人教A版必修二 4.2.1 直線與圓的位置關系 學案.doc

4.2直線、圓的位置關系4.2.1直線與圓的位置關系1理解直線與圓的三種位置關系(重點)2會用圓心到直線的距離來判斷直線與圓的位置關系(重點)3能解決直線與圓位置關系的綜合問題(易錯點、難點)基礎初探教材整理直線與圓的位置關系的判定閱讀教材p126p128“練習”以上部分，完成下列問題直線與圓的位置關系的判定位置關系相交相切相離公共點個數2個1個0個判定方法幾何法：設圓心到直線的距離ddrdrdr代數法：由消元得到一元二次方程的判別式000圖形直線3x4y50與圓x2y21的位置關系是()a相交b相切c相離d無法判斷【解析】圓心(0,0)到直線3x4y50的距離d1，又圓x2y21的半徑r1，dr，故直線與圓相切【答案】b 小組合作型直線與圓的位置關系的判定已知直線方程mxym10，圓的方程x2y24x2y10.當m為何值時，直線與圓：(1)有兩個公共點；(2)只有一個公共點；(3)沒有公共點【精彩點撥】可聯立方程組，由方程組解的個數判斷，也可求出圓心到直線的距離，通過與半徑比較判斷【自主解答】法一：將直線mxym10代入圓的方程，化簡、整理得，(1m2)x22(m22m2)xm24m40.4m(3m4)，當0，即m0或m時，直線與圓相交，即直線與圓有兩個公共點；當0，即m0或m時，直線與圓相切，即直線與圓只有一個公共點；當0，即m0時，直線與圓相離，即直線與圓沒有公共點法二：已知圓的方程可化為(x2)2(y1)24，即圓心為(2,1)，半徑r2.圓心(2,1)到直線mxym10的距離d.當d2，即m0或m時，直線與圓相交，即直線與圓有兩個公共點；當d2，即m0或m時，直線與圓相切，即直線與圓只有一個公共點；當d2，即m0時，直線與圓相離，即直線與圓沒有公共點直線與圓的位置關系的判斷方法1幾何法：由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關系判斷2代數法：根據直線方程與圓的方程組成的方程組解的個數來判斷3直線系法：若直線恒過定點，可通過判斷點與圓的位置關系來判斷直線與圓的位置關系，但有一定的局限性，必須是過定點的直線系再練一題1已知圓c的方程是(x1)2(y1)24，直線l的方程為yxm，求：當m為何值時，(1)直線平分圓；(2)直線與圓相切；(3)直線與圓有兩個公共點【解】(1)因為直線平分圓，所以圓心(1,1)在直線yxm上，故有m0.(2)因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，所以d2，m2，即m2時，直線l與圓相切(3)直線與圓有兩公共點，dr，即2，所以2m2時有兩個公共點直線與圓相切的有關問題過點a(4，3)作圓c：(x3)2(y1)21的切線，求此切線的方程. 【精彩點撥】利用圓心到切線的距離等于圓的半徑求出切線斜率，進而求出切線方程【自主解答】因為(43)2(31)2171，所以點a在圓外(1)若所求切線的斜率存在，設切線斜率為k，則切線方程為y3k(x4)因為圓心c(3,1)到切線的距離等于半徑，半徑為1，所以1，即|k4|，所以k28k16k21，解得k.所以切線方程為y3(x4)，即15x8y360.(2)若直線斜率不存在，圓心c(3,1)到直線x4的距離也為1，這時直線與圓也相切，所以另一條切線方程是x4.綜上，所求切線方程為15x8y360或x4.過一點的圓的切線方程的求法1當點在圓上時，圓心與該點的連線與切線垂直，從而求得切線的斜率，用直線的點斜式方程可求得圓的切線方程2若點在圓外時，過這點的切線有兩條，但在用設斜率來解題時可能求出的切線只有一條，這是因為有一條過這點的切線的斜率不存在再練一題2求過點(1，7)且與圓x2y225相切的直線方程【解】由題意知切線斜率存在，設切線的斜率為k，則切線方程為y7k(x1)，即kxyk70.5，解得k或k.所求切線方程為y7(x1)或y7(x1)，即4x3y250或3x4y250.探究共研型圓的弦長問題探究1已知直線l與圓相交，如何利用通過求交點坐標的方法求弦長？【提示】將直線方程與圓的方程聯立解出交點坐標，再利用|ab|求弦長探究2若直線與圓相交、圓的半徑為r、圓心到直線的距離為d，如何求弦長？【提示】通過半弦長、弦心距、半徑構成的直角三角形，如圖所示，求得弦長l2.求直線l：3xy60被圓c：x2y22y40截得的弦長【精彩點撥】本題可以考慮利用弦心距，半弦長和半徑構成的直角三角形求解若交點坐標易求，則可以聯立解方程組，求出交點坐標，利用兩點間的距離公式求解【自主解答】法一圓c：x2y22y40可化為x2(y1)25，其圓心坐標為(0,1)，半徑r.點(0,1)到直線l的距離為d，l2，所以截得的弦長為.法二設直線l與圓c交于a、b兩點由得交點a(1,3)，b(2,0)，所以弦ab的長為|ab|.求弦長常用的三種方法1利用圓的半徑r，圓心到直線的距離d，弦長l之間的關系r2d22解題2利用交點坐標若直線與圓的交點坐標易求出，求出交點坐標后，直接用兩點間距離公式計算弦長3利用弦長公式設直線l：ykxb，與圓的兩交點(x1，y1)，(x2，y2)，將直線方程代入圓的方程，消元后利用根與系數的關系得弦長l|x1x2|.再練一題3直線x2y50被圓x2y22x4y0截得的弦長為()a1b2c4d4【解析】圓的方程可化為c：(x1)2(y2)25，其圓心為c(1,2)，半徑r.如圖所示，取弦ab的中點p，連接cp，則cpab，圓心c到直線ab的距離d|cp|1.在rtacp中，|ap|2，故直線被圓截得的弦長|ab|4.【答案】c1直線3x4y120與圓(x1)2(y1)29的位置關系是()a過圓心b相切c相離d相交但不過圓心【解析】圓心(1，1)到直線3x4y120的距離dr.【答案】d2已知直線axbyc0(ab0)與圓x2y21相切，則三邊長分別為|a|，|b|，|c|的三角形是()a銳角三角形b直角三角形c鈍角三角形d不存在【解析】由題意知，1，a2b2c2，因此三角形為直角三角形【答案】b3已知圓c的圓心是直線xy10與x軸的交點，且圓c與直線xy30相切，則圓c的方程為_【解析】令y0得x1，所以直線xy10與x軸的交點為(1,0)因為直線xy30與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即r，所以圓c的方程為(x1)2y22.【答案】(x1)2y224過點p(1,2)且與圓c：x2y25相切的直線方程是_. 【解析】點p(1,2)是圓x2y25上的點，圓心為c(0,0)，則kpc2，所以k，y2(x1)故所求切線方程是x2y50.【答案】x2y505過點(1，2)的直線l被圓x2y22x2y10截得的弦長為，求