直線中的對(duì)稱問題.ppt

對(duì)稱與最值的探究 2 如何求P 1 2 關(guān)于直線2x y 1 0的對(duì)稱點(diǎn)Q的坐標(biāo) 復(fù)習(xí) 在某東西方向公路邊有一村莊M 在M村的北偏西30o方向且與M村相距1000米處有一村A 在M村的北偏東60o的方向且相距800米處有一村B A莊的村民主要靠每天外出打工 做生意獲得收入 B莊的村民主要靠種菜 賣菜獲得收入 前幾年 風(fēng)調(diào)雨順 兩村村民都忙于自己的生活 沒有意識(shí)到腳下的泥土路給生活帶來的不便 今年8 9兩月的連綿秋雨 使兩村村民深受交通不便之苦 于是他們集資修路 擬定在公路上找一C處 由C向兩村分別修路 為了使修路費(fèi)用最低 C處應(yīng)如何選擇 問題 已知直線l y x A 1 2 B 2 4 C 3 1 1 在直線l上求一點(diǎn)P使 PB PC 最小 2 在直線l上求一點(diǎn)Q使 QA QB 最小 一類最值問題探究 解 1 連接BC交l于P 在l上任取一異于P的點(diǎn)P1 連P1B P1C 則 P1B P1C BC BP PC P點(diǎn)為所求的點(diǎn) B 2 4 C 3 1 直線BC的方程為 y 3x 10 即直線l上的點(diǎn)P 2 5 2 5 使 PA PB 最小 2 做點(diǎn)A關(guān)于直線y x的對(duì)稱點(diǎn)A1 連接A B交l于Q 在l上任取一異于點(diǎn)Q的點(diǎn)Q1 連接AQ AQ1 A1Q1 BQ1 則 AQ1 BQ1 A1Q1 BQ1 A1B A1Q BQ AQ BQ 點(diǎn)Q使 AQ BQ 最小 A 1 2 A1 2 1 又B 2 4 直線A1B方程為x 2 即Q 2 2 直線l上的點(diǎn)Q使 AQ BQ 最小 歸納總結(jié) 已知平面內(nèi)有兩個(gè)定點(diǎn)A B和一條定直線l 1 當(dāng)A與B在直線l異側(cè)時(shí) 線段AB與l的交點(diǎn)P使 PA PB 最小 且最小值為 AB 2 當(dāng)A B在直線l的同側(cè)時(shí) 作A 或B 關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)A1 或B1 則線段A1B 或AB1 與l的交點(diǎn)P使 PA PB 最小 且最小值為 A1B AB1 練習(xí) 已知直線l x y 0 點(diǎn)A 3 0 B 0 5 試在l上求一點(diǎn)P使 PA PB 最小 解 以公路為x軸 以M村為原點(diǎn) 建立直角坐標(biāo)系 如圖 作A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A1 連A1B交x軸于C 則C使 CA CB 最小 直線A1B的方程為 x 500 由y 0 得x 316 C 316 0 答 當(dāng)C處選在M村正東316米時(shí)可使修路費(fèi)用最低 注 坐標(biāo)法的應(yīng)用 解 則y表示動(dòng)點(diǎn)M x 0 到定點(diǎn)A 3 3 和B 5 1 距離之和 而A B位于直線y 0的同側(cè) 故作點(diǎn)A關(guān)于y 0的對(duì)稱點(diǎn)A1 A1 3 3 連A1B交y 0于P 則P使 PA PB A1B 最小 即y最小值為 A1B 由A1 3 3 B 5 1 得 由y 0 得x 3 P 3 0 注 等價(jià)轉(zhuǎn)化 數(shù)形結(jié)合 例3 課堂小結(jié) 1 同一平面內(nèi) 在定直線l上求點(diǎn)P使P到兩定點(diǎn)A B距離和最小的方法 2 探究過程中 1 坐標(biāo)法使數(shù)和形有機(jī)的結(jié)合起來 充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想 2 類比聯(lián)想和等價(jià)轉(zhuǎn)化使問題的解決找到了突破口 作業(yè) 1 課外實(shí)踐 請(qǐng)從身邊生活中搜集一個(gè)今天所討論問題的實(shí)例 已知l