新人教版八年級上冊數(shù)學(xué)精品專題試卷合集.pdf

類比歸納專題 三角形中內(nèi) 外角的有關(guān)計(jì)算 全方位求角度 類型一 已知角的關(guān)系 直接利用內(nèi) 角和或結(jié)合方程思想 1 在 ABC 中 A B 35 C 55 則 B 等于 A 50 B 55 C 45 D 40 2 在 ABC 中 已知 A 2 B 3 C 則 ABC 是 A 銳角三角形 B 直角三角形 C 鈍角三角形 D 形狀無法確定 3 如圖 在 ABC 中 C ABC 2 A BD 是 AC 邊上的高 求 DBC 的度 數(shù) 4 如圖 ABC 中 B 26 C 70 AD 平分 BAC AE BC 于 E EF AD 于 F 求 DEF 的度數(shù) 類型二 綜合內(nèi)外角的性質(zhì) 5 如圖 BD CD 分別平分 ABC 和 ACE A 60 則 D 的度數(shù)是 A 20 B 30 C 40 D 60 第 5 題圖 第 6 題圖 6 如圖 B 20 A C 40 則 CDE 的度數(shù)為 7 如圖 AD 平分 BAC EAD EDA 1 求證 EAC B 2 若 B 50 CAD E 1 3 求 E 的度數(shù) 類型三 在三角板或直尺中求角度 8 2015 2016 瑤海區(qū)期末 將一副三 角板按如圖所示擺放 圖中 的度數(shù)是 A 120 B 105 C 90 D 75 9 將兩個(gè)含 30 和 45 的直角三角板如 圖放置 則 的度數(shù)是 A 10 B 15 C 20 D 25 10 一副三角板如圖所示疊放在一起 則圖中 的度數(shù)是 11 如圖 將三角板的直角頂點(diǎn)放在直 尺的一邊上 若 1 55 則 2 的度數(shù)為 類型四 與平行線結(jié)合 12 2015 南充中考 如圖 已知 B C E 在同一直線上 且 CD AB 若 A 75 B 40 則 ACE 的度數(shù)為 A 35 B 40 C 115 D 145 13 如圖 AB CD 直線 PQ 分別交 AB CD 于點(diǎn) F E EG 是 DEF 的平分線 交 AB 于點(diǎn) G 若 PFA 40 那么 EGB 等 于 A 80 B 100 C 110 D 120 14 如圖 BD 是 ABC 的角平分線 DE BC 交 AB 于點(diǎn) E A 45 BDC 60 則 BDE 15 如圖 在 ABC 中 點(diǎn) D 在 BC 上 點(diǎn) E 在 AC 上 AD 交 BE 于 F 已知 EG AD 交 BC 于 G EH BE 交 BC 于 H HEG 55 1 求 BFD 的度數(shù) 2 若 BAD EBC C 44 求 BAC 的度數(shù) 類型五 與截取或折疊相關(guān) 16 如圖 把 ABC 紙片沿 DE 折疊 當(dāng)點(diǎn) A 落在四邊形 BCDE 的外部時(shí) 則 A 與 1 和 2 之間有一種數(shù)量關(guān)系始終保持 不變 請?jiān)囍乙徽疫@個(gè)規(guī)律 你發(fā)現(xiàn)的規(guī) 律是 A A 1 2 B 2 A 1 2 C 3 A 2 1 2 D 3 A 2 1 2 17 如圖 Rt ABC 中 ACB 90 A 52 將其折疊 使點(diǎn) A 落在邊 CB 上 A 處 折痕為 CD 則 A DB 第 17 題圖 第 18 題圖 18 在 ABC 中 B 70 若沿圖中 虛線剪去 B 則 1 2 等于 19 如圖 1 將 ABC 紙片沿 DE 折疊 成圖 此時(shí)點(diǎn) A 落在四邊形 BCDE 內(nèi)部 則 A 與 1 2 之間有一種數(shù)量關(guān)系保持 不變 請找出這種數(shù)量關(guān)系并說明理由 2 若折成圖 或圖 即點(diǎn) A 落在 BE 或 CD 上時(shí) 分別寫出 A 與 2 A 與 1 之間的關(guān)系式 不必證明 3 若折成圖 寫出 A 與 1 2 之 間的關(guān)系式 不必證明 參考答案與解析 1 C 2 C 3 解 設(shè) A x 則 C ABC 2x 根據(jù)三角形內(nèi)角和為 180 知 C ABC A 180 即2x 2x x 180 x 36 C 2x 72 在 Rt BDC 中 DBC 90 C 90 72 18 方法點(diǎn)撥 三角形中給出的條件含比例 且不易直接求出時(shí) 一般需要設(shè)未知數(shù) 根 據(jù)三角形的內(nèi)角和列方程求解 4 解 ABC 中 B 26 C 70 BAC 180 B C 180 26 70 84 AD 平分 BAC DAC 1 2 BAC 1 2 84 42 在 ACE 中 CAE 90 C 90 70 20 DAE DAC CAE 42 20 22 DEF AEF AEF DAE 90 DEF DAE 22 5 B 6 80 7 1 證明 AD 平分 BAC BAD CAD 又 EAD EDA EAC EAD CAD EDA BAD B 2 解 設(shè) CAD x 則 E 3x 由 1 知 EAC B 50 EAD EDA x 50 在 EAD 中 E EAD EDA 180 3x 2 x 50 180 解 得 x 16 E 48 8 B 9 B 10 75 11 35 12 C 13 C 14 15 15 解 1 EH BE BEH 90 HEG 55 BEG BEH HEG 35 又 EG AD BFD BEG 35 2 BFD BAD ABE BAD EBC BFD EBC ABE ABC 由 1 可知 BFD 35 ABC 35 C 44 BAC 180 ABC C 180 35 44 101 16 B 17 14 18 250 19 解 1 延長 BE CD 交于點(diǎn) P 則 BCP 即為折疊前的三角形 由折疊的性 質(zhì)知 DAE DPE 連接AP 由三角形的外 角 性質(zhì)知 1 EAP EPA 2 DAP DPA 則 1 2 DAE DPE 2 DAE 即 1 2 2 A 2 圖 中 2 2 A 圖 中 1 2 A 3 圖 中 2 1 2 A 類比歸納專題 與三角形的類比歸納專題 與三角形的 高 角平分線有關(guān)的計(jì)算模高 角平分線有關(guān)的計(jì)算模 型型 模型 1 求同一頂點(diǎn)的角平分線與高線 的夾角的度數(shù) 1 如圖 AD AE 分別是 ABC 的高和 角平分線 1 已知 B 40 C 60 求 DAE 的度數(shù) 2 設(shè) B C 請用含 的代數(shù)式表示 DAE 并證明 模型 2 求兩內(nèi)角平分線的夾角的度數(shù) 2 如圖 ABC 中 ABC 和 ACB 的平分線交于點(diǎn) O 若 BOC 120 則 A 3 如圖 ABC 中 點(diǎn) P 是 ABC ACB 的平分線的交點(diǎn) 1 若 A 80 求 BPC 的度數(shù) 2 有位同學(xué)在解答 1 后得出 BPC 90 1 2 A 的規(guī)律 你認(rèn)為正確嗎 請給出 理由 模型 3 求一內(nèi)角平分線與一外角平分 線的夾角的度數(shù) 4 如圖 在 ABC 中 BA1平分 ABC CA1平分 ACD BA1 CA1相交于點(diǎn) A1 1 求證 A1 1 2 A 2 如圖 繼續(xù)作 A1BC 和 A1CD 的平 分線交于點(diǎn)A2 得 A2 作 A2BC和 A2CD 的平分線交于點(diǎn) A3 得 A3 依此得到 A2017 若 A 則 A2017 模型 4 求兩外角平分線的夾角的度數(shù) 方法 5 5 1 如圖 BO 平分 ABC 的外角 CBD CO 平分 ABC 的外角 BCE 則 BOC 與 A 的關(guān)系為 2 請就 1 中的結(jié)論進(jìn)行證明 參考答案與解析 1 解 1 B 40 C 60 BAC 180 B C 180 40 60 80 AE 是角平分線 BAE 1 2 BAC 1 2 80 40 AD 是高 BAD 90 B 90 40 50 DAE BAD BAE 50 40 10 2 DAE 1 2 證明如下 B C BAC 180 AE 是角平分線 BAE 1 2 BAC 90 1 2 AD 是高 BAD 90 B 90 DAE BAD BAE 90 90 1 2 1 2 2 60 3 解 1 BP CP 為角平分線 PBC PCB 1 2 ABC ACB 1 2 180 A 1 2 180 80 50 BPC 180 PBC PCB 180 50 130 2 正確 理由如下 BP CP 為角平 分 線 PBC PCB 1 2 ABC ACB 1 2 180 A 90 1 2 A BPC 180 PBC PCB 180 90 1 2 A 90 1 2 A 4 1 證 明 CA1平 分 ACD A1CD 1 2 ACD 1 2 A ABC 又 A1CD A1 A1BC A1 A1BC 1 2 A ABC BA1 平 分 ABC A1BC 1 2 ABC 1 2 ABC A1 1 2 A ABC A1 1 2 A 2 22017 5 1 BOC 90 1 2 A 2 證明 如圖 BO CO 分別是 ABC 的外角 DBC ECB 的平分線 DBC 2 1 ACB A ECB 2 2 ABC A 2 1 2 2 2 A ABC ACB A 180 1 2 1 2 A 90 又 1 2 BOC 180 BOC 180 1 2 90 1 2 A 解題技巧專題 利用全等解決問題的模型與技巧 明模型 先觀察 再猜想 后證明 類型一 全等三角形的基本模型 1 如圖 AC AD BC BD A 50 B 90 則 C 第 1 題圖 第 2 題圖 2 如圖 銳角 ABC 的高 AD BE 相 交于 F 若 BF AC BC 7 CD 2 則 AF 的長為 3 如圖 點(diǎn) A D C E 在同一條直 線上 AB EF AB EF B F AE 10 AC 6 則 CD 的長為 A 2 B 4 C 4 5 D 3 4 如圖 在 ABC ADE 中 BAC DAE 90 AB AC AD AE 點(diǎn) C D E 在同一直線上 連接 BD 交 AC 于點(diǎn) F 1 求證 BAD CAE 2 猜想 BD CE 有何特殊位置關(guān)系 并 說明理由 類型二 證明線段間的等量關(guān)系 一 等線段代換 5 如圖 Rt ABC 中 AB AC BAC 90 直線 l 為經(jīng)過點(diǎn) A 的任一直線 BD l 于 D CE l 于 E 若 BD CE 試問 1 AD 與 CE 的大小關(guān)系如何 請說明 理由 2 線段 BD DE CE 之間的數(shù)量關(guān)系 如何 請說明理由 二 截長補(bǔ)短法 6 如圖 在四邊形 ABDE 中 C 是 BD 邊的中點(diǎn) 若AC平分 BAE ACE 90 猜想線段 AE AB DE 的長度滿足的數(shù)量關(guān) 系 并證明 三 倍長中線法 7 在 ABC 中 AB 8 AC 6 則 BC 邊上的中線 AD 的取值范圍是 A 6 AD 8 B 2 AD 14 C 1 AD 7 D 無法確定 參考答案與解析 1 110 2 3 3 A 4 1 證明 BAC DAE 90 BAC CAD DAE CAD 即 BAD CAE 在 BAD 和 CAE 中 AB AC BAD CAE AD AE BAD CAE SAS 2 解 BD CE 理由如下 由 1 可知 BAD CAE ABD ACE BAC 90 ABD AFB 90 又 AFB DFC ACE DFC 90 BDC 90 即 BD CE 5 解 1 AD CE 理由如下 BD l 于 D CE l 于 E BDA AEC 90 CAE ACE 90 BAC 90 BAD CAE 90 BAD ACE 又 AB AC ABD CAE AAS AD CE 2 BD DE CE 理由如下 由 1 可知 ABD CAE BD AE AD CE 又 AE DE AD BD DE CE 6 解 AE AB DE 證明如下 如圖 在 AE 上截取 AF AB 并連接 CF AC 平 分 BAE BAC CAF 又 AC AC BAC FAC SAS BC FC ACB ACF ACE 90 ACF FCE 90 ACB DCE 90 FCE DCE 又 C 為 BD 的中點(diǎn) BC DC DC FC 又 CE CE FCE DCE SAS DE FE AE AF FE AB DE 7 C 難點(diǎn)探究專題 動(dòng)態(tài)變化 中的三角形全等 以 靜 制 動(dòng) 不離其宗 類型一 動(dòng)點(diǎn)變化 1 如圖 Rt ABC 中 C 90 AC 6 BC 3 PQ AB 點(diǎn) P 與點(diǎn) Q 分別在 AC 和 AC 的垂線 AD 上移動(dòng) 則當(dāng) AP 時(shí) ABC 和 APQ 全等 2 如圖 ABC 中 AB AC 12cm B C BC 8cm 點(diǎn) D 為 AB 的中點(diǎn) 如 果點(diǎn) P 在線段 BC 上以 2cm s 的速度由 B 點(diǎn) 向 C 點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 同時(shí) 點(diǎn) Q 在線段 CA 上由 C 點(diǎn)向 A 點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 若點(diǎn)Q 的運(yùn)動(dòng)速度為 vcm s 則當(dāng) BPD 與 CQP 全等時(shí) v 的值為 提示 三角形中有兩個(gè)角相 等 則這兩個(gè)角所對的邊相等 3 2016 達(dá)州中考 ABC 中 BAC 90 AB AC ABC ACB 45 點(diǎn) D 為直線 BC 上一動(dòng)點(diǎn) 點(diǎn) D 不與 B C 重 合 以AD為邊在AD右側(cè)作正方形ADEF 連接 CF 方法 11 1 觀察猜想 如圖 當(dāng)點(diǎn) D 在線段 BC 上時(shí) BC 與 CF 的位置關(guān)系為 線段 BC CD CF 之間的數(shù)量關(guān)系 為 將結(jié)論直接寫在橫線上 2 數(shù)學(xué)思考 如圖 當(dāng)點(diǎn) D 在線段 CB 的延長線上時(shí) 結(jié)論 是否仍然成 立 若成立 請給予證明 若不成立 請你 寫出正確結(jié)論再給予證明 類型二 圖形變換 4 如圖甲 已知 A E F C 在一條直 線上 AE CF 過 E F 分別作 DE AC BF AC 且 AB CD 連接 BD 1 試問 OE OF 嗎 請說明理由 2 若 DEC 沿 AC 方向平移到如圖乙 的位置 其余條件不變 上述結(jié)論是否仍成 立 請說明理由 5 如圖 在 Rt ABC 中 ACB 90 點(diǎn) D F 分別在 AB AC 上 CF CB 連接 CD 將線段 CD 繞點(diǎn) C 按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 90 后得 CE 連接 EF 1 求證 BCD FCE 2 若 EF CD 求 BDC 的度數(shù) 參考答案與解析 1 3 或 6 解析 ABC 和 APQ 全 等 AB PQ 有 ABC QPA 或 ABC PQA 當(dāng) ABC QPA 時(shí) 則有 AP BC 3 當(dāng) ABC PQA 時(shí) 則有 AP AC 6 當(dāng) AP 3 或 6 時(shí) ABC 和 APQ 全等 故答案為 3 或 6 2 2 或 3 解析 當(dāng) BD PC 時(shí) BPD 與 CQP 全等 點(diǎn) D 為 AB 的中點(diǎn) BD 1 2A AB 6cm PC 6cm BP 8 6 2 cm 點(diǎn) P 在線段 BC 上以 2cm s 的速度 由 B 點(diǎn)向 C 點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 1s DBP PCQ CQ BP 2cm v 2 1 2 cm s 當(dāng) BD CQ 時(shí) BDP QCP PB PQ B CQP 又 B C C CQP PQ PC PB PC BD 6cm BC 8cm PB PC QC 6cm BP 4cm 運(yùn)動(dòng)時(shí)間為4 2 2 s v 6 2 3 cm s 故答案為 2 或 3 3 解 1 垂直 BC CD CF 2 CF BC 成立 BC CD CF 不成立 正確結(jié)論 CD CF BC 證明如下 正方形 ADEF 中 AD AF DAF BAC 90 BAD CAF 在 DAB 與 FAC 中 AD AF BAD CAF AB AC DAB FAC SAS ABD ACF DB CF ACB ABC 45 ABD 180 45 135 BCF ACF ACB ABD ACB 90 CF BC CD DB BC DB CF CD CF BC 4 解 1 OE OF 理由如下 DE AC BF AC DEC BFA 90 AE CF AE EF CF EF 即 AF CE 在 Rt ABF 和 Rt CDE 中 AB CD AF CE Rt ABF Rt CDE HL BF DE 在 BFO 和 DEO 中 BFO DEO BOF DOE BF DE BFO DEO AAS OE OF 2 結(jié)論依然成立 理由如下 AE CF AE EF CF EF AF CE 同 1 可得 BFO DEO FO EO 即結(jié)論依然 成立 5 1 證明 將線段 CD 繞點(diǎn) C 按順 時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 90 后得 CE CD CE DCE 90 ACB 90 BCD 90 ACD FCE 在 BCD 和 FCE 中 CB CF BCD FCE CD CE BCD FCE SAS 2 解 由 1 可 知 DCE 90 BCD FCE BDC E EF CD E 180 DCE 90 BDC 90 易錯(cuò)易混專題 等腰三角 形中易漏解或多解的問題 易錯(cuò)歸納 各個(gè)擊破 類型一 求長度時(shí)忽略三邊關(guān)系 1 2016 賀州中考 一個(gè)等腰三角形的 兩邊長分別是 4 8 則它的周長為 A 12 B 16 C 20 D 16 或 20 2 學(xué)習(xí)了三角形的有關(guān)內(nèi)容后 張老師 請同學(xué)們交流這樣一個(gè)問題 已知一個(gè)等 腰三角形的周長是 12 其中一條邊長為 3 求另兩條邊的長 同學(xué)們經(jīng)過片刻思考和 交流后 小明同學(xué)舉手說 另兩條邊長為 3 6 或 4 5 4 5 你認(rèn)為小明的回答是否正 確 理由是 3 已知等腰三角形中 一腰上的中線將 三角形的周長分成 6cm 和 10cm 兩部分 求 這個(gè)三角形的腰長和底邊的長 類型二 當(dāng)腰或底不明求角度時(shí)沒有分 類討論 4 已知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為 40 則這個(gè)等腰三角形的頂角為 A 100 B 40 C 40 或 100 D 60 5 等腰三角形的一個(gè)外角等于 100 則與這個(gè)外角不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分 別為 A 40 40 B 80 20 C 80 80 D 50 50 或 80 20 6 已知一個(gè)等腰三角形兩內(nèi)角的度數(shù) 之比為 1 4 則這個(gè)等腰三角形頂角的度數(shù) 為 類型三 三角形的形狀不明時(shí)沒有 分類討論 7 等腰三角形的一個(gè)角是 50 則它一 腰上的高與底邊的夾角是 A 25 B 40 C 25 或 40 D 不能確定 8 在 ABC 中 AB AC AB 的垂直 平分線與 AC 所在的直線相交所得到的銳角 為 50 則 B 等于 9 如果兩個(gè)等腰三角形的腰長相等 面 積也相等 那么我們把這兩個(gè)等腰三角形稱 為一對合同三角形 已知一對合同三角形的 底角分別為 x 和 y 則 用含 x 的 代數(shù)式表示 10 已知等腰三角形一腰上的高與另一 腰的夾角的度數(shù)為 20 求頂角的度數(shù) 類型四 一邊確定 另兩邊不確定 求等腰三角形個(gè)數(shù)時(shí)漏解 11 2016 武漢中考 平面直角坐標(biāo)系 中 已知 A 2 2 B 4 0 若在坐標(biāo)軸上 取點(diǎn) C 使 ABC 為等腰三角形 則滿足條 件的點(diǎn) C 的個(gè)數(shù)是 A 5 B 6 C 7 D 8 12 如圖 在 4 5 的點(diǎn)陣圖中 每兩 個(gè)橫向和縱向相鄰陣點(diǎn)的距離均為 1 該點(diǎn) 陣圖中已有兩個(gè)陣點(diǎn)分別標(biāo)為 A B 請?jiān)?此點(diǎn)陣圖中找一個(gè)陣點(diǎn) C 使得以點(diǎn) A B C 為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形 則符合條 件的 C 點(diǎn)有 個(gè) 參考答案與解析參考答案與解析 1 C 2 不正確 沒考慮三角形三邊關(guān)系 3 解 設(shè)腰長為 xcm 腰長與腰長的 一半是 6cm 時(shí) x 1 2x 6 解得 x 4 底 邊長 10 1 2 4 8 cm 4 4 8 4cm 4cm 8cm 不能組成三角形 腰長與腰長 的一半是 10cm 時(shí) x 1 2x 10 解得 x 20 3 底邊長 6 1 2 20 3 8 3 cm 三角形的 三邊長為20 3 cm 20 3 cm 8 3 cm 能組成三角 形 綜上所述 三角形的腰長為20 3 cm 底邊 長為8 3cm 4 C 5 D 6 120 或 20 7 C 8 70 或 20 9 x 或 90 x 解析 兩個(gè)等腰三角 形的腰長相等 面積也相等 腰上的高相 等 當(dāng)這兩個(gè)三角形都是銳角或鈍角三角 形時(shí) y x 當(dāng)兩個(gè)三角形一個(gè)是銳角三 角形 一個(gè)是鈍角三角形時(shí) y 90 x 故答 案為 x 或 90 x 10 解 此題要分情況討論 當(dāng)?shù)妊?角形的頂角是鈍角時(shí) 腰上的高在其外 部 如圖 所示 得頂角 ACB D DAC 90 20 110 當(dāng)?shù)妊切蔚?頂角是銳角時(shí) 腰上的高在其內(nèi)部 如圖 所示 故頂角 A 90 ABD 90 20 70 綜上所述 頂角的度數(shù)為 110 或 70 11 A 12 5 解題技巧專題 等腰三角 形中輔助線的作法 形成精準(zhǔn)思維模式 快速解題 類型一 利用 三線合一 作輔助線 一 已知等腰作垂線 或中線 角平分線 1 如圖 在 ABC 中 AB AC AE BE 于點(diǎn) E 且 BE 1 2BC 若 EAB 20 則 BAC 2 如圖 在 ABC 中 AB AC D 為 BC邊的中點(diǎn) 過點(diǎn)D作DE AB DF AC 垂足分別為 E F 1 求證 DE DF 2 若 A 90 圖中與 DE 相等的有哪 些線段 不說明理由 3 如圖 ABC 中 AC 2AB AD 平分 BAC 交 BC 于 D E 是 AD 上一點(diǎn) 且 EA EC 求證 EB AB 二 構(gòu)造等腰三角形 4 如圖 ABC 的面積為 1cm2 AP 垂 直 ABC 的平分線 BP 于 P 則 PBC 的面 積為 A 0 4cm2 B 0 5cm2 C 0 6cm2 D 0 7cm2 5 如圖 已知 ABC 是等腰直角三角 形 A 90 BD 平分 ABC 交 AC 于點(diǎn) D CE BD 求證 BD 2CE 類型二 巧用等腰直角三角形構(gòu)造 全等 6 2016 銅仁中考 如圖 在 ABC 中 AC BC C 90 D 是 AB 的中點(diǎn) DE DF 點(diǎn) E F 分別在 AC BC 上 求 證 DE DF 類型三 等腰 邊 三角形中截長補(bǔ)短 或作平行線構(gòu)造全等 7 如圖 已知 AB AC A 108 BD 平分 ABC 交 AC 于 D 求證 BC AB CD 8 如圖 過等邊 ABC 的邊 AB 上一點(diǎn) P 作 PE AC 于 E Q 為 BC 延長線上一 點(diǎn) 且 PA CQ 連 PQ 交 AC 邊于 D 1 求證 PD DQ 2 若 ABC 的邊長為 1 求 DE 的長 參考答案與解析 1 40 2 1 證明 如圖 連接 AD AB AC D 是 BC 的中點(diǎn) EAD FAD 又 DE AB DF AC DE DF 2 解 若 BAC 90 圖中與 DE 相等 的有線段 DF AE AF BE CF 3 證明 如圖 作 EF AC 于 F EA EC AF FC 1 2AC AC 2AB AF AB AD 平分 BAC BAD CAD 又 AE AE ABE AFE SAS ABE AFE 90 EB AB 4 B 5 證明 如圖 延長 BA 和 CE 交于點(diǎn) M CE BD BEC BEM 90 BD平分 ABC MBE CBE 又 BE BE BME BCE ASA EM EC 1 2MC ABC 是等腰直角三角形 BAC MAC 90 BA AC ABD BDA 90 BEC 90 ACM CDE 90 BDA EDC ABE ACM 又 AB AC ABD ACM ASA DB MC BD 2CE 6 證明 如圖 連接 CD AC BC D 是 AB 的中點(diǎn) CD 平分 ACB CD AB CDB 90 ACB 90 BCD ACD 45 B 180 CDB BCD 45 ACD B BCD CD BD ED DF EDF EDC CDF 90 又 CDF BDF 90 EDC BDF ECD FBD ASA DE DF 7 證明 如圖 在線段 BC 上截取 BE BA 連接 DE BD 平分 ABC ABD EBD 又 BD BD ABD EBD SAS BED A 108 DEC 180 DEB 72 又 AB AC A 108 ACB ABC 1 2 180 108 36 CDE DEB ACB 180 36 72 CDE DEC CD CE BC BE EC AB CD 8 1 證明 如圖 過 P 作 PF BC 交 AC 于點(diǎn) F AFP ACB FPD Q PFD QCD ABC 為等邊三角形 A ACB 60 AFP 60 APF 是等邊三角形 AP PF AP CQ PF CQ PFD QCD ASA PD DQ 2 解 APF 是等邊三角形 PE AC AE EF PFD QCD CD DF DE EF DF 1 2AC 又 AC 1 DE 1 2 模型構(gòu)建專題 共頂點(diǎn)的等模型構(gòu)建專題 共頂點(diǎn)的等 腰三角形腰三角形 明模型 悉結(jié)論 類型一 共直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形 1 如圖 已知 ABC 和 DBE 均為等 腰直角三角形 1 求證 AD CE 2 猜想 AD和CE是否垂直 若垂直 請說明理由 若不垂直 則只要寫出結(jié)論 不用寫理由 類型二 共頂點(diǎn)的等邊三角形 2 如圖 等邊 ABC 中 D 是 AB 邊 上的動(dòng)點(diǎn) 以CD為一邊 向上作等邊 EDC 連接 AE 1 DBC 和 EAC 會(huì)全等嗎 請說明 理由 2 試說明 AE BC 的理由 3 如圖 將 1 中動(dòng)點(diǎn) D 運(yùn)動(dòng)到邊 BA 的延長線上 所作仍為等邊三角形 請問是 否仍有 AE BC 證明你的猜想 參考答案與解析參考答案與解析 1 1 證明 ABC 和 DBE 均為等 腰直角三角形 AB BC BD BE ABC DBE 90 ABC DBC DBE DBC 即 ABD CBE ABD CBE SAS AD CE 2 解 垂直 理由如下 如圖 延長 AD 分別交BC和CE于G和 F ABD CBE BAD BCE BAD ABC BGA BCE AFC CGF 180 BGA CGF AFC ABC 90 AD CE 2 解 1 DBC 和 EAC 全等 理由 如下 ABC 和 EDC 為等邊三角形 BC AC DC EC ACB DCE 60 ACB ACD DCE ACD 即 BCD ACE DBC EAC SAS 2 DBC EAC EAC B 60 又 ACB 60 EAC ACB AE BC 3 仍有 AE BC 證明如下 ABC EDC 為等邊三角形 BC AC DC CE BCA DCE 60 BCA ACD DCE ACD 即 BCD ACE 在 DBC 和 EAC 中 BC AC BCD ACE CD CE DBC EAC SAS EAC B 60 又 ACB 60 EAC ACB AE BC 類比歸納專題 證明線段相 等的基本思路 理?xiàng)l件 定思路 幾何證明也容 易 類型一 已知 邊的關(guān)系 或 邊 角關(guān)系 用全等 1 如圖 已知 AB AE BC ED B E AF CD F 為垂足 求證 1 AC AD 2 CF DF 2 如圖 C 90 BC AC D E 分 別在 BC 和 AC 上 且 BD CE M 是 AB 的 中點(diǎn) 求證 MDE 是等腰三角形 類型二 已知角度關(guān)系或線與線之 間的位置關(guān)系用 等角對等邊 3 如圖 在 ABC 中 CE CF 分別平 分 ACB 和 ACB 的外角 ACG EF BC 交 AC 于點(diǎn) D 求證 DE DF 4 2015 2016 孝南區(qū)期末 如圖 在 ABC 中 ACB 2 B BAC 的平分線 AD 交 BC 于 D 過 C 作 CN AD 交 AD 于 H 交 AB 于 N 1 求證 AN AC 2 試判斷 BN 與 CD 的數(shù)量關(guān)系 并說 明理由 類型三 已知角平分線 垂直或垂直 平分用相應(yīng)的性質(zhì) 5 如圖 ABC 中 CAB 的平分線 與 BC 的垂直平分線 DG 相交于 D 過點(diǎn) D 作 DE AB DF AC 求證 BE CF 6 如圖 在 ABC 中 C 90 AD 是 BAC 的平分線 DE AB 于 E F 在 AC 上 BD DF 求證 1 CF EB 2 AB AF 2EB 參考答案與解析參考答案與解析 1 證明 1 在 ABC 和 AED 中 AB AE B E BC ED ABC AED AC AD 2 在 Rt ACF 和 Rt ADF 中 AC AD AF AF ACF ADF CF DF 2 證明 連接 CM 則 BM CM 且 CM MB B MCE 45 BM AM CM 在 MBD和 MCE中 BM CM B MCE BD CE MBD MCE DM EM MDE 是等腰三角形 3 證明 CE 是 ABC 的角平分線 ACE BCE CF 為 ABC 外 角 ACG的 平 分 線 ACF GCF EF BC GCF F BCE CEF ACE CEF F DCF CD ED CD DF DE DF 4 1 證明 CN AD AHN AHC 90 又 AD 平分 BAC NAH CAH 又 在 ANH 和 ACH 中 AHN NAH ANH 180 AHC CAH ACH 180 ANH ACH AN AC 2 解 BN CD 理由如下 連接 ND 在 AND 和 ACD 中 AN AC NAD CAD AD AD AND ACD SAS DN DC AND ACD 又 ACB 2 B AND 2 B 又 BND 中 AND B NDB B NDB NB ND BN CD 5 證明 連接 BD CD AD 是 FAE 的平分線 DE AB DF AC DE DF DG 是 BC 的垂直平分線 BD CD Rt CDF Rt BDE BE CF 6 證明 1 AD 是 BAC 的平分線 DE AB DC AC DE DC 又 BD DF Rt CFD Rt EBD HL CF EB 2 在 Rt ADC 和 Rt ADE 中 AD AD DC DE Rt ADC Rt ADE AC AE AB AE BE AC EB AF CF EB AF 2EB 解題技巧專題 乘法公式的解題技巧專題 乘法公式的 靈活運(yùn)用靈活運(yùn)用 計(jì)算技巧多 先觀察 再計(jì)算 事半功倍 類型一 利用乘法公式進(jìn)行簡便運(yùn)算 1 計(jì)算 102 98 的結(jié)果是 A 9995 B 9896 C 9996 D 9997 2 計(jì)算 20152 2014 2016 的結(jié)果是 A 2 B 1 C 0 D 1 3 計(jì)算 1 512 2 298 302 4 運(yùn)用公式簡便計(jì)算 1 401 3 39 2 3 2 10002 2522 2482 5 閱讀下列材料 某同學(xué)在計(jì)算 3 4 1 42 1 時(shí) 把3 寫 成 4 1 后 發(fā)現(xiàn)可以連續(xù)運(yùn)用平方差公式 計(jì)算 3 4 1 42 1 4 1 4 1 42 1 42 1 42 1 162 1 請借鑒該同學(xué)的 經(jīng)驗(yàn) 計(jì)算下面式子的值 1 1 2 1 1 22 1 1 24 1 1 28 1 215 類型二 利用乘法公式的變式求值 6 若 a b 1 2 且 a 2 b2 1 4 則 a b 的值為 A 1 2 B 1 2 C 1 D 2 7 若 a b 1 ab 2 則 a b 2的值 為 A 9 B 9 C 9 D 3 8 已知 x 1 x 5 那么 x 2 1 x2的值為 A 10 B 23 C 25 D 27 9 若 m n 1 則代數(shù)式 m2 n2 2n 的值為 1 10 2016 巴中中考 若 a b 3 ab 2 則 a b 2 11 閱讀 已知 a b 4 ab 3 求 a2 b2的值 解 a b 4 ab 3 a2 b2 a b 2 2ab 4 2 2 3 10 請你根據(jù)上述解題思路解答下面問題 1 已知 a b 3 ab 2 求 a b a2 b2 的值 2 已知 a c b 10 a b c 12 求 a b 2 c2的值 參考答案與解析 1 C 2 D 3 1 2601 2 89996 4 解 1 原式 40 1 3 40 1 3 402 1 3 2 15998 9 2 原式 10002 250 2 2 250 2 2 錯(cuò)誤錯(cuò)誤 錯(cuò)誤錯(cuò)誤 500 5 解 1 1 2 1 1 22 1 1 24 1 1 28 1 215 2 1 1 2 1 1 2 1 1 22 1 1 24 1 1 28 1 215 2 1 1 216 1 215 2 1 215 1 215 2 6 B 7 B 8 B 9 1 10 1 11 解 1 a b 3 ab 2 a b a2 b2 a b 2 a b a b 2 4ab a b 3 2 4 2 3 3 2 a c b 10 a b c 12 a b 2 c2 a b c 2 2 a b c 10 2 2 12 76 解題技巧專題 選擇合適的解題技巧專題 選擇合適的 方法因式分解方法因式分解 學(xué)會(huì)選擇最優(yōu)方法 類型一 一步 提公因式或套公式 分 解因式 1 2016 寧德中考 下列分解因式正確 的是 A ma m m a 1 B a2 1 a 1 2 C a2 6a 9 a 3 2 D a2 3a 9 a 3 2 2 分解因式 1 3x3y3 x2y3 2x4y 2 2 x y 2 y x 3 類型二 兩步 先提后套或二次分解 分解因式 2 3 2016 梅州中考 分解因式 a2b b3 結(jié)果正確的是 A b a b a b B b a b 2 C b a2 b2 D b a b 2 4 分解因式 1 2a3 12a2 18a A 2 x2 1 2 4x2 類型三 特殊的因式分解法 分組分 解法 十字相乘法 配方法 5 閱讀下列材料并解答問題 將一個(gè)多項(xiàng)式適當(dāng)分組后 可提公因式 或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法是分組分解 法 例如 am an bm bn am bm an bn m a b n a b a b m n 1 試完成下面填空 x2 y2 2y 1 x2 y2 2y 1 2 試用上述方法分解因式 a2 2ab ac bc b2 6 閱讀與思考 將式子 x2 x 6 分解 因式 這個(gè)式子的常數(shù)項(xiàng) 6 2 3 一 次項(xiàng)系數(shù) 1 2 3 這個(gè)過程可用十字 相乘的形式形象地表示 先分解二次項(xiàng)系數(shù) 分別寫在十字交叉線的左上角和左下角 再 分解常數(shù)項(xiàng) 分別寫在十字交叉線的右上角 和右下角 然后交叉相乘 求代數(shù)和 使其 等于一次項(xiàng)系數(shù) 如圖所示 這種分解二次 三項(xiàng)式的方法叫 十字相乘法 請同學(xué)們認(rèn)真觀察 分析理解后 解答 下列問題 1 分解因式 x2 7x 18 方法 22 2 填空 若 x2 px 8 可分解為兩個(gè)一 次因式的積 則整數(shù) p 的所有可能值是 7 閱讀 分解因式 x2 2x 3 解 原式 x2 2x 1 1 3 x2 2x 1 4 x 1 2 4 x 1 2 x 1 2 x 3 x 1 上述因式分解的方法可以稱之為配方 法 請?bào)w會(huì)配方法的特點(diǎn) 然后用配方法分 解因式 1 x2 4x 3 2 4x2 12x 7 參考答案與解析參考答案與解析 1 C 2 解 1 原式 x2y 3xy2 y2 2x2 2 原式 x y 2 2 x y x y 2 2 x y 3 A 4 解 1 原式 2a a2 6a 9 2a a 3 2 2 原式 x2 1 2x x2 1 2x x 1 2 x 1 2 5 解 1 x2 y 1 2 x y 1 x y 1 2 原式 a2 2ab b2 ac bc a b 2 c a b a b a b c 6 解 1 原式 x 9 x 2 2 7 7 2 2 解析 若 x2 px 8 可分解為兩個(gè)一次因式的積 則整數(shù) p 的 所有可能值分別是 8 1 7 1 8 7 2 4 2 4 2 2 7 解 1 原式 x2 4x 4 4 3 x2 4x 4 1 x 2 2 1 x 2 1 x 2 1 x 1 x 3 2 原式 4x2 12x 9 9 7 4x2 12x 9 16 2x 3 2 16 2x 3 4 2x 3 4 2x 7 2x 1 易錯(cuò)專題 分式中常見的陷易錯(cuò)專題 分式中常見的陷 阱阱 易錯(cuò)全方位歸納 各個(gè)擊破 類型一 分式值為 0 時(shí)求值 忽略分母不 為 0 1 分式x 2 4 x 2 的值等于 0 時(shí) x 的值為 A 2 B 2 C 2 D 2 2 要使 m2 9 m2 6m 9的值為 0 則 m 的值 為 A 3 B 3 C 3 D 不存在 3 若分式3 x x 3 的值為零 則 x 的值為 類型二 自主取值再求值時(shí) 忽略分 母或除式不能為 0 4 2016 安順中考 先化簡 再求值 1 1 x 1 x 2 x 1 從 1 2 3 中選擇一個(gè) 適當(dāng)?shù)臄?shù)作為 x 值代入 5 2016 巴中中考 先化簡 x2 x x2 2x 1 2 x 1 1 x 然后再從 2 x 2 的范圍內(nèi) 選取一個(gè)合適的 x 的整數(shù)值代入求值 類型三 無解時(shí)忽略分式方程化為 一次方程后未知數(shù)系數(shù)為 0 的情況 6 若關(guān)于 x 的分式方程2m x x 3 1 2 x無解 則 m 的值為 A 3 2A A A A A A A A A A A A B 1 C 3 2或 2 D 1 2或 3 2 7 已知關(guān)于 x 的分式方程 a x 1 2a x 1 x2 x 0 無解 求 a 的值 類型四 已知方程根的情況求參數(shù) 的取值范圍 應(yīng)舍去公分母為 0 時(shí)參數(shù)的值 8 2016 齊齊哈爾中考 若關(guān)于 x 的分 式方程 x x 2 2 m 2 x的解為正數(shù) 則滿足 條件的正整數(shù) m 的值為 A 1 2 3 B 1 2 C 1 3 D 2 3 9 已知關(guān)于 x 的分式方程a x x 1 1 的解 為負(fù)數(shù)