角平分線的四大模型(Word版).doc

角平分線四大模型模型一：角平分線上的點(diǎn)向兩邊作垂線如圖，P是MON的平分線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PAOM于點(diǎn)A,PBON于點(diǎn)B,則PB=PA.模型分析：利用角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，構(gòu)造模型，為邊相等、角相等、三角形全等創(chuàng)造更多的條件，進(jìn)而可以快速找到解題的突破口。例1：（1）如圖，在ABC,C=90，AD平分CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么點(diǎn)D到AB的距離是_cm(2)如圖，已知1=2，3=4，求證：AP平分BAC.練習(xí)1 如圖，在四邊形ABCD中，BCBA，AD=DC，BD平分ABC.求證：BAD+C=180練習(xí)2 如圖，ABC的外角ACD的平分線CP與內(nèi)角ABC的平分線BP交于點(diǎn)P，若BPC=40，則CAP=（）A. 40 B. 45 C. 50 D. 60模型二：截取構(gòu)造對(duì)稱(chēng)全等如圖，P是MON的平分線上一點(diǎn)，點(diǎn)A是射線OM上任意一點(diǎn)，在ON上截取OB=OA，連接PB，則OPBOPA.模型分析：利用角平分線圖形的對(duì)稱(chēng)性，在角的兩邊構(gòu)造對(duì)稱(chēng)全等三角形，可以得到對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等、利用對(duì)稱(chēng)性把一些線段或角進(jìn)行轉(zhuǎn)移，這是經(jīng)常使用的一種解題技巧。例2：(1)如圖所示，在ABC中，AD是BAC的外角平分線，P是AD上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，試比較PB+PC與AB+AC的大小，并說(shuō)明理由 (2)如圖所示AD是ABC的內(nèi)角平分線，其他條件不變，試比較PC -PB與AC-AB的大小，并說(shuō)明理由練習(xí) 3 已知：ABC中，A=2B，CD是ACB的平分線，AC=16，AD=8，求線段BC的長(zhǎng)。練習(xí)4 已知,如圖AB=AC,A=108，BD平分ABC交AC于D，求證：BC=AB+CD.練習(xí)5 如圖,在ABC中,A=100,ABC=40，BD是ABC的平分線，延長(zhǎng)BD至E，使DE=AD.求證：BC=AB+CE.模型三：角平分線+垂線構(gòu)造等腰三角形如圖，P是MON的平分線上一點(diǎn)，APOP于P點(diǎn)，延長(zhǎng)AP交ON于點(diǎn)B,則AOB是等腰三角形。模型分析：構(gòu)造次模型可以利用等腰三角形的“三線合一”，也可以得到兩個(gè)全等的直角三角形，進(jìn)而得到對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等。這個(gè)模型敲門(mén)地把角平分線和三線合一聯(lián)系在一起。例3：如圖所示，已知等腰直角三角形ABC中，A=90，AB =AC，BD平分ABC，CEBD，垂足為點(diǎn)E，求證：BD=2CE練習(xí)6 如圖，在ABC中，BE是ABC的角平分線，ADBE，垂足為D，求證：2=1+C。練習(xí)7 如圖,在ABC中,ABC=3C,AD平分BAC,BEAD于E,求證：BE=12(ACAB).模型四：角平分線+平行線如圖，P是MON的平分線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PA/ON,交OM于點(diǎn)Q.則POQ是等腰三角形.模型分析：有角平分線時(shí)，常過(guò)角平分線上一點(diǎn)作角的一邊的平行線，構(gòu)造等腰三角形，為證明結(jié)論提供更多的條件，體現(xiàn)了角平分線與等腰三角形之間的密切關(guān)系。例4：閱讀并完成以下問(wèn)題：已知,ABC中,ABC、ACB的平分線相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O作EFBC交AB、AC于點(diǎn)E. F. 當(dāng)AB=AC,易證BEO與CFO為等腰三角形,則有EF=BE+CF.(如圖1)當(dāng)ABAC,其他條件不變,如圖(2)，則EF=BE+CF還成立嗎?答：_.當(dāng)ABAC時(shí),作ABC的平分線與ACB的外角ACD的平分線CO交于O,過(guò)O點(diǎn)作OEBC交AB于E,交AC于F. 如圖(3)，這時(shí)EF與BE、CF間的關(guān)系又如何呢?請(qǐng)寫(xiě)出并證明你的結(jié)論?當(dāng)ABAC時(shí)，作ABC的外角平分線與ACB的外角平分線或延長(zhǎng)線交于O，過(guò)O點(diǎn)作BC的平行線，交AB延長(zhǎng)線于E，交AC的延長(zhǎng)線于F. 請(qǐng)根據(jù)以上的要求畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出這時(shí)EF與BE、CF間的關(guān)系?練習(xí)8 如圖，在ABC中，ABC和ACB的平分線相交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作MNBC交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N.若BM+CN=9，則線段MN的長(zhǎng)是.練習(xí)9 如圖,在ABC,AD平分BAC,E、F分別在BD、AD上,且DE=CD,EF=AC,求證：EFAB.練習(xí)10 如