數(shù)學(xué)文化——立體幾何(22題).doc

此文檔收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請聯(lián)系網(wǎng)站刪除數(shù)學(xué)文化立體幾何（22題）1、“塹堵”【編號第1題】1【2016春廈門校級月考】九章算術(shù)中，將底面是直角形的直三棱柱稱之為“塹堵”，已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，俯視圖中虛線平分矩形的面積，則該“塹堵”的表面積為（）A4+2B2C4+4D6+4【考點】由三視圖求面積、體積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】根據(jù)題意和三視圖知幾何體是一個放倒的直三棱柱，由三視圖求出幾何元素的長度，由面積公式求出幾何體的表面積【解析】：根據(jù)題意和三視圖知幾何體是一個放倒的直三棱柱ABCABC，底面是一個直角三角形，兩條直角邊分別是、斜邊是2，且側(cè)棱與底面垂直，側(cè)棱長是2，所以幾何體的表面積S=2+22+2=6+4，故選：D【點評】本題考查三視圖求幾何體的表面積，由三視圖正確復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力【編號第2題】2【2016廈門模擬】九章算術(shù)中，將底面是直角三角形的直三棱柱稱之為“塹堵”，已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，俯視圖中虛線平分矩形的面積，則該“塹堵”的側(cè)面積為（）A2B4+2C4+4D6+4【考點】由三視圖求面積、體積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】根據(jù)題意和三視圖知幾何體是一個放倒的直三棱柱，由三視圖求出幾何元素的長度，由面積公式求出幾何體的側(cè)面積【解析】：根據(jù)題意和三視圖知幾何體是一個放倒的直三棱柱ABCABC，底面是一個直角三角形，兩條直角邊分別是、斜邊是2，且側(cè)棱與底面垂直，側(cè)棱長是2，所以幾何體的側(cè)面積S=4+4，故選：C【點評】本題考查三視圖求幾何體的側(cè)面積，由三視圖正確復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力2、商鞅銅方升【編號第3題】3【2016遼寧校級模擬】中國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中記載了公元前344年商鞅督造一種標(biāo)準(zhǔn)量器商鞅銅方升，其三視圖如圖所示（單位：寸），若取3，其體積為12.6（立方寸），則圖中的x為（）A1.2B1.6C1.8D2.4【考點】由三視圖求面積、體積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】由三視圖知，商鞅銅方升由一圓柱和一長方體組合而成利用體積求出x【解析】：由三視圖知，商鞅銅方升由一圓柱和一長方體組合而成由題意得：1，（5.4x）31+（ 2）2x=12.6，x=1.6故選：B【點評】本題考查三視圖，考查體積的計算，確定直觀圖是關(guān)鍵3、鱉臑【編號第4題】4【2015秋廈門校級月考】九章算術(shù)中，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑，如圖，在鱉臑PABC中，PA平面ABC，ABBC，且AP=AC=1，過A點分別作AEPB于E、AFPC于F，連接EF當(dāng)AEF的面積最大時，tanBPC的值是（）ABCD【考點】直線與平面垂直的判定菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】由已知可證AE平面PBC，PC平面AEF，可得AEF、PEF均為直角三角形，由已知得AF=，從而（AE2+EF2）=（AF）2=，當(dāng)且僅當(dāng)AE=EF時，取“=”，解得當(dāng)AE=EF=時，AEF的面積最大，即可求得tanBPC=的值【解析】：顯然BC平面PAB，則BCAE，又PBAE，則AE平面PBC，于是AEEF，且AEPC，結(jié)合條件AFPC得PC平面AEF，所以AEF、PEF均為直角三角形，由已知得AF=，而（AE2+EF2）=（AF）2=，當(dāng)且僅當(dāng)AE=EF時，取“=”，所以，當(dāng)AE=EF=時，AEF的面積最大，此時tanBPC=，故選：B【點評】本題主要考查了直線與平面垂直的判定，不等式的解法及應(yīng)用，同時考查了空間想象能力、計算能力和邏輯推理能力，屬于中檔題【編號第5題】5【2015秋萍鄉(xiāng)期末】九章算術(shù)中將底面的長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為蟞臑在如圖所示的陽馬PABCD中，側(cè)棱PD底面ABCD，且PD=CD=BC，則當(dāng)點E在下列四個位置：PA中點、PB中點、PC中點、PD中點時分別形成的四面體EBCD中，蟞臑有（）A1個B2個C3個D4個【考點】直線與平面垂直的性質(zhì)菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】分情況討論：（1）當(dāng)點E在PC中點時，證明BC平面PCD，DE平面PBC，可知四面體EBCD的四個面都是直角三角形，即可得出結(jié)論；（2）當(dāng)點E在PA中點時：以D為原點，分別以DA，DC，DP為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PD=DC=BC=1，則可求BC，BE，EC三邊長不滿足勾股定理，可得EBC不是直角三角形，故故四面體EBCD不是蟞臑（3）當(dāng)點E在PB中點時：易證BCE不是直角三角形（同上），可得四面體EBCD不是蟞臑（4）當(dāng)點E在PD中點時：由BC平面ECD，DE平面DBC，可知四面體EBCD的四個面都是直角三角形，即四面體EBCD是一個鱉臑【解答】證明：（1）當(dāng)點E在PC中點時：因為PD底面ABCD，所以PDBC，因為ABCD為正方形，所以BCCD，因為PDCD=D，所以BC平面PCD，因為DE平面PCD，所以BCDE，因為PD=CD，點E是PC的中點，所以DEPC，因為PCBC=C，所以DE平面PBC，由BC平面PCD，DE平面PBC，可知四面體EBCD的四個面都是直角三角形，即四面體EBCD是一個鱉臑，其四個面的直角分別是BCD，BCE，DEC，DEB；（2）當(dāng)點E在PA中點時：如圖，以D為原點，分別以DA，DC，DP為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PD=DC=BC=1，則：C（0，1，0），B（1，1，0），D（0，0，0），E（，0，），可求：BC=1，BE=，EC=，三邊長不滿足勾股定理，可得EBC不是直角三角形，故故四面體EBCD不是蟞臑（3）如下圖當(dāng)點E在PB中點時：易證BCE不是直角三角形（同上），故四面體EBCD不是蟞臑（4）如下圖當(dāng)點E在PD中點時：由BC平面ECD，DE平面DBC，可知四面體EBCD的四個面都是直角三角形，即四面體EBCD是一個鱉臑故選：B【點評】本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題4、羨除【編號第6題】6【2016上饒一?！吭诰耪滤阈g(shù)中，將有三條棱互相平行且有一個面為梯形的五面體稱之為羨除，現(xiàn)有一個羨除如圖所示，面ABC、面ABFE、面CDEF均為等腰梯形，ABCDEF，AB=6，CD=8，EF=10，EF到面ABCD的距離為3，CD與AB間的距離為10，則這個羨除的體積是（）A110B116C118D120【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】將幾何體分解成一個直棱柱和兩個相同的不規(guī)則幾何體，將三個幾何體改變位置組合成一個直棱柱進行計算【解析】：過A作APCD，AMEF，過B作BQCD，BNEF，垂足分別為P，M，Q，N，將一側(cè)的幾何體放到另一側(cè)，組成一個直三棱柱，底面積為=15棱柱的高為8，所以V=158=120故選：D【點評】本題考查了不規(guī)則幾何體的體積計算，將不規(guī)則幾何體補成規(guī)則幾何體是常用解題方法5、圓周率相關(guān)【編號第7題】7【2012湖北】我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中“開立圓術(shù)”曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑，“開立圓術(shù)”相當(dāng)于給出了已知球的體積V，求其直徑d的一個近似公式d人們還用過一些類似的近似公式根據(jù)=3.14159.判斷，下列近似公式中最精確的一個是（）AdBdCdDd【考點】進行簡單的演繹推理菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】根據(jù)球的體積公式求出直徑，然后選項中的常數(shù)為，表示出，將四個選項逐一代入，求出最接近真實值的那一個即可【解析】：由V=，解得d=設(shè)選項中的常數(shù)為，則=選項A代入得=3.375；選項B代入得=3；選項C代入得=3.14；選項D代入得=3.142857由于D的值最接近的真實值故選D【點評】本題主要考查了球的體積公式及其估算，同時考查了計算能力，屬于中檔題【編號第8題】8【2016春信陽月考】我國數(shù)學(xué)史上有一部堪與歐幾里得幾何原本媲美的書，這就是歷來被尊為算經(jīng)之首的九章算術(shù)，其中卷第五商功有一道關(guān)于圓柱體的體積試題：今有圓堡，周四丈八尺，高一丈一尺，問積幾何？其意思是：含有圓柱形的土筑小城堡，底面周長是4丈8尺，高1丈1尺，問它的體積是多少？若取3，估算小城堡的體積為（）A1998立方尺B2012立方尺C2112立方尺D2324立方尺【考點】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】根據(jù)周長求出城堡的底面半徑，代入圓柱的體積公式計算【解析】：設(shè)圓柱形城堡的底面半徑為r，則由題意得2r=48，所以r=8尺又城堡的高h=11尺，所以城堡的體積V=r2h=64112112立方尺故選：C【點評】本題考查了圓柱的體積計算，屬于基礎(chǔ)題【編號第9題】9【2016沈陽校級模擬】九章算術(shù)卷5商功記載一個問題“今有圓堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺問積幾何？答曰：二千一百一十二尺術(shù)曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”這里所說的圓堡瑽就是圓柱體，它的體積為“周自相乘，以高乘之，十二而一”就是說：圓堡瑽（圓柱體）的體積為：V=（底面的圓周長的平方高）則由此可推得圓周率的取值為（）A3B3.14C3.2D3.3【考點】排序問題與算法的多樣性菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】由題意，圓柱體底面的圓周長20尺，高4尺，利用圓堡瑽（圓柱體）的體積V=（底面的圓周長的平方高），求出V，再建立方程組，即可求出圓周率的取值【解析】：由題意，圓柱體底面的圓周長20尺，高4尺，因為圓堡瑽（圓柱體）的體積V=（底面的圓周長的平方高），所以V=（2024）=，所以所以=3，R=，故選：A【點評】本題考查圓柱體底面的圓周長、體積的計算，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題【編號第10題】10【2016山東校級一?！烤耪滤阈g(shù)是我國數(shù)學(xué)史上堪與歐幾里得幾何原本相媲美的數(shù)學(xué)名著其第五卷商功中有如下問題：“今有圓堢壔，周四丈八尺，高一丈一尺，問積幾何？”這里所說的圓堢壔就是圓柱體，其底面周長是4丈8尺，高1丈1尺，問它的體積是多少？若取3，估算該圓堢壔的體積為（）A1998立方尺B2012立方尺C2112立方尺D2324立方尺【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】根據(jù)周長求出圓堢壔的底面半徑，代入圓柱的體積公式計算【解析】：設(shè)圓柱形圓堢壔的底面半徑為r，則由題意得2r=48，所以r=8尺，又圓堢壔的高h=11尺，所以圓堢壔的體積V=r2h=64112112立方尺故選：C【點評】本題考查了圓柱的體積計算，屬于基礎(chǔ)題6、牟合方蓋相關(guān)【編號第11題】11【2016信陽一?！縿⒒赵谒木耪滤阈g(shù)注中提出一個獨特的方法來計算球體的體積：他不直接給出球體的體積，而是先計算另一個叫“牟合方蓋”的立體的體積劉徽通過計算，“牟合方蓋”的體積與球的體積之比應(yīng)為后人導(dǎo)出了“牟合方蓋”的體積計算公式，即V牟=r3V方蓋差，r為球的半徑，也即正方形的棱長均為2r，為從而計算出V球=r3記所有棱長都為r的正四棱錐的體積為V正，棱長為2r的正方形的方蓋差為V方蓋差，則=（）ABCD【考點】球的體積和表面積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】計算出V方蓋差，V正，即可得出結(jié)論【解析】：解：由題意，V方蓋差=r3V牟=r3r3=r3，所有棱長都為r的正四棱錐的體積為V正=r3，所以=，故選：C【點評】本題考查新定義，考查體積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，比較基礎(chǔ)【編號第12題】12【2016春江西校級月考】我國古代數(shù)學(xué)家利用“牟合方蓋”（如圖甲）找到了球體體積的計算方法它是由兩個圓柱分別從縱橫兩個方向嵌入一個正方體時兩圓柱公共部分形成的幾何體圖乙所示的幾何體是可以形成“牟合方蓋”的一種模型，其直觀圖如圖丙，圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線當(dāng)其正視圖和側(cè)視圖完全相同時，它的正視圖和俯視圖分別可能是（）Aa，bBa，dCc，bDc，d【考點】簡單空間圖形的三視圖菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】根據(jù)已知中“牟合方蓋”的幾何特征，分別判斷它的正視圖和俯視圖形狀，可得答案【解析】：當(dāng)“牟合方蓋”的正視圖和側(cè)視圖完全相同時，它的正視圖為：a俯視圖為：b故選：A【點評】本題考查的知識點是簡單空間圖形的三視圖，難度不大，屬于基礎(chǔ)題【編號第13題】13（2012溫州）我國古代數(shù)學(xué)家利用“牟合方蓋”（如圖甲）找到了球體體積的計算方法“牟合方蓋”是由兩個圓柱分別從縱橫兩個方向嵌入一個正方體時兩圓柱公共部分形成的幾何體圖乙所示的幾何體是可以形成“牟合方蓋”的一種模型，它的主視圖是（）ABCD【考點】簡單組合體的三視圖菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】根據(jù)主視圖的定義，得出圓柱以及立方體的擺放即可得出主視圖為3個正方形組合體，進而得出答案即可【解答】：利用圓柱直徑等于立方體邊長，得出此時擺放，圓柱主視圖是正方形，得出圓柱以及立方體的擺放的主視圖為兩列，左邊一個正方形，右邊兩個正方形，故選：B【點評】此題主要考查了幾何體的三視圖；掌握主視圖是從幾何體正面看得到的平面圖形是解決本題的關(guān)鍵【編號第14題】14【2016吉林四?！俊澳埠戏缴w”是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個和諧優(yōu)美的幾何體它由完全相同的四個曲面構(gòu)成，相對的兩個曲面在同一個圓柱的側(cè)面上，好似兩個扣合（牟合）在一起的方形傘（方蓋）其直觀圖如圖1，圖2中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線當(dāng)其正視圖和側(cè)視圖完全相同時，它的正視圖和俯視圖分別可能是（）Aa，bBa，cCc，bDb，d【考點】簡單空間圖形的三視圖菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】相對的兩個曲面在同一個圓柱的側(cè)面上，好似兩個扣合（牟合）在一起的方形傘（方蓋）根據(jù)三視圖看到方向，可以確定三個識圖的形狀，判斷答案【解析】：因為相對的兩個曲面在同一個圓柱的側(cè)面上，好似兩個扣合（牟合）在一起的方形傘（方蓋）所以其正視圖和側(cè)視圖是一個圓，因為俯視圖是從上向下看，相對的兩個曲面在同一個圓柱的側(cè)面上所以俯視圖是有2條對角線且為實線的正方形，故選：A【點評】本題很是新穎，三視圖是一個?？嫉膬?nèi)容，對于幾何體，他描述的應(yīng)該熟悉，想想出它的樣子，才能夠作對此題【編號第15題】15（2015春麻城市校級期中）劉徽在他的九章算術(shù)注中提出一個獨特的方法來計算球體的體積：他不直接給出球體的體積，而是先計算另一個叫“牟合方蓋”的立體的體積劉徽通過計算，“牟合方蓋”的體積與球的體積之比應(yīng)為4：，即V牟：V球=4：也導(dǎo)出了“牟合方蓋”的體積計算公式，即V牟=r3V方蓋差，從而計算出V球=記所有棱長都為r的正四棱錐的體積為V正，則（）AV方蓋差V正BV方蓋差=V正CV方蓋差V正D以上三種情況都有可能【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】計算出V方蓋差，V正，即可得出結(jié)論【解析】：由題意，V方蓋差=r3V牟=r3=r3，所有棱長都為r的正四棱錐的體積為V正=r3，所以V方蓋差V正故選：A【點評】本題考查新定義，考查體積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，比較基礎(chǔ)【編號第16題】16【2016泉州校級模擬】“牟合方蓋”是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個和諧優(yōu)美的幾何體它由完全相同的四個曲面構(gòu)成，相對的兩個曲面在同一個圓柱的側(cè)面上，好似兩個扣合（牟合）在一起的方形傘（方蓋）其直觀圖如圖，圖中四邊形是為體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線當(dāng)其主視圖和側(cè)視圖完全相同時，它的俯視圖可能是（）ABCD【考點】簡單空間圖形的三視圖菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】相對的兩個曲面在同一個圓柱的側(cè)面上，好似兩個扣合（牟合）在一起的方形傘（方蓋）根據(jù)三視圖看到方向，可以確定三個識圖的形狀，判斷答案【解析】：因為相對的兩個曲面在同一個圓柱的側(cè)面上，好似兩個扣合（牟合）在一起的方形傘（方蓋）所以其正視圖和側(cè)視圖是一個圓，因為俯視圖是從上向下看，相對的兩個曲面在同一個圓柱的側(cè)面上所以俯視圖是有2條對角線且為實線的正方形，故選：B【點評】本題考查了幾何體的三視圖，屬于基礎(chǔ)題7、“米谷粒分”問題【編號第17題】17【2015湖北】我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為（）A134石B169石C338石D1365石【考點】隨機抽樣和樣本估計總體的實際應(yīng)用菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】根據(jù)254粒內(nèi)夾谷28粒，可得比例，即可得出結(jié)論【解析】：由題意，這批米內(nèi)夾谷約為1534169石，故選：B【點評】本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，考查學(xué)生的計算能力，比較基礎(chǔ)【編號第18題】18【2016懷化三?！课覈糯鷶?shù)學(xué)名著數(shù)學(xué)九章中有云：“今有木長二丈四尺，圍之五尺葛生其下，纏木兩周，上與木齊，問葛長幾何？”其意思為“圓木長2丈4尺，圓周為5尺，葛藤從圓木的底部開始向上生長，繞圓木兩周，剛好頂部與圓木平齊，問葛藤最少長多少尺（注：1丈等于10尺）（）A29尺B24尺C26尺D30尺【考點】多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有【分析】由題意，圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，一條直角邊（即木棍的高）長24尺，另一條直角邊長52=10（尺），利用勾股定理，可得結(jié)論【解析】：由題意，圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，一條直角邊（即木棍的高）長24尺，另一條直角邊長52=10（尺），因此葛藤長=26（尺）故選：C【點評】本題考查旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題，考查學(xué)生的計算能力，正確運用圓柱的側(cè)面展開圖是關(guān)鍵7、祖暅原理【編號第19題】19聯(lián)想祖暅原理，計算曲線y=lnx與y=ln（x+1）以及y=1所圍成的封閉區(qū)域的面積為【分析】本題考查的知識點是簡單線性規(guī)劃的應(yīng)用，我們要先畫出曲線y=lnx與y=ln（x+1）以及y=1所圍成的封閉區(qū)域，然后分析平面區(qū)域的形狀，進而利用祖暅原理求出封閉區(qū)域的面積【解析】曲線y=lnx與y=ln（x+1）以及y=1所圍成的封閉區(qū)域如圖所示：由祖暅原理我們易得：該不規(guī)則圖形的面積等于一個底為1，高為2的矩形面積故S=21=2故答案為：2【編號第20題】20在平面上，將兩個半圓弧和、兩條直線和圍成的封閉圖形記為D，如圖中陰影部分記D繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體為，過作的水平截面，所得截面面積為，試利用祖暅原理、一個平放的圓柱和一個長方體，得出的體積值為_【解析】根據(jù)提示，一個半徑為1，高為的圓柱平放，一個高為2，底面面積的長方體，這兩個幾何體與放在一起，根據(jù)祖暅原理，每個平行水平面的截面面積都相等，故它們的體積相等，即的體積值為【考點定位】考查旋轉(zhuǎn)體組合體體積的計算，重點考查空間想象能力，屬難題?！揪幪柕?1題】21.我國齊梁時代的數(shù)學(xué)家祖暅（公元前5-6世紀）提出了一條原理：“冪勢既同，則積不容異”這句話的意思是：夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平行平面的任何平面所截，如果截得的兩個截面的面積總是相等，那么這兩個幾何體的體積相等設(shè)：由曲線和直線，所圍成的平面圖形，繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體為；由同時滿足，的點構(gòu)