高中數(shù)學 第二章 推理與證明 2.1.1 合情推理學業(yè)分層測評 新人教B版選修1-2.doc

2.1.1 合情推理(建議用時：45分鐘)學業(yè)達標一、選擇題1.下列說法正確的是()a.由合情推理得出的結(jié)論一定是正確的b.合情推理必須有前提有結(jié)論c.合情推理不能猜想d.合情推理得出的結(jié)論無法判定正誤【解析】合情推理得出的結(jié)論不一定正確，故a錯；合情推理必須有前提有結(jié)論，故b正確；合情推理中類比推理是根據(jù)兩個或兩類對象有部分屬性相同，從而推出它們的其他屬性也相同的推理，可進行猜想，故c錯；合情推理得出的結(jié)論可以進行判定正誤，故d錯.【答案】b2.下面使用類比推理恰當?shù)氖?)a.“若a3b3，則ab”類比推出“若a0b0，則ab”b.“(ab)cacbc”類比推出“(ab)cacbc”c.“(ab)cacbc”類比推出“(c0)”d.“(ab)nanbn”類比推出“(ab)nanbn”【解析】由實數(shù)運算的知識易得c項正確.【答案】c3.用火柴棒擺“金魚”，如圖217所示，圖217按照上面的規(guī)律，第n個“金魚”圖需要火柴棒的根數(shù)為() 【導學號：37820011】a.6n2b.8n2c.6n2d.8n2【解析】從可以看出，從第個圖開始每個圖中的火柴棒都比前一個圖中的火柴棒多6根，故火柴棒數(shù)成等差數(shù)列，第一個圖中火柴棒為8根，故可歸納出第n個“金魚”圖需火柴棒的根數(shù)為6n2.【答案】c4.對命題“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊中點”可類比猜想：正四面體的內(nèi)切球切于四面體各正三角形的()a.一條中線上的點，但不是中心b.一條垂線上的點，但不是垂心c.一條角平分線上的點，但不是內(nèi)心d.中心【解析】由正四面體的內(nèi)切球可知，內(nèi)切球切于四個面的中心.【答案】d5.(2016南昌調(diào)研)已知整數(shù)對的序列為(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，則第57個數(shù)對是()a.(2，10)b.(10，2)c.(3，5)d.(5，3)【解析】由題意，發(fā)現(xiàn)所給數(shù)對有如下規(guī)律：(1，1)的和為2，共1個；(1，2)，(2，1)的和為3，共2個；(1，3)，(2，2)，(3，1)的和為4，共3個；(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)的和為5，共4個；(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)的和為6，共5個.由此可知，當數(shù)對中兩個數(shù)字之和為n時，有n1個數(shù)對.易知第57個數(shù)對中兩數(shù)之和為12，且是兩數(shù)之和為12的數(shù)對中的第2個數(shù)對，故為(2，10).【答案】a二、填空題6.把正數(shù)排列成如圖218甲的三角形數(shù)陣，然后擦去偶數(shù)行中的奇數(shù)和奇數(shù)行中的偶數(shù)，得到如圖218乙的三角形數(shù)陣，現(xiàn)把圖乙中的數(shù)按從小到大的順序排成一列，得到一個數(shù)列an，若an2 017，則n_.12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16甲12 45 7 910 12 14 16乙圖218【解析】圖乙中第k行有k個數(shù)，第k行最后的一個數(shù)為k2，前k行共有個數(shù)，由44441 936，45452 025知an2 017出現(xiàn)在第45行，第45行第一個數(shù)為1 937，第141個數(shù)為2 017，所以n411 031.【答案】1 0317.二維空間中圓的一維測度(周長)l2r，二維測度(面積)sr2，觀察發(fā)現(xiàn)sl；三維空間中球的二維測度(表面積)s4r2，三維測度(體積)vr3，觀察發(fā)現(xiàn)vs.已知四維空間中“超球”的三維測度v8r3，猜想其四維測度w_.【解析】因為v8r3，所以w2r4，滿足wv.【答案】2r48.已知bn為等比數(shù)列，b52，則b1b2b3b929.若an為等差數(shù)列，a52，則an的類似結(jié)論為_.【解析】結(jié)合等差數(shù)列的特點，類比等比數(shù)列中b1b2b3b929可得，在an中，若a52，則有a1a2a3a929.【答案】a1a2a3a929三、解答題9.已知數(shù)列，sn為其前n項和，計算s1，s2，s3，s4，觀察計算結(jié)果，并歸納出sn的公式.【解】s1，s2，s3，s4，由此歸納猜想sn.10.在平面幾何中，研究正三角形內(nèi)任意一點與三邊的關(guān)系時，我們有真命題：邊長為a的正三角形內(nèi)任意一點到各邊的距離之和是定值a.類比上述命題，請你寫出關(guān)于正四面體內(nèi)任意一點與四個面的關(guān)系的一個真命題，并給出簡要的證明.【解】類比所得的真命題是：棱長為a的正四面體內(nèi)任意一點到四個面的距離之和是定值a.證明：設(shè)m是正四面體pabc內(nèi)任一點，m到平面abc，平面pab，平面pac，平面pbc的距離分別為d1，d2，d3，d4.由于正四面體四個面的面積相等，故有：vpabcvmabcvmpabvmpacvmpbcsabc(d1d2d3d4)，而sabca2，vpabca3，故d1d2d3d4a(定值).能力提升1.根據(jù)給出的數(shù)塔，猜測123 45697等于()【導學號：37820012】19211；1293111；123941 111；1 2349511 111；12 34596111 111；a.1 111 110b.1 111 111c.1 111 112d.1 111 113【解析】由前5個等式知，右邊各位數(shù)字均為1，位數(shù)比前一個等式依次多1位，所以123 456971 111 111，故選b.【答案】b2.已知結(jié)論：“在正三角形abc中，若d是邊bc的中點，g是三角形abc的重心，則2”.若把該結(jié)論推廣到空間，則有結(jié)論：“在棱長都相等的四面體abcd中，若bcd的中心為m，四面體內(nèi)部一點o到四面體各面的距離都相等”，則()a.1b.2c.3d.4【解析】如圖，設(shè)正四面體的棱長為1，即易知其高am，此時易知點o即為正四面體內(nèi)切球的球心，設(shè)其半徑為r，利用等體積法有4rr，故aoammo，故aoom31.【答案】c3.如圖219所示，橢圓中心在坐標原點，f為左焦點，當時，其離心率為，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”.類比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線”的離心率e等于_.圖219【解析】如圖所示，設(shè)雙曲線方程為1(a0，b0)，則f(c，0)，b(0，b)，a(a，0)，所以(c，b)，(a，b).又因為，所以b2ac0，所以c2a2ac0，所以e2e10，所以e或e(舍去).【答案】4.某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；(2)根據(jù)(1)的計算結(jié)果，將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論.【解】(1)選擇式，計算如下：sin215cos215sin 15cos 151sin 301.(2)三角恒等