高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何 第42講 直線平面垂直的判定及其性質(zhì)課件 理

立體幾何 第七章 第42講直線 平面垂直的判定及其性質(zhì) 欄目導(dǎo)航 1 直線與平面垂直 1 直線和平面垂直的定義如果一條直線l與平面 內(nèi)的 直線都垂直 就說直線l與平面 互相垂直 任意一條 2 判定定理與性質(zhì)定理 兩條相交直線 a b a b O l a l b 平行 a b 2 平面與平面垂直 1 平面與平面垂直的定義兩個平面相交 如果它們所成的二面角是 就說這兩個平面互相垂直 直二面角 2 判定定理和性質(zhì)定理 垂線 l l 交線 l a l a 1 思維辨析 在括號內(nèi)打 或 1 直線l與平面 內(nèi)無數(shù)條直線都垂直 則l 2 過一點作已知直線的垂面有且只有一個 3 若兩條直線垂直 則這兩條直線相交 4 若兩平面垂直 則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一平面 5 若平面 內(nèi)的一條直線垂直于平面 內(nèi)的無數(shù)條直線 則 解析 1 錯誤 直線l與 內(nèi)兩條相交直線都垂直才有l(wèi) 2 正確 過一點可以作兩條相交直線都垂直于已知直線 而這兩條相交直線可確定一個平面 此平面與直線垂直 3 錯誤 兩條直線垂直 這兩條直線可能相交 也可能異面 4 錯誤 兩個平面垂直 有一條交線 一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面 而不是任意一條直線 5 錯誤 內(nèi)的一條直線如果與 內(nèi)的兩條相交直線都垂直才能線面垂直 從而面面垂直 2 設(shè)平面 與平面 相交于直線m 直線a在平面 內(nèi) 直線b在平面 內(nèi) 且b m 則 是 a b 的 A 充分不必要條件B 必要不充分條件C 充分必要條件D 既不充分也不必要條件解析 由面面垂直的性質(zhì)定理可知 當(dāng) 時 b 又因為a 則a b 如果a m a b 不能得到 故 是 a b 的充分不必要條件 故選A A 3 2017 上海六校聯(lián)考 已知m和n是兩條不同的直線 和 是兩個不重合的平面 下面給出的條件中一定能推出m 的是 A 且m B 且m C m n且n D m n n 且 解析 且m m 或m 或m與 相交 故A不成立 且m m 或m 或m與 相交 故B不成立 m n 且n m 故C成立 m n n 且 知m 不成立 故D不成立 故選C C 4 PD垂直于正方形ABCD所在的平面 連接PB PC PA AC BD 則一定互相垂直的平面有 對 解析 平面PAD 平面PBD 平面PCD都垂直于平面ABCD 平面PAD 平面PCD 平面PCD 平面PBC 平面PAD 平面PAB 平面PAC 平面PBD 共有7對 7 5 在三棱錐P ABC中 點P在平面ABC中的射影為點O 1 若PA PB PC 則點O是 ABC的 心 2 若PA PB PB PC PC PA 則點O是 ABC的 心 解析 1 若PA PB PC 由勾股定理易得OA OB OC 故O是 ABC的外心 2 由PA PB PC PA 得PA 平面PBC 則PA BC 又由PO 平面ABC知PO BC 所以BC 平面PAO 則AO BC 同理得BO AC CO AB 故O是 ABC的垂心 外 垂 1 證明直線和平面垂直的常用方法 判定定理 垂直于平面的傳遞性 a b a b 面面平行的性質(zhì) a a 面面垂直的性質(zhì) 2 證明線面垂直的核心是證線線垂直 而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì) 因此 判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想 3 線面垂直的性質(zhì)常用來證明線線垂直 一直線與平面垂直的判定與性質(zhì) 例1 如圖 在正方體ABCDA1B1C1D1中 E為棱C1D1的中點 F為棱BC的中點 1 求證 直線AE 直線DA1 2 在線段AA1上求一點G 使得直線AE 平面DFG 解析 1 證明 由正方體的性質(zhì)可知 DA1 AD1 DA1 AB 又AB AD1 A DA1 平面ABC1D1 又AE 平面ABC1D1 DA1 AE 2 所求G點即為A1點 證明如下 由 1 可知AE DA1 取CD的中點H 連接AH EH 由DF AH DF EH AH EH H 可證DF 平面AHE AE 平面AHE DF AE 又DF A1D D AE 平面DFA1 即AE 平面DFG 二平面與平面垂直的判定與性質(zhì) 1 判定面面垂直的方法 面面垂直的定義 面面垂直的判定定理 a a 2 在已知平面垂直時 一般要用性質(zhì)定理進行轉(zhuǎn)化 在一個平面內(nèi)作交線的垂線 轉(zhuǎn)化為線面垂直 然后進一步轉(zhuǎn)化為線線垂直 例2 如圖所示 在四棱錐P ABCD中 PA 底面ABCD 且底面各邊都相等 M是PC上的一動點 當(dāng)點M滿足 時 平面MBD 平面PCD 只要填寫一個你認為是正確的條件即可 解析 四邊形ABCD的邊長相等 四邊形為菱形 AC BD 又 PA 面ABCD PA BD 又 AC PA A BD 面PAC BD PC 當(dāng)BM PC時 又 BM BD B PC 面BDM 又 PC 平面PCD 面PCD 面BDM BM PC 答案不唯一 例3 已知三棱柱A1B1C1 ABC的側(cè)棱與底面成60 角 底面是等邊三角形 側(cè)面B1C1CB是菱形且與底面垂直 求證 AC1 BC 三垂直關(guān)系中的探索性問題 解決垂直關(guān)系中的探索性問題的方法同 平行關(guān)系中的探索性問題 的規(guī)律方法一樣 一般是先探求點的位置 多為線段的中點或某個三等分點 然后給出符合要求的證明 例4 如圖 在三棱臺ABC DEF中 CF 平面DEF AB BC 1 設(shè)平面ACE 平面DEF a 求證 DF a 2 若EF CF 2BC 試問在線段BE上是否存在點G 使得平面DFG 平面CDE 若存在 請確定G點的位置 若不存在 請說明理由 解析 1 證明 在三棱臺ABC DEF中 AC DF AC 平面ACE DF 平面ACE DF 平面ACE 又 DF 平面DEF 平面ACE 平面DEF a DF a 1 如圖 PA垂直于圓O所在的平面 AB是圓O的直徑 C是圓O上的一點 E F分別是點A在PB PC上的射影 給出下列結(jié)論 AF PB EF PB AF BC AE BC 正確命題的個數(shù)為 A 1B 2C 3D 4 C 解析 AB是圓O的直徑 AC BC 又PA 面ABC 故PA BC 且PA AC A BC 面PAC BC AF 又AF PC 且PC BC C AF 面PBC 故AF PB 又AE PB 且AF AE A 所以PB 面AEF 從而EF PB 故 正確 若AE BC 則可證AE 面PBC 則AE AF 這是不可能的 選C 2 如圖 以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕 把 ABD和 ACD折成互相垂直的兩個平面后 某學(xué)生得出下列四個結(jié)論 BD AC BAC是等邊三角形 三棱錐D ABC是正三棱錐 平面ADC 平面ABC 其中正確的是 A B C D 解析 由題意知 BD 平面ADC 故BD AC 正確 AD為等腰直角三角形斜邊BC上的高 平面ABD 平面ACD 所以AB AC BC BAC是等邊三角形 正確 易知DA DB DC 又由 知 正確 由 知 錯 故選B B 3 如圖 在四棱錐P ABCD中 PA 底面ABCD AB AD AC CD ABC 60 PA AB BC E是PC的中點 證明 1 CD AE 2 PD 平面ABE 4 如圖 在四棱錐S ABCD中 平面SAD 平面ABCD 四邊形ABCD為正方形 且P為AD的中點 Q為SB的中點 1 求證 CD 平面SAD 2 求證 PQ 平面SCD 3 若SA SD M為BC的中點 在棱SC上是否