(jié)論成立。例5. 若，求證：，不能同時(shí)大于1。證明：由題意

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