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1 4定積分的應(yīng)用 一 微元法二 幾何應(yīng)用 TheApplicationofDefiniteIntegrals 2 用定積分解決實(shí)際問題 應(yīng)先明確兩個(gè)問題 第一 定積分能解決哪類問題 共性 第二 用定積分解決這類問題方法的關(guān) 鍵是什么 3 一 微元法 第一個(gè)問題 用定積分所解決問題的共性 2 這個(gè)在 a b 上分布的整體量等于其所有 1 都是求在 a b 非均勻分布的一個(gè)整體量 如 面積 體積 曲線弧長 作功 引力 總成本 總利潤等等 4 子區(qū)間局部量的總和 可和 具體地講 設(shè)F x 可微 5 第二個(gè)問題 用定積分解決問題的關(guān)鍵 在找出整體量的微元 微元法解決問題的步驟 1 寫出實(shí)際問題整體改變量的微元表達(dá)式 2 用定積分求出整體改變量 6 二 定積分的幾何應(yīng)用 1 平面圖形的面積 Area 用微元法求面積 7 例1求由 所圍圖形的面積 如圖 思考 求面積前需要做那些準(zhǔn)備工作 8 解 從圖中可以明顯看出所求面積分為兩部 兩塊面積的微元分別為 分 9 10 用微元法求面積 求面積前需要做的準(zhǔn)備工作有 11 1 最好能作出草圖 弄清邊界曲線的方程 2 根據(jù)所選方法確定積分變量及總量微元 3 確定積分區(qū)間 為此常需要求出邊界曲線交點(diǎn)的坐標(biāo) 如圖 12 例2再求由 所圍圖形的面積 如圖 13 解 14 例3求星形線所圍面積 它的參數(shù)方程為 直角坐標(biāo)方程 解由對(duì)稱性只需求出 1 4 面積即可 例4用微元法推導(dǎo)由極坐標(biāo)給出的曲線C 用微元法先推導(dǎo) 極坐標(biāo)系下求面積的表達(dá)式 所圍的面積 并求心臟 所圍圖形的面積 17 解心臟線的對(duì)稱性是明顯的 因此 18 例5 求雙紐線 所圍封閉 圖形的面積 19 解 當(dāng)你不會(huì)作封閉曲線的圖形時(shí) 如何通過分析求出面積 分析 使用公式 解這個(gè)問題的難點(diǎn)在確定積分限 注意到 每兩個(gè)零點(diǎn)曲線封閉一次 變化過程中 20 由于周期性的變化 你會(huì)發(fā)現(xiàn)封閉圖形將重 復(fù)出現(xiàn)在第一 三象限 且圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì) 稱

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