大學(xué)數(shù)學(xué)(高數(shù)微積分)第六章線性空間第六節(jié)(課堂講義).ppt

主要內(nèi)容 子空間的交 第六節(jié)子空間的交與和 子空間的和 子空間的交與和的性質(zhì) 例題 子空間的交與和的維數(shù) 一 子空間的交 1 定義 定義15設(shè)V1 V2是線性空間V的兩個(gè)子空 間 稱(chēng) V1 V2 V1且 V2 為V1 V2的交 2 性質(zhì) 定理6如果V1 V2是線性空間V的兩個(gè)子空 間 那么它們的交V1 V2也是V的子空間 證明 首先 由0 V1 0 V2 可知0 V1 V2 因而V1 V2是非空的 其次 如果 V1 V2 即 V1 而且 V2 V1 V2 對(duì)數(shù)量乘積可以同樣地證明 所以V1 V2是V的 子空間 證畢 那么 因此 V1 V2 3 子空間的交的運(yùn)算規(guī)律 1 交換律V1 V2 V2 V1 2 結(jié)合律 V1 V2 V3 V1 V2 V3 由結(jié)合律 我們可以定義多個(gè)子空間的交 它也是子空間 二 子空間的和 1 定義 定義16設(shè)V1 V2是線性空間V的兩個(gè)子空 間 所謂V1與V2的和 是指由所有能表示成 1 2 而 1 V1 2 V2的向量組成的子集合 記 作V1 V2 即 V1 V2 1 2 1 V1 2 V2 2 性質(zhì) 定理7如果V1 V2是線性空間V的兩個(gè)子空 間 那么它們的和V1 V2也是V的子空間 證明 首先 V1 V2顯然是非空的 其次 如果 V1 V2 即 1 2 1 V1 2 V2 1 2 1 V1 2 V2 那么 1 1 2 2 又因?yàn)閂1 V2是子空間 故有 1 1 V1 2 2 V2 因此 V1 V2 同樣 k k 1 k 2 V1 V2 所以 V1 V2是V的子空間 證畢 3 子空間的和的運(yùn)算規(guī)律 1 交換律V1 V2 V2 V1 2 結(jié)合律 V1 V2 V3 V1 V2 V3 由結(jié)合律 我們可以定義多個(gè)子空間的和 的向量組的子空間 它是由所有表示成 1 2 s i Vi i 1 2 s 三 子空間的交與和的性質(zhì) 性質(zhì)1設(shè)V1 V2 W都是子空間 那么由 W V1與W V2可推出W V1 V2 而由 W V1與W V2可推出W V1 V2 性質(zhì)2對(duì)于子空間V1 V2 以下三個(gè)論斷是 等價(jià)的 1 V1 V2 2 V1 V2 V1 3 V1 V2 V2 四 例題 例1設(shè)V1 L 1 2 V2 L 1 3 是R3 兩個(gè)不同的2維子空間 求V1 V2和V1 V2 并指它們的幾何意義 解 因?yàn)閂1和V2是兩個(gè)不同的子空間 所以 1 2 3線性無(wú)關(guān) 從而V1 V2與題設(shè)矛盾 于是由子空間的交與和 的定義可得 V1 V2 L 1 V1 V2 L 1 2 3 R3 否則 3可由 1 2線性表示 其幾何意義是 V1 L 1 2 是向量 1 2所 確定的平面 的平面 是整個(gè)3維空間 如圖6 6所示 V2 L 1 3 是向量 1 3所確定 V1 V2是這兩個(gè)平面的交線 V1 V2 例2設(shè)V1 V2分別是R3過(guò)原點(diǎn)的直線和平 面 直線不在平面上 上的全體向量構(gòu)成的子空間 求V1 V2和V1 V2 并指它們的幾何意義 解 由定義容易求得 V1 V2 0 V1 V2 L 1 2 3 R3 其幾何意義如圖6 7所示 例3設(shè)V1 V2分別是P3中齊次方程組 的解空間 那么V1 V2就是齊次方程組 的解空間 例4在一個(gè)線性空間V中 有 L 1 2 s L 1 2 t L 1 s 1 t 五 子空間的交與和的維數(shù) 關(guān)于子空間的交與和的維數(shù) 有以下定理 定理8 維數(shù)公式 如果V1 V2是線性空 間V的兩個(gè)子空間 那么 維 V1 維 V2 維 V1 V2 維 V1 V2 證明 設(shè)V1 V2的維數(shù)分別是s t V1 V2 的維數(shù)是m 取V1 V2的一組基 1 2 m 如果m 0 這個(gè)基是空集 下面的討論中 1 2 m不出現(xiàn) 但討論同樣能進(jìn)行 由 它可以擴(kuò)充成V1的一組基 1 2 m 1 s m 也可以擴(kuò)充成V2的一組基 1 2 m 1 t m 我們來(lái)證明 向量組 1 2 m 1 s m 1 t m 是V1 V2的一組基 這樣 V1 V2的維數(shù)就等于 s t m 因而維數(shù)公式成立 因?yàn)?V1 L 1 2 m 1 s m V2 L 1 2 m 1 t m 所以 V1 V2 L 1 m 1 s m 1 t m 現(xiàn)在來(lái)證明向量組 1 2 m 1 s m 1 t m 是線性無(wú)關(guān)的 假設(shè)有等式 k1 1 k2 2 km m p1 1 p2 2 ps m s m q1 1 q2 2 qt m t m 0 令 k1 1 km m p1 1 ps m s m q1 1 q2 2 qt m t m k1 1 km m p1 1 ps m s m 由 q1 1 q2 2 qt m t m 由 可知 V1 可知 V2 于是 V1 V2 即 可以被 1 2 m線性表示 令 l1 1 lm m 則 l1 1 lm m q1 1 qt m t m 0 由于 1 m 1 t m線性無(wú)關(guān) 所以 l1 lm q1 qt m 0 因而 0 從而有 k1 1 km m p1 1 ps m s m 0 由于 1 m 1 s m線性無(wú)關(guān) 又得 k1 km p1 ps m 0 這就證明了 1 2 m 1 s m 1 t m 線性無(wú)關(guān) 式成立 證畢 因而它是V1 V2的一組基 故維數(shù)公 從維數(shù)公式可以看到 和的維數(shù)往往要比維數(shù) 的和來(lái)得小 例如 在三維幾何空間中 兩張通 過(guò)原點(diǎn)的不同的平面之和是整個(gè)三維空間 而其 維數(shù)之和卻等于4 由此說(shuō)明這兩張平面的交是 一維的直線 推論如果n維線性空間V中兩個(gè)子空間V1 V2的維數(shù)之和大于n 那么V1 V2必含有非零的公 共向量 證明 由假設(shè) 維 V1 V2 維 V1 V2 維 V1 維 V2 n 但因V1 V2是V的子空間而有 維 V1 V2 n 所以 維 V1 V2 0 這就是說(shuō) V1 V2中含有非零向量 證畢 例5設(shè)V P4 V1 L 1 2 3 V2 L 1 2 其中 求V1 V2 V1 V2 V1 V2的維數(shù)與基 本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 若想結(jié)束本堂課 請(qǐng)單擊返回按鈕 本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 若想結(jié)束本堂課 請(qǐng)單擊返回按鈕 本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 若想結(jié)束本堂課 請(qǐng)單擊返回按鈕 本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 若想結(jié)束本堂課 請(qǐng)單擊返回按鈕 本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 若想結(jié)束本堂課 請(qǐng)單擊返回按鈕 本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 若想結(jié)束本堂課 請(qǐng)單擊返回按鈕 本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 若想結(jié)束本堂課 請(qǐng)單擊返回按鈕 本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 若想結(jié)束本堂課 請(qǐng)單擊返回按鈕 本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 若想結(jié)束本堂課 請(qǐng)單擊返回按鈕 本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 若想結(jié)束本堂課 請(qǐng)單擊返回按鈕 本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 若想結(jié)束本堂課 請(qǐng)單擊返回按鈕 本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 若想結(jié)束本堂課 請(qǐng)單擊返回按鈕 本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 若想結(jié)束本堂課 請(qǐng)單擊返回按鈕 本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 若想結(jié)束本堂課 請(qǐng)單擊返回按鈕 本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 若想結(jié)束本堂課 請(qǐng)單擊返回按鈕 本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 若想結(jié)束本堂課 請(qǐng)單擊返回按鈕 本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 若想結(jié)束本堂課 請(qǐng)單擊返回按鈕 本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 若想結(jié)束本堂課 請(qǐng)單擊返回按鈕 本節(jié)內(nèi)容已結(jié)束 若想結(jié)束本堂課