高等數(shù)學(xué)課件--D44有理函數(shù)積分.ppt

2020 2 11 同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件 第四節(jié) 基本積分法 換元積分法 分部積分法 初等函數(shù) 初等函數(shù) 一 有理函數(shù)的積分 二 可化為有理函數(shù)的積分舉例 有理函數(shù)的積分 本節(jié)內(nèi)容 第四章 直接積分法 2020 2 11 同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件 一 有理函數(shù)的積分 有理函數(shù) 時(shí) 為假分式 時(shí) 為真分式 有理函數(shù) 多項(xiàng)式 真分式 分解 其中部分分式的形式為 若干部分分式之和 2020 2 11 同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件 例1 將下列真分式分解為部分分式 解 1 用拼湊法 2020 2 11 同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件 2 用賦值法 故 2020 2 11 同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件 3 混合法 原式 2020 2 11 同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件 四種典型部分分式的積分 變分子為 再分項(xiàng)積分 2020 2 11 同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件 例2 求 解 已知 例1 3 例1 3 2020 2 11 同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件 例3 求 解 原式 思考 如何求 提示 變形方法同例3 并利用書P363公式20 2020 2 11 同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件 例4 求 解 說明 將有理函數(shù)分解為部分分式進(jìn)行積分雖可行 但不一定簡便 因此要注意根據(jù)被積函數(shù)的結(jié)構(gòu)尋求 簡便的方法 2020 2 11 同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件 例5 求 解 原式 2020 2 11 同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件 常規(guī)法 例6 求 解 原式 見P363公式21 注意本題技巧 本題用常規(guī)方法解很繁 按常規(guī)方法解 第一步令 比較系數(shù)定a b c d 得 第二步化為部分分式 即令 比較系數(shù)定A B C D 第三步分項(xiàng)積分 此解法較繁 2020 2 11 同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件 二 可化為有理函數(shù)的積分舉例 設(shè) 表示三角函數(shù)有理式 令 萬能代換 參考下頁例7 t的有理函數(shù)的積分 1 三角函數(shù)有理式的積分 則 2020 2 11 同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件 例7 求 解 令 則 2020 2 11 同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件 2020 2 11 同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件 例8 求 解 說明 通常求含 的積分時(shí) 往往更方便 的有理式 用代換 2020 2 11 同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件 例9 求 解法1 令 原式 2020 2 11 同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件 例9 求 解法2 令 原式 2020 2 11 同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件 例10 求 解 因被積函數(shù)關(guān)于cosx為奇函數(shù) 可令 原式 2020 2 11 同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件 2 簡單無理函數(shù)的積分 令 令 被積函數(shù)為簡單根式的有理式 可通過根式代換 化為有理函數(shù)的積分 例如 令 2020 2 11 同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件 例11 求 解 令 則 原式 2020 2 11 同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件 例12 求 解 為去掉被積函數(shù)分母中的根式 取根指數(shù)2 3的 最小公倍數(shù)6 則有 原式 令 2020 2 11 同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件 例13 求 解 令 則 原式 2020 2 11 同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件 內(nèi)容小結(jié) 1 可積函數(shù)的特殊類型 有理函數(shù) 分解 多項(xiàng)式及部分分式之和 三角函數(shù)有理式 萬能代換 簡單無理函數(shù) 三角代換 根式代換 2 特殊類型的積分按上述方法雖然可以積出 但不一定 要注意綜合使用基本積分法 簡便計(jì)算 簡便 2020 2 11 同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件 思考與練習(xí) 如何求下列積分更簡便 解 1 2 原式 2020 2 11 同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件 作業(yè) P2183 6 8 9 13 15 17 18 20 24 第五節(jié) 2020 2 11 同濟(jì)高等數(shù)學(xué)課件