圓錐曲線習題精選精講.doc

習題精選精講圓錐曲線1.圓錐曲線的兩個定義：（1）第一定義中要重視“括號”內的限制條件：橢圓中，與兩個定點F，F的距離的和等于常數，且此常數一定要大于，當常數等于時，軌跡是線段FF，當常數小于時，無軌跡；雙曲線中，與兩定點F，F的距離的差的絕對值等于常數，且此常數一定要小于|FF|，定義中的“絕對值”與|FF|不可忽視。若|FF|，則軌跡是以F，F為端點的兩條射線，若|FF|，則軌跡不存在。若去掉定義中的絕對值則軌跡僅表示雙曲線的一支。如（1）已知定點，在滿足下列條件的平面上動點P的軌跡中是橢圓的是 A B C D（答：C）；（2）方程表示的曲線是_（答：雙曲線的左支）（2）第二定義中要注意定點和定直線是相應的焦點和準線，且“點點距為分子、點線距為分母”，其商即是離心率。圓錐曲線的第二定義，給出了圓錐曲線上的點到焦點距離與此點到相應準線距離間的關系，要善于運用第二定義對它們進行相互轉化。如已知點及拋物線上一動點P（x,y）,則y+|PQ|的最小值是_（答：2）2.圓錐曲線的標準方程（標準方程是指中心（頂點）在原點，坐標軸為對稱軸時的標準位置的方程）：（1）橢圓：焦點在軸上時（）（參數方程，其中為參數），焦點在軸上時1（）。方程表示橢圓的充要條件是什么？（ABC0，且A，B，C同號，AB）。如（1）已知方程表示橢圓，則的取值范圍為_（答：）；（2）若，且，則的最大值是_，的最小值是_（答：）（2）雙曲線：焦點在軸上： =1，焦點在軸上：1（）。方程表示雙曲線的充要條件是什么？（ABC0，且A，B異號）。如（1）雙曲線的離心率等于，且與橢圓有公共焦點，則該雙曲線的方程_（答：）；（2）設中心在坐標原點，焦點、在坐標軸上，離心率的雙曲線C過點，則C的方程為_（答：）（3）拋物線：開口向右時，開口向左時，開口向上時，開口向下時。3.圓錐曲線焦點位置的判斷（首先化成標準方程，然后再判斷）：（1）橢圓：由,分母的大小決定，焦點在分母大的坐標軸上。如已知方程表示焦點在y軸上的橢圓，則m的取值范圍是_（答：）（2）雙曲線：由,項系數的正負決定，焦點在系數為正的坐標軸上；（3）拋物線：焦點在一次項的坐標軸上，一次項的符號決定開口方向。特別提醒：（1）在求解橢圓、雙曲線問題時，首先要判斷焦點位置，焦點F，F的位置，是橢圓、雙曲線的定位條件，它決定橢圓、雙曲線標準方程的類型，而方程中的兩個參數，確定橢圓、雙曲線的形狀和大小，是橢圓、雙曲線的定形條件；在求解拋物線問題時，首先要判斷開口方向；（2）在橢圓中，最大，在雙曲線中，最大，。4.圓錐曲線的幾何性質：（1）橢圓（以（）為例）：范圍：；焦點：兩個焦點；對稱性：兩條對稱軸，一個對稱中心（0,0），四個頂點，其中長軸長為2，短軸長為2；準線：兩條準線； 離心率：，橢圓，越小，橢圓越圓；越大，橢圓越扁。如（1）若橢圓的離心率，則的值是_（答：3或）；（2）以橢圓上一點和橢圓兩焦點為頂點的三角形的面積最大值為1時，則橢圓長軸的最小值為_（答：）（2）雙曲線（以（）為例）：范圍：或；焦點：兩個焦點；對稱性：兩條對稱軸，一個對稱中心（0,0），兩個頂點，其中實軸長為2，虛軸長為2，特別地，當實軸和虛軸的長相等時，稱為等軸雙曲線，其方程可設為；準線：兩條準線； 離心率：，雙曲線，等軸雙曲線，越小，開口越小，越大，開口越大；兩條漸近線：。如（1）雙曲線的漸近線方程是，則該雙曲線的離心率等于_（答：或）；（2）雙曲線的離心率為，則=（答：4或）；（3）設雙曲線（a0,b0）中，離心率e,2,則兩條漸近線夾角的取值范圍是_（答：）； （3）拋物線（以為例）：范圍：；焦點：一個焦點，其中的幾何意義是：焦點到準線的距離；對稱性：一條對稱軸，沒有對稱中心，只有一個頂點（0,0）；準線：一條準線； 離心率：，拋物線。如設，則拋物線的焦點坐標為_（答：）；5、點和橢圓（）的關系：（1）點在橢圓外；（2）點在橢圓上1；（3）點在橢圓內6直線與圓錐曲線的位置關系：（1）相交：直線與橢圓相交； 直線與雙曲線相交，但直線與雙曲線相交不一定有，當直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交且只有一個交點，故是直線與雙曲線相交的充分條件，但不是必要條件；直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有，當直線與拋物線的對稱軸平行時，直線與拋物線相交且只有一個交點，故也僅是直線與拋物線相交的充分條件，但不是必要條件。如（1）若直線y=kx+2與雙曲線x2-y2=6的右支有兩個不同的交點，則k的取值范圍是_（答：(-,-1)）；（2）直線ykx1=0與橢圓恒有公共點，則m的取值范圍是_（答：1，5）（5，+）；（3）過雙曲線的右焦點直線交雙曲線于A、B兩點，若AB4，則這樣的直線有_條（答：3）；（2）相切：直線與橢圓相切；直線與雙曲線相切；直線與拋物線相切；（3）相離：直線與橢圓相離；直線與雙曲線相離；直線與拋物線相離。特別提醒：（1）直線與雙曲線、拋物線只有一個公共點時的位置關系有兩種情形：相切和相交。如果直線與雙曲線的漸近線平行時,直線與雙曲線相交,但只有一個交點；如果直線與拋物線的軸平行時,直線與拋物線相交,也只有一個交點；（2）過雙曲線1外一點的直線與雙曲線只有一個公共點的情況如下：P點在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內時，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條；P點在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內時，有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條；P在兩條漸近線上但非原點，只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線，一條是切線；P為原點時不存在這樣的直線；（3）過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點：兩條切線和一條平行于對稱軸的直線。如（1）過點作直線與拋物線只有一個公共點，這樣的直線有_（答：2）；（2）過點(0,2)與雙曲線有且僅有一個公共點的直線的斜率的取值范圍為_（答：）；（3）過雙曲線的右焦點作直線交雙曲線于A、B兩點，若4，則滿足條件的直線有_條（答：3）；（4）對于拋物線C：，我們稱滿足的點在拋物線的內部，若點在拋物線的內部，則直線：與拋物線C的位置關系是_（答：相離）；（5）過拋物線的焦點作一直線交拋物線于P、Q兩點，若線段PF與FQ的長分別是、，則_（答：1）；（6）設雙曲線的右焦點為，右準線為，設某直線交其左支、右支和右準線分別于，則和的大小關系為_(填大于、小于或等于) （答：等于）；（7）求橢圓上的點到直線的最短距離（答：）；（8）直線與雙曲線交于、兩點。當為何值時，、分別在雙曲線的兩支上？當為何值時，以AB為直徑的圓過坐標原點？（答：；）；7、焦半徑（圓錐曲線上的點P到焦點F的距離）的計算方法：利用圓錐曲線的第二定義，轉化到相應準線的距離，即焦半徑，其中表示P到與F所對應的準線的距離。如（1）已知橢圓上一點P到橢圓左焦點的距離為3，則點P到右準線的距離為_（答：）；（2）已知拋物線方程為，若拋物線上一點到軸的距離等于5，則它到拋物線的焦點的距離等于_；（3）若該拋物線上的點到焦點的距離是4，則點的坐標為_（答：）；（4）點P在橢圓上，它到左焦點的距離是它到右焦點距離的兩倍，則點P的橫坐標為_（答：）；（5）拋物線上的兩點A、B到焦點的距離和是5，則線段AB的中點到軸的距離為_（答：2）；（6）橢圓內有一點，F為右焦點，在橢圓上有一點M，使 之值最小，則點M的坐標為_（答：）；8、焦點三角形（橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構成的三角形）問題：常利用第一定義和正弦、余弦定理求解。設橢圓或雙曲線上的一點到兩焦點的距離分別為，焦點的面積為，則在橢圓中， ，且當即為短軸端點時，最大為；，當即為短軸端點時，的最大值為bc；對于雙曲線的焦點三角形有：；。如（1）短軸長為，離心率的橢圓的兩焦點為、，過作直線交橢圓于A、B兩點，則的周長為_（答：6）；（2）設P是等軸雙曲線右支上一點，F1、F2是左右焦點，若，|PF1|=6，則該雙曲線的方程為 （答：）；（3）橢圓的焦點為F1、F2，點P為橢圓上的動點，當0時，點P的橫坐標的取值范圍是（答：）；（4）雙曲線的虛軸長為4，離心率e，F1、F2是它的左右焦點，若過F1的直線與雙曲線的左支交于A、B兩點，且是與等差中項，則_（答：）；（5）已知雙曲線的離心率為2，F1、F2是左右焦點，P為雙曲線上一點，且，求該雙曲線的標準方程（答：）；9、拋物線中與焦點弦有關的一些幾何圖形的性質：（1）以過焦點的弦為直徑的圓和準線相切；（2）設AB為焦點弦， M為準線與x軸的交點，則AMFBMF；（3）設AB為焦點弦，A、B在準線上的射影分別為A，B，若P為AB的中點，則PAPB；（4）若AO的延長線交準線于C，則BC平行于x軸，反之，若過B點平行于x軸的直線交準線于C點，則A，O，C三點共線。10、弦長公式：若直線與圓錐曲線相交于兩點A、B，且分別為A、B的橫坐標，則，若分別為A、B的縱坐標，則，若弦AB所在直線方程設為，則。特別地，焦點弦（過焦點的弦）：焦點弦的弦長的計算，一般不用弦長公式計算，而是將焦點弦轉化為兩條焦半徑之和后，利用第二定義求解。如（1）過拋物線y2=4x的焦點作直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點，若x1+x2=6，那么|AB|等于_（答：8）；（2）過拋物線焦點的直線交拋物線于A、B兩點，已知|AB|=10，O為坐標原點，則ABC重心的橫坐標為_（答：3）；11、圓錐曲線的中點弦問題：遇到中點弦問題常用“韋達定理”或“點差法”求解。在橢圓中，以為中點的弦所在直線的斜率k=；在雙曲線中，以為中點的弦所在直線的斜率k=；在拋物線中，以為中點的弦所在直線的斜率k=。如（1）如果橢圓弦被點A（4，2）平分，那么這條弦所在的直線方程是 （答：）；（2）已知直線y=x+1與橢圓相交于A、B兩點，且線段AB的中點在直線L：x2y=0上，則此橢圓的離心率為_（答：）；（3）試確定m的取值范圍，使得橢圓上有不同的兩點關于直線對稱（答：）； 特別提醒：因為是直線與圓錐曲線相交于兩點的必要條件，故在求解有關弦長、對稱問題時，務必別忘了檢驗！12你了解下列結論嗎？（1）雙曲線的漸近線方程為；（2）以為漸近線（即與雙曲線共漸近線）的雙曲線方程為為參數，0）。如與雙曲線有共同的漸近線，且過點的雙曲線方程為_（答：）（3）中心在原點，坐標軸為對稱軸的橢圓、雙曲線方程可設為；（4）橢圓、雙曲線的通徑（過焦點且垂直于對稱軸的弦）為，焦準距（焦點到相應準線的距離）為，拋物線的通徑為，焦準距為； （5）通徑是所有焦點弦（過焦點的弦）中最短的弦；（6）若拋物線的焦點弦為AB，則；（7）若OA、OB是過拋物線頂點O的兩條互相垂直的弦，則直線AB恒經過定點13動點軌跡方程：（1）求軌跡方程的步驟：建系、設點、列式、化簡、確定點的范圍；（2）求軌跡方程的常用方法：直接法：直接利用條件建立之間的關系；如已知動點P到定點F(1,0)和直線的距離之和等于4，求P的軌跡方程（答：或）；待定系數法：已知所求曲線的類型，求曲線方程先根據條件設出所求曲線的方程，再由條件確定其待定系數。如線段AB過x軸正半軸上一點M（m，0），端點A、B到x軸距離之積為2m，以x軸為對稱軸，過A、O、B三點作拋物線，則此拋物線方程為（答：）；定義法：先根據條件得出動點的軌跡是某種已知曲線，再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程；如(1)由動點P向圓作兩條切線PA、PB，切點分別為A、B，APB=600，則動點P的軌跡方程為（答：）；（2）點M與點F(4,0)的距離比它到直線的距離小于1，則點M的軌跡方程是_ （答：）；(3) 一動圓與兩圓M：和N：都外切，則動圓圓心的軌跡為（答：雙曲線的一支）；代入轉移法：動點依賴于另一動點的變化而變化，并且又在某已知曲線上，則可先用的代數式表示，再將代入已知曲線得要求的軌跡方程；如動點P是拋物線上任一點，定點為,點M分所成的比為2，則M的軌跡方程為_（答：）；參數法：當動點坐標之間的關系不易直接找到，也沒有相關動點可用時，可考慮將均用一中間變量（參數）表示，得參數方程，再消去參數得普通方程）。如（1）AB是圓O的直徑，且|AB|=2a，M為圓上一動點，作MNAB，垂足為N，在OM上取點，使，求點的軌跡。（答：）；（2）若點在圓上運動，則點的軌跡方程是_（答：）；（3）過拋物線的焦點F作直線交拋物線于A、B兩點，則弦AB的中點M的軌跡方程是_（答：）；注意：如果問題中涉及到平面向量知識，那么應從已知向量的特點出發(fā)，考慮選擇向量的幾何形式進行“摘帽子或脫靴子”轉化，還是選擇向量的代數形式進行“摘帽子或脫靴子”轉化。如已知橢圓的左、右焦點分別是F1（c，0）、F2（c，0），Q是橢圓外的動點，滿足點P是線段F1Q與該橢圓的交點，點T在線段F2Q上，并且滿足（1）設為點P的橫坐標，證明；（2）求點T的軌跡C的方程；（3）試問：在點T的軌跡C上，是否存在點M，使F1MF2的面積S=若存在，求F1MF2的正切值；若不存在，請說明理由. （答：（1）略；（2）；（3）當時不存在；當時存在，此時F1MF22）曲線與曲線方程、軌跡與軌跡方程是兩個不同的概念，尋求軌跡或軌跡方程時應注意軌跡上特殊點對軌跡的“完備性與純粹性”的影響.在與圓錐曲線相關的綜合題中，常借助于“平面幾何性質”數形結合(如角平分線的雙重身份對稱性、利用到角公式)、“方程與函數性質”化解析幾何問題為代數問題、“分類討論思想”化整為零分化處理、“求值構造等式、求變量范圍構造不等關系”等等.如果在一條直線上出現“三個或三個以上的點”，那么可選擇應用“斜率或向量”為橋梁轉化.14、解析幾何與向量綜合時可能出現的向量內容：（1） 給出直線的方向向量或；（2）給出與相交,等于已知過的中點;（3）給出,等于已知是的中點;（4）給出,等于已知與的中點三點共線;（5） 給出以下情形之一：；存在實數；若存在實數,等于已知三點共線.（6） 給出，等于已知是的定比分點，為定比，即（7） 給出,等于已知,即是直角,給出,等于已知是鈍角, 給出,等于已知是銳角,（8）給出,等于已知是的平分線/（9）在平行四邊形中，給出，等于已知是菱形;（10） 在平行四邊形中，給出，等于已知是矩形;（11）在中，給出，等于已知是的外心（三角形外接圓的圓心，三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點）；（12） 在中，給出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三條中線的交點）；（13）在中，給出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三條高的交點）；（14）在中，給出等于已知通過的內心；（15）在中，給出等于已知是的內心（三角形內切圓的圓心，三角形的內心是三角形三條角平分線的交點）；（16） 在中，給出,等于已知是中邊的中線;求解圓錐曲線問題的幾種措施 圓錐曲線中的知識綜合性較強，因而解題時就需要運用多種基礎知識、采用多種數學手段來處理問題。熟記各種定義、基本公式、法則固然重要，但要做到迅速、準確解題，還須掌握一些方法和技巧。一. 緊扣定義，靈活解題靈活運用定義，方法往往直接又明了。例1. 已知點A（3，2），F（2，0），雙曲線，P為雙曲線上一點。求的最小值。 解析：如圖所示， 雙曲線離心率為2，F為右焦點，由第二定律知即點P到準線距離。 二. 引入參數，簡捷明快參數的引入，尤如化學中的催化劑，能簡化和加快問題的解決。例2. 求共焦點F、共準線的橢圓短軸端點的軌跡方程。 解：取如圖所示的坐標系，設點F到準線的距離為p（定值），橢圓中心坐標為M（t，0）（t為參數） ，而 再設橢圓短軸端點坐標為P（x，y），則 消去t，得軌跡方程三. 數形結合，直觀顯示將“數”與“形”兩者結合起來，充分發(fā)揮“數”的嚴密性和“形”的直觀性，以數促形，用形助數，結合使用，能使復雜問題簡單化，抽象問題形象化。熟練的使用它，常能巧妙地解決許多貌似困難和麻煩的問題。例3. 已知，且滿足方程，又，求m范圍。 解析：的幾何意義為，曲線上的點與點（3，3）連線的斜率，如圖所示 四. 應用平幾，一目了然用代數研究幾何問題是解析幾何的本質特征，因此，很多“解幾”題中的一些圖形性質就和“平幾”知識相關聯，要抓住關鍵，適時引用，問題就會迎刃而解。例4. 已知圓和直線的交點為P、Q，則的值為_。 解： 五. 應用平面向量，簡化解題向量的坐標形式與解析幾何有機融為一體，因此，平面向量成為解決解析幾何知識的有力工具。例5. 已知橢圓：，直線：，P是上一點，射線OP交橢圓于一點R，點Q在OP上且滿足，當點P在上移動時，求點Q的軌跡方程。 分析：考生見到此題基本上用的都是解析幾何法，給解題帶來了很大的難度，而如果用向量共線的條件便可簡便地解出。 解：如圖，共線，設，則， 點R在橢圓上，P點在直線上 ， 即 化簡整理得點Q的軌跡方程為： （直線上方部分）六. 應用曲線系，事半功倍利用曲線系解題，往往簡捷明快，收到事半功倍之效。所以靈活運用曲線系是解析幾何中重要的解題方法和技巧之一。例6. 求經過兩圓和的交點，且圓心在直線上的圓的方程。 解：設所求圓的方程為： 則圓心為，在直線上 解得 故所求的方程為七. 巧用點差，簡捷易行在圓錐曲線中求線段中點軌跡方程，往往采用點差法，此法比其它方法更簡捷一些。例7. 過點A（2，1）的直線與雙曲線相交于兩點P1、P2，求線段P1P2中點的軌跡方程。 解：設，則 得 即 設P1P2的中點為，則 又，而P1、A、M、P2共線 ，即 中點M的軌跡方程是解析幾何題怎么解高考解析幾何試題一般共有4題(2個選擇題, 1個填空題, 1個解答題), 共計30分左右, 考查的知識點約為20個左右. 其命題一般緊扣課本, 突出重點, 全面考查. 選擇題和填空題考查直線, 圓, 圓錐曲線, 參數方程和極坐標系中的基礎知識. 解答題重點考查圓錐曲線中的重要知識點, 通過知識的重組與鏈接, 使知識形成網絡, 著重考查直線與圓錐曲線的位置關系, 求解有時還要用到平幾的基本知識,這點值得考生在復課時強化. 例1 已知點T是半圓O的直徑AB上一點，AB=2、OT=t (0t1)，以AB為直腰作直角梯形，使垂直且等于AT，使垂直且等于BT，交半圓于P、Q兩點，建立如圖所示的直角坐標系.(1)寫出直線的方程； （2）計算出點P、Q的坐標； （3）證明：由點P發(fā)出的光線，經AB反射后，反射光線通過點Q. 講解: 通過讀圖, 看出點的坐標.(1 ) 顯然, 于是 直線的方程為；（2）由方程組解出、； （3）, . 由直線PT的斜率和直線QT的斜率互為相反數知，由點P發(fā)出的光線經點T反射，反射光線通過點Q.需要注意的是, Q點的坐標本質上是三角中的萬能公式, 有趣嗎?例2 已知直線l與橢圓有且僅有一個交點Q，且與x軸、y軸分別交于R、S，求以線段SR為對角線的矩形ORPS的一個頂點P的軌跡方程 講解：從直線所處的位置, 設出直線的方程, 由已知，直線l不過橢圓的四個頂點，所以設直線l的方程為代入橢圓方程 得 化簡后，得關于的一元二次方程 于是其判別式由已知，得=0即 在直線方程中，分別令y=0，x=0，求得 令頂點P的坐標為（x，y）， 由已知，得 代入式并整理，得 , 即為所求頂點P的軌跡方程方程形似橢圓的標準方程, 你能畫出它的圖形嗎? 例3已知雙曲線的離心率，過的直線到原點的距離是 （1）求雙曲線的方程； （2）已知直線交雙曲線于不同的點C，D且C，D都在以B為圓心的圓上，求k的值. 講解：（1）原點到直線AB：的距離. 故所求雙曲線方程為 （2）把中消去y，整理得 . 設的中點是，則 即故所求k=.為了求出的值, 需要通過消元, 想法設法建構的方程. 例4 已知橢圓C的中心在原點，焦點F1、F2在x軸上，點P為橢圓上的一個動點，且F1PF2的最大值為90，直線l過左焦點F1與橢圓交于A、B兩點，ABF2的面積最大值為12 （1）求橢圓C的離心率； （2）求橢圓C的方程 講解：（1）設, 對 由余弦定理, 得，解出 （2）考慮直線的斜率的存在性，可分兩種情況： i) 當k存在時，設l的方程為 橢圓方程為 由 得 .于是橢圓方程可轉化為 將代入，消去得 ,整理為的一元二次方程，得 .則x1、x2是上述方程的兩根且，也可這樣求解： ，AB邊上的高 ii) 當k不存在時，把直線代入橢圓方程得 由知S的最大值為 由題意得=12 所以 故當ABF2面積最大時橢圓的方程為： 下面給出本題的另一解法,請讀者比較二者的優(yōu)劣：設過左焦點的直線方程為：（這樣設直線方程的好處是什么？還請讀者進一步反思反思.）橢圓的方程為：由得：于是橢圓方程可化為：把代入并整理得：于是是上述方程的兩根.,AB邊上的高,從而當且僅當m=0取等號，即由題意知, 于是 .故當ABF2面積最大時橢圓的方程為： 例5 已知直線與橢圓相交于A、B兩點，且線段AB的中點在直線上.（）求此橢圓的離心率；（2 ）若橢圓的右焦點關于直線的對稱點的在圓上，求此橢圓的方程.講解:（1）設A、B兩點的坐標分別為 得, 根據韋達定理，得 線段AB的中點坐標為（）. 由已知得，故橢圓的離心率為 . （2）由（1）知從而橢圓的右焦點坐標為 設關于直線的對稱點為解得 由已知得 ，故所求的橢圓方程為 .例6 已知M：軸上的動點，QA，QB分別切M于A，B兩點，（1）如果，求直線MQ的方程；（2）求動弦AB的中點P的軌跡方程.講解:（1）由，可得由射影定理，得 在RtMOQ中，