高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品課件：離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布.ppt

第5課時(shí)離散型隨機(jī)變量的均值與方差 正態(tài)分布 1 均值 1 若離散型隨機(jī)變量x的分布列為 基礎(chǔ)知識(shí)梳理 則稱ex 為隨機(jī)變量x的均值或數(shù)學(xué)期望 它反映了離散型隨機(jī)變量取值的 2 若y ax b 其中a b為常數(shù) 則y也是隨機(jī)變量 且e ax b 3 若x服從兩點(diǎn)分布 則ex 若x b n p 則ex 基礎(chǔ)知識(shí)梳理 x1p1 x2p2 xipi xnpn 平均水平 aex b p np 2 方差 1 設(shè)離散型隨機(jī)變量x的分布列為 基礎(chǔ)知識(shí)梳理 2 d ax b 3 若x服從兩點(diǎn)分布 則dx 4 若x b n p 則dx 基礎(chǔ)知識(shí)梳理 x np 1 p p 1 p a2dx 基礎(chǔ)知識(shí)梳理 思考 隨機(jī)變量的均值 方差與樣本均值 方差的關(guān)系是怎樣的 思考 提示 隨機(jī)變量的均值 方差是一個(gè)常數(shù) 樣本均值 方差是一個(gè)隨機(jī)變量 隨觀測(cè)次數(shù)的增加或樣本容量的增加 樣本的均值 方差趨于隨機(jī)變量的均值與方差 3 正態(tài)曲線的特點(diǎn) 1 曲線位于x軸 與x軸 2 曲線是單峰的 它關(guān)于直線對(duì)稱 3 曲線在x 處達(dá)到峰值 4 曲線與x軸之間的面積為 基礎(chǔ)知識(shí)梳理 上方 不相交 x 1 5 當(dāng) 一定時(shí) 曲線隨著 的變化而沿x軸平移 6 當(dāng) 一定時(shí) 曲線的形狀由 確定 曲線越 瘦高 表示總體的分布越 曲線越 矮胖 表示總體的分布越 基礎(chǔ)知識(shí)梳理 越小 集中 越大 分散 基礎(chǔ)知識(shí)梳理 思考 參數(shù) 在正態(tài)分布中的實(shí)際意義是什么 思考 提示 是正態(tài)分布的期望 是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差 1 若隨機(jī)變量x的分布列如下 則x的數(shù)學(xué)期望是 a pb qc 1d pq答案 b 三基能力強(qiáng)化 2 正態(tài)總體n 0 1 在區(qū)間 2 1 和 1 2 上取值的概率為p1 p2 則 a p1 p2b p1 p2c p1 p2d 不確定答案 c 三基能力強(qiáng)化 3 一名射手每次射擊中靶的概率為0 8 則獨(dú)立射擊3次中靶的次數(shù)x的期望值是 a 0 83b 0 8c 2 4d 3答案 c 三基能力強(qiáng)化 4 教材習(xí)題改編 某人進(jìn)行射擊 每次中靶的概率均為0 8 現(xiàn)規(guī)定 若中靶就停止射擊 若沒有中靶 則繼續(xù)射擊 如果只有3發(fā)子彈 則射擊次數(shù)x的數(shù)學(xué)期望為 用數(shù)字作答 答案 1 24 三基能力強(qiáng)化 5 2009年高考廣東卷 已知離散型隨機(jī)變量x的分布列如下表 若ex 0 dx 1 則a b 三基能力強(qiáng)化 關(guān)于正態(tài)總體在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率求法 1 熟記p x p 2 x 2 p 3 x 3 的值 2 充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性和曲線與x軸之間的面積為1 課堂互動(dòng)講練 課堂互動(dòng)講練 設(shè)x n 5 1 求p 6 x 7 思路點(diǎn)撥 利用正態(tài)分布的對(duì)稱性 p 6 x 7 p 3 x 4 課堂互動(dòng)講練 解 由已知 5 1 p 4 x 6 0 6826 p 3 x 7 0 9544 p 3 x 4 p 6 x 7 0 9544 0 6826 0 2718 如圖 由正態(tài)曲線的對(duì)稱性可得p 3 x 4 p 6 x 7 名師點(diǎn)評(píng) 在利用對(duì)稱性轉(zhuǎn)化區(qū)間時(shí) 要注意正態(tài)曲線的對(duì)稱軸是x 而不是x 0 0 課堂互動(dòng)講練 若其他條件不變 則p x 7 及p 5 x 6 應(yīng)如何求解 課堂互動(dòng)講練 互動(dòng)探究 解 由 1 5 p 3 x 7 p 5 2 1 x 5 2 1 0 9544 課堂互動(dòng)講練 求離散型隨機(jī)變量x的均值與方差的步驟 1 理解x的意義 寫出x的所有可能取值 2 求x取每個(gè)值的概率 3 寫出x的分布列 4 由均值的定義求ex 5 由方差的定義求dx 另外 當(dāng)隨機(jī)變量x服從兩點(diǎn)分布或二項(xiàng)分布時(shí) 可不用列出分布列 直接由公式求出ex和dx 課堂互動(dòng)講練 課堂互動(dòng)講練 2009年高考山東卷 在某學(xué)校組織的一次籃球定點(diǎn)投籃訓(xùn)練中 規(guī)定每人最多投3次 在a處每投進(jìn)一球得3分 在b處每投進(jìn)一球得2分 如果前兩次得分之和超過(guò)3分即停止投籃 否則投第三次 某同學(xué)在a處的命中率q1為0 25 在b處的命中率為q2 該同學(xué)選擇先在a處投一球 以后都在b處投 用 表示該同學(xué)投籃訓(xùn)練結(jié)束后所得的總分 其分布列為 課堂互動(dòng)講練 1 求q2的值 2 求隨機(jī)變量 的數(shù)學(xué)期望e 3 試比較該同學(xué)選擇都在b處投籃得分超過(guò)3分與選擇上述方式投籃得分超過(guò)3分的概率的大小 課堂互動(dòng)講練 思路點(diǎn)撥 首先由p 0 0 03計(jì)算出q2 從而可寫出分布列 本題便可求解 解 1 由題設(shè)知 0 對(duì)應(yīng)的事件為 在三次投籃中沒有一次投中 由對(duì)立事件和相互獨(dú)立事件性質(zhì)可知p 0 1 q1 1 q2 2 0 03 解得q2 0 8 2 根據(jù)題意p1 p 2 1 q1 c21 1 q2 q2 0 75 2 0 2 0 8 0 24 p2 p 3 q1 1 q2 2 0 25 1 0 8 2 0 01 p3 p 4 1 q1 q22 0 75 0 82 0 48 p4 p 5 q1q2 q1 1 q2 q2 0 25 0 8 0 25 0 2 0 8 0 24 因此e 0 0 03 2 0 24 3 0 01 4 0 48 5 0 24 3 63 課堂互動(dòng)講練 3 用c表示事件 該同學(xué)選擇第一次在a處投 以后都在b處投 得分超過(guò)3分 用d表示事件 該同學(xué)選擇都在b處投 得分超過(guò)3分 則p c p 4 p 5 p3 p4 0 48 0 24 0 72 p d q22 c21q2 1 q2 q2 0 82 2 0 8 0 2 0 8 0 896 故p d p c 即該同學(xué)選擇都在b處投籃得分超過(guò)3分的概率大于該同學(xué)選擇第一次在a處投以后都在b處投得分超過(guò)3分的概率 課堂互動(dòng)講練 名師點(diǎn)評(píng) 1 隨機(jī)變量的均值等于該隨機(jī)變量的每一個(gè)取值與該取值時(shí)對(duì)應(yīng)的概率乘積的和 2 均值 數(shù)學(xué)期望 是隨機(jī)變量的一個(gè)重要特征數(shù) 它反映或刻畫的是隨機(jī)變量取值的平均水平 均值 數(shù)學(xué)期望 是算術(shù)平均值概念的推廣 是概率意義下的平均 3 ex是一個(gè)實(shí)數(shù) 即x作為隨機(jī)變量是可變的 而ex是不變的 課堂互動(dòng)講練 利用均值和方差的性質(zhì) 可以避免復(fù)雜的運(yùn)算 常用性質(zhì)有 1 ec c c為常數(shù) 2 e ax b aex b a b為常數(shù) 3 e x1 x2 ex1 ex2 e ax1 bx2 ae x1 be x2 4 d ax b a2dx 課堂互動(dòng)講練 課堂互動(dòng)講練 已知x的概率分布為求 1 ex dx 2 設(shè)y 2x 3 求ey dy 課堂互動(dòng)講練 思路點(diǎn)撥 利用性質(zhì)e a b ae b d a b a2d 求解 名師點(diǎn)評(píng) 是一個(gè)隨機(jī)變量 則 f 一般仍是一個(gè)隨機(jī)變量 在求 的期望和方差時(shí) 要應(yīng)用期望和方差的性質(zhì) 課堂互動(dòng)講練 利用期望和方差比較隨機(jī)變量的取值情況 一般是先比較期望 期望不同時(shí) 即可比較出產(chǎn)品的優(yōu)劣或技術(shù)水平的高低 期望相同時(shí) 再比較方差 由方差來(lái)決定產(chǎn)品或技術(shù)水平的穩(wěn)定情況 課堂互動(dòng)講練 課堂互動(dòng)講練 解題示范 本題滿分12分 2008年高考廣東卷 隨機(jī)抽取某廠的某種產(chǎn)品200件 經(jīng)質(zhì)檢 其中有一等品126件 二等品50件 三等品20件 次品4件 已知生產(chǎn)1件一 二 三等品獲得的利潤(rùn)分別為6萬(wàn)元 2萬(wàn)元 1萬(wàn)元 而1件次品虧損2萬(wàn)元 設(shè)1件產(chǎn)品的利潤(rùn) 單位 萬(wàn)元 為 課堂互動(dòng)講練 1 求 的分布列 2 求1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn) 即 的數(shù)學(xué)期望 3 經(jīng)技術(shù)革新后 仍有四個(gè)等級(jí)的產(chǎn)品 但次品率降為1 一等品率提高為70 如果此時(shí)要求1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)不小于4 73萬(wàn)元 則三等品率最多是多少 課堂互動(dòng)講練 思路點(diǎn)撥 解答本題要先確定 的取值以及取每個(gè)值時(shí)的概率 從而正確地列出分布列 求出數(shù)學(xué)期望 即平均利潤(rùn) 然后解第 3 問(wèn)時(shí) 先設(shè)出三等品率為x 列不等式即可求解 解 1 的所有可能取值有6 2 1 2 課堂互動(dòng)講練 故 的分布列為 課堂互動(dòng)講練 5分 2 e 6 0 63 2 0 25 1 0 1 2 0 02 4 34 7分 課堂互動(dòng)講練 3 設(shè)技術(shù)革新后的三等品率為x 則此時(shí)1件產(chǎn)品的平均利潤(rùn)為ex 6 0 7 2 1 0 7 0 01 x x 2 0 01 4 76 x 0 x 0 29 9分依題意 ex 4 73 即4 76 x 4 73 解得x 0 03 所以三等品率最多為3 12分 名師點(diǎn)評(píng) 解決此類題目的關(guān)鍵是正確理解隨機(jī)變量取每一個(gè)值所表示的具體事件 求得該事件發(fā)生的概率 本題第 3 問(wèn)充分利用了分布列的性質(zhì)p1 p2 pi 1 課堂互動(dòng)講練 本題滿分12分 因冰雪災(zāi)害 某柑桔基地果林嚴(yán)重受損 為此有關(guān)專家提出兩種拯救果樹的方案 每種方案都需分兩年實(shí)施 若實(shí)施方案一 預(yù)計(jì)第一年可以使柑桔產(chǎn)量恢復(fù)到災(zāi)前的1 0倍 0 9倍 0 8倍的概率分別是0 3 0 3 0 4 第二年可以使柑桔產(chǎn)量為第一年產(chǎn)量的1 25倍 1 0倍的概率分別是0 5 0 5 若實(shí) 課堂互動(dòng)講練 高考檢閱 施方案二 預(yù)計(jì)第一年可以使柑桔產(chǎn)量達(dá)到災(zāi)前的1 2倍 1 0倍 0 8倍的概率分別是0 2 0 3 0 5 第二年可以使柑桔產(chǎn)量為第一年產(chǎn)量的1 2倍 1 0倍的概率分別是0 4 0 6 實(shí)施每種方案第一年與第二年相互獨(dú)立 令 i i 1 2 表示方案i實(shí)施兩年后柑桔產(chǎn)量達(dá)到災(zāi)前產(chǎn)量的倍數(shù) 1 寫出 1 2的分布列 課堂互動(dòng)講練 2 實(shí)施哪種方案 兩年后柑桔產(chǎn)量超過(guò)災(zāi)前產(chǎn)量的概率更大 3 不管哪種方案 如果實(shí)施兩年后柑桔產(chǎn)量達(dá)不到 恰好達(dá)到 超過(guò)災(zāi)前產(chǎn)量 預(yù)計(jì)利潤(rùn)分別為10萬(wàn)元 15萬(wàn)元 20萬(wàn)元 問(wèn)實(shí)施哪種方案的平均利潤(rùn)更大 課堂互動(dòng)講練 解 1 1的所有取值為0 8 0 9 1 0 1 125 1 25 2的所有取值為0 8 0 96 1 0 1 2 1 44 1 2的分布列分別為 課堂互動(dòng)講練 4分 2 令a b分別表示方案一 方案二兩年后柑桔產(chǎn)量超過(guò)災(zāi)前產(chǎn)量這一事件 p a 0 15 0 15 0 3 p b 0 24 0 08 0 32 可見 方案二兩年后柑桔產(chǎn)量超過(guò)災(zāi)前產(chǎn)量的概率更大 8分 課堂互動(dòng)講練 3 令 i i 1 2 表示方案i的預(yù)計(jì)利潤(rùn) 則 課堂互動(dòng)講練 所以e 1 14 75 e 2 14 1 可見 方案一的預(yù)計(jì)利潤(rùn)更大 12分 規(guī)律方法總結(jié) 1 離散型隨機(jī)變量的均值均值ex與方差dx均是一個(gè)實(shí)數(shù) ex是算術(shù)平均值概念的推廣 是概率意義下的平均 dx表示隨機(jī)變量x對(duì)ex的平均偏離程度 dx越大 表明平均偏離程度越大 說(shuō)明x的取值越分散 反之 dx越小 x的取值越集中 規(guī)律方法總結(jié) 2 均值 期望 與方差的關(guān)系均值 期望 反映了隨機(jī)變量取值的平均水平 而方差則表現(xiàn)了隨機(jī)變