2018屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第七章第二節(jié)空間幾何體的表面積與體積學(xué)案文.docx

1.了解球、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積計(jì)算公式2了解球、柱體、錐體、臺(tái)體的體積計(jì)算公式知識(shí)點(diǎn)一空間幾何體的表面積 1圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式圓柱圓錐圓臺(tái)側(cè)面展開圖側(cè)面積公式S圓柱側(cè)_S圓錐側(cè)_S圓臺(tái)側(cè)(rr)l2.多面體的側(cè)面積和表面積因?yàn)槎嗝骟w的各個(gè)面都是平面，所以多面體的側(cè)面積就是側(cè)面展開圖的面積，表面積是側(cè)面積與底面積的和答案12rlrl1(2016新課標(biāo)全國卷)如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()A20 B24C28 D32解析：該幾何體是圓錐與圓柱的組合體，由三視圖可知圓柱底面圓的半徑r2，底面圓的周長c2r4，圓錐的母線長l4，圓柱的高h(yuǎn)4，所以該幾何體的表面積S表r2chcl416828，故選C.答案：C2(必修P36A組第10題改編)一直角三角形的三邊長分別為6 cm，8 cm, 10 cm，繞斜邊旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體的表面積為_解析：旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為以 cm為半徑的兩個(gè)同底面的圓錐，其表面積為S68(cm2)答案：(cm2)知識(shí)點(diǎn)二空間幾何體的體積 1柱體：V_；2棱錐：V_；3棱臺(tái)：Vh(S上S下)；4球：VR3.答案1Sh2.Sh3(2016新課標(biāo)全國卷)體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為()A12 B. C8 D4解析：由正方體的體積為8可知，正方體的棱長a2.又正方體的體對(duì)角線是其外接球的一條直徑，即2Ra(R為正方體外接球的半徑)，所以R，故所求球的表面積S4R212.答案：A4(必修P28習(xí)題1.3A組第3題改編)如圖，將一個(gè)長方體用過相鄰三條棱的中點(diǎn)的平面截出一個(gè)棱錐，則該棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比為_解析：設(shè)長方體的相鄰三條棱長分別為a，b，c，它截出棱錐的體積為V1abcabc，剩下的幾何體的體積V2abcabcabc, 所以V1V2147.答案：1475三棱錐PABC中，PA底面ABC，PA3，底面ABC是邊長為2的正三角形，則三棱錐PABC的體積等于_解析：PA底面ABC，PA為三棱錐PABC的高，且PA3.底面ABC為正三角形且邊長為2，底面面積為22sin60，VPABC3.答案：熱點(diǎn)一空間幾何體的表面積 【例1】(1)(2016新課標(biāo)全國卷)如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑，若該幾何體的體積是，則它的表面積是()A17 B18C20 D28(2)(2017黑龍江哈師大附中一模)已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A. B.C13 D.【解析】(1)由三視圖可得此幾何體為一個(gè)球切割掉后剩下的幾何體，設(shè)球的半徑為r，故r3，所以r2，表面積S4r2r217，選A.(2)由三視圖可知幾何體為三棱臺(tái)，作出直觀圖如圖所示則CC平面ABC，上下底均為等腰直角三角形，ACBC，ACBC1，ACBCCC2，AB，AB2.棱臺(tái)的上底面積為11，下底面積為222，梯形ACCA的面積為(12)23，梯形BCCB的面積為(12)23，過A作ADAC于D，過D作DEAB，則ADCC2，DE為ABC斜邊高的，DE，AE，梯形ABBA的面積為(2)，幾何體的表面積S23313，故選C.【答案】(1)A(2)C【總結(jié)反思】(1)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和；組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理(2)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和.某幾何體的三視圖如下圖所示，則該幾何體的表面積為()A54B60C66D72解析：根據(jù)幾何體的三視圖可得該幾何體的直觀圖為如圖所示的ABCDEF，故其表面積為SSDEFSABCS梯形ABEDS梯形CBEFS矩形ACFD3534(52)4(52)53560.故選B.答案：B熱點(diǎn)二 空間幾何體的體積 【例2】如圖所示，已知E，F(xiàn)分別是棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1的棱A1A，CC1的中點(diǎn)，則四棱錐C1B1EDF的體積為_【解析】(1)法1：連接A1C1，B1D1交于點(diǎn)O1，連接B1D，EF，過O1作O1HB1D于H.EFA1C1，且A1C1平面B1EDF，EF平面B1EDF，A1C1平面B1EDF.C1到平面B1EDF的距離就是A1C1到平面B1EDF的距離平面B1D1D平面B1EDF，且平面B1D1D平面B1EDFB1D，O1H平面B1EDF，即O1H為棱錐的高，B1O1HB1DD1，O1Ha.VC1B1EDFS四邊形B1EDFO1HEFB1DO1Haaaa3.法2：連接EF，B1D.設(shè)B1到平面C1EF的距離為h1，D到平面C1EF的距離為h2，則h1h2B1D1a.由題意得，VC1B1EDFVB1C1EFVDC1EFSC1EF(h1h2)a3.【答案】a3【總結(jié)反思】(1)若所給定的幾何體是柱體、錐體或臺(tái)體等規(guī)則幾何體，則可直接利用公式進(jìn)行求解其中，等積轉(zhuǎn)換法多用來求三棱錐的體積(2)若所給定的幾何體是不規(guī)則幾何體，則將不規(guī)則的幾何體通過分割或補(bǔ)形轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體，再利用公式求解(3)若以三視圖的形式給出幾何體，則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解.(1)一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為()A. B.C. D.(2)如圖，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且ADE，BCF均為正三角形，EFAB，EF2，則該多面體的體積為()A. B.C. D.解析：(1)由已知三視圖知該幾何體是由一個(gè)正方體截去了一個(gè)“大角”后剩余的部分，如圖所示，截去部分是一個(gè)三棱錐設(shè)正方體的棱長為1，則三棱錐的體積為V1111，剩余部分的體積V213，所以.(2)如圖，分別過點(diǎn)A，B作EF的垂線，垂足分別為G，H，連接DG，CH，容易求得EGHF，AGGDBHHC，則BHC中BC邊的高h(yuǎn).SAGDSBHC1，VVEADGVFBHCVAGDBHC2VEADGVAGDBHC21.答案：(1)D(2)A熱點(diǎn)三 與球有關(guān)的切、接問題 考向1球的內(nèi)接問題【例3】已知三棱錐SABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC2，則此棱錐的體積為()A. B.C. D.【解析】由于三棱錐SABC與三棱錐OABC底面都是ABC，O是SC的中點(diǎn)，因此三棱錐SABC的高是三棱錐OABC高的2倍，所以三棱錐SABC的體積也是三棱錐OABC體積的2倍在三棱錐OABC中，其棱長都是1，如圖所示，SABCAB2，高OD，VSABC2VOABC2.【答案】A考向2球的外切問題【例4】若一個(gè)正四面體的表面積為S1，其內(nèi)切球的表面積為S2，則_.【解析】設(shè)正四面體棱長為a，則正四面體表面積為S14a2a2，其內(nèi)切球半徑為正四面體高的，即raa，因此內(nèi)切球表面積為S24r2，則.【答案】【總結(jié)反思】空間幾何體與球接、切問題的求解方法(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時(shí)，一般過球心及接、切點(diǎn)作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形問題，再利用平面幾何知識(shí)尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解(2)若球面上四點(diǎn)P，A，B，C構(gòu)成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PAa，PBb，PCc，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一個(gè)球內(nèi)接長方體，利用4R2a2b2c2求解.(1)(2017張掖模擬)如圖是一個(gè)空間幾何體的三視圖，該幾何體的外接球的體積記為V1，俯視圖繞斜邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體的體積記為V2，則V1V2()A12 B8C6 D4(2)如圖，已知球O是棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1的內(nèi)切球，則平面ACD1截球O的截面面積為()A. B.C. D.解析：(1)三視圖復(fù)原的幾何體如圖，它是底面為等腰直角三角形，一條側(cè)棱垂直底面的三棱錐，它的外接球，就是擴(kuò)展為長方體的外接球，外接球的直徑是2，該幾何體的外接球的體積V1()3，V22，所以V1V24.(2)平面ACD1截球O的截面為ACD1的內(nèi)切圓因?yàn)檎襟w的棱長為1，所以ACCD1AD1，所以內(nèi)切圓的半徑r，所以Sr2.答案：(1)D(2)C1對(duì)于基本概念和能用公式直接求棱柱、棱錐、棱臺(tái)與球的表面積的問題，要結(jié)合它們的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)與平面幾何知識(shí)來解決，這種題目難度不大2要注意將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題3當(dāng)給出的幾何體比較復(fù)雜，有關(guān)的計(jì)算公式無法運(yùn)用，或者雖然幾何體并不復(fù)雜，但條件中的已知元素彼此離散時(shí)，我們可采用“割”、“補(bǔ)”的技巧，化復(fù)雜幾何體為簡單幾何體(柱、錐、臺(tái))，或化離散為集中，給解題提供便利如何巧妙確定各類外接球的球心簡單多面體的外接球問題是立體幾何中的難點(diǎn)也是重要的考點(diǎn)，此類問題最能有效考查考生的空間想象能力，自然受到命題者的青睞有些同學(xué)對(duì)于此類問題的解答，往往不知從何處入手，其實(shí)簡單多面體的外接球問題實(shí)質(zhì)上就是解決球的半徑和確定球心位置的問題，其中球心的確定是關(guān)鍵，抓住球心就抓住了球的位置為此下面介紹了幾個(gè)解決球類問題的策略，可以快速秒殺各類球的球心一、由球的定義確定球心若一個(gè)多面體的各頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上，則稱這個(gè)多面體是這個(gè)球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球是這個(gè)多面體的外接球也就是說如果一個(gè)定點(diǎn)到一個(gè)簡單多面體的所有頂點(diǎn)的距離都相等，那么這個(gè)定點(diǎn)就是該簡單多面體外接球的球心深刻理解球的定義，可以得到簡單多面體的一些常見結(jié)論：1長方體或正方體的外接球的球心是其體對(duì)角線的中點(diǎn)；2正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心連線的中點(diǎn)；3直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心連線的中點(diǎn)；4正棱錐的外接球球心在其高上，具體位置可通過建立直角三角形運(yùn)用勾股定理計(jì)算得到；5若棱錐的頂點(diǎn)可構(gòu)成共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點(diǎn)就是其外接球的球心【例1】已知各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上的正四棱柱的高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是()A16 B20C24 D32【解析】已知各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上的正四棱柱的高為4，體積為16，可求得底面邊長為2，故球的直徑為2，半徑為，球的表面積為24，故選C.【答案】C解題策略：本題是運(yùn)用“正四棱柱的體對(duì)角線的長等于其外接球的直徑”這一性質(zhì)來迅速求解的二、構(gòu)造長方體或正方體確定球心1正四面體、三條側(cè)棱兩兩垂直的正三棱錐、四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐，可將三棱錐補(bǔ)形成長方體或正方體；2同一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱兩兩垂直的四面體、相對(duì)的棱相等的三棱錐，可將三棱錐補(bǔ)形成長方體或正方體；3若已知棱錐含有線面垂直關(guān)系，則可將棱錐補(bǔ)形成長方體或正方體；4若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，則可將三棱錐補(bǔ)形成長方體或正方體【例2】若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為，則其外接球的體積是_【解析】三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為，則可將三棱錐補(bǔ)形成正方體，從而外接球的直徑為3，半徑為，故所求外接球的體積V()3.【答案】解題策略：一般地，若一個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長度分別為a、b、c，則可以將這個(gè)三棱錐補(bǔ)形成一個(gè)長方體，于是長方體的體對(duì)角線的長就是該三棱錐外接球的直徑設(shè)其外接球的半徑為R，則2R.三、由性質(zhì)確定球心利用球心O與截面圓圓心O的連線垂直于截面圓及球心O與弦中點(diǎn)的連線垂直于弦的性質(zhì)，確定球心【例3】正三棱錐ABCD內(nèi)接于球O，且底面邊長為，側(cè)棱長為2