人教B版選修22 1.3.3 導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 課件（53張）.pptx

1 3 3導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 第一章 1 3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 學(xué)習(xí)目標(biāo)1 了解導(dǎo)數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用 2 掌握利用導(dǎo)數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際生活中的優(yōu)化問題 題型探究 知識(shí)梳理 內(nèi)容索引 當(dāng)堂訓(xùn)練 知識(shí)梳理 知識(shí)點(diǎn)生活中的最優(yōu)化問題 1 最優(yōu)化問題的概念在經(jīng)濟(jì)生活中 為使經(jīng)營(yíng)利潤(rùn) 生產(chǎn)效率 或?yàn)槭褂昧?用料 消耗等 需要尋求相應(yīng)的最佳方案或最佳策略 這些都是最優(yōu)化問題 2 解決最優(yōu)化問題的基本步驟 1 分析實(shí)際問題中各量之間的關(guān)系 寫出實(shí)際問題中變量之間的函數(shù)關(guān)系y f x 2 求導(dǎo)函數(shù)f x 解方程f x 0 3 比較函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)和極值點(diǎn)處的函數(shù)值的大小 最大的一個(gè)為最大值 最小的一個(gè)為最小值 4 依據(jù)實(shí)際問題的意義給出答案 最大 最高 最省 最少 最省 題型探究 類型一平面幾何中的最值問題 解答 例1如圖所示 在二次函數(shù)f x 4x x2的圖象與x軸所圍成圖形中有一個(gè)內(nèi)接矩形abcd 求這個(gè)矩形面積的最大值 解設(shè)點(diǎn)b的坐標(biāo)為 x 0 且0 x 2 f x 4x x2圖象的對(duì)稱軸為x 2 點(diǎn)c的坐標(biāo)為 4 x 0 bc 4 2x ba f x 4x x2 矩形面積為y 4 2x 4x x2 16x 12x2 2x3 y 16 24x 6x2 2 3x2 12x 8 平面圖形中的最值問題一般涉及線段 三角形 四邊形等圖形 主要研究與面積相關(guān)的最值問題 一般將面積用變量表示出來后求導(dǎo)數(shù) 求極值 從而求最值 反思與感悟 跟蹤訓(xùn)練1某市在市內(nèi)主干道北京路一側(cè)修建圓形休閑廣場(chǎng) 如圖 圓形廣場(chǎng)的圓心為o 半徑為100m 并與北京路一邊所在直線l相切于點(diǎn)m 點(diǎn)a為上半圓弧上一點(diǎn) 過點(diǎn)a作l的垂線 垂足為點(diǎn)b 市園林局計(jì)劃在 abm內(nèi)進(jìn)行綠化 設(shè) abm的面積為s 單位 m2 aon 單位 弧度 1 將s表示為 的函數(shù) 解答 解由題干圖知bm aosin 100sin ab mo aocos 100 100cos 則s mb ab 100sin 100 100cos 5000 sin sin cos 0 2 當(dāng)綠化面積s最大時(shí) 試確定點(diǎn)a的位置 并求最大面積 解答 解s 5000 2cos2 cos 1 5000 2cos 1 cos 1 即點(diǎn)a到北京路一邊l的距離為150m 類型二立體幾何中的最值問題 解答 例2某企業(yè)擬建造如圖所示的容器 不計(jì)厚度 長(zhǎng)度單位 米 其中容器的中間為圓柱體 左右兩端均為半球體 按照設(shè)計(jì)要求容器的體積為立方米 假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān) 已知圓柱體部分每平方米建造費(fèi)用為3千元 半球體部分每平方米建造費(fèi)用為4千元 設(shè)該容器的總建造費(fèi)用為y千元 1 將y表示成r的函數(shù) 并求該函數(shù)的定義域 兩端兩個(gè)半球的表面積之和為4 r2 解答 2 確定r和l為何值時(shí) 該容器的建造費(fèi)用最小 并求出最小建造費(fèi)用 令y 0 得0 r 2 所以當(dāng)r 2米時(shí) 該容器的建造費(fèi)用最小 為96 千元 解答 引申探究本例中 若r 0 1 求最小建造費(fèi)用 解由例2 2 可知 當(dāng)r 1時(shí) ymin 136 最小建造費(fèi)用為136 萬(wàn)元 1 立體幾何中的最值問題往往涉及空間圖形的表面積 體積 在此基礎(chǔ)上解決與實(shí)際相關(guān)的問題 2 解決此類問題必須熟悉簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積公式 如果已知圖形是由簡(jiǎn)單幾何體組合而成 則要分析其組合關(guān)系 將圖形進(jìn)行拆分或組合 以便簡(jiǎn)化求值過程 反思與感悟 跟蹤訓(xùn)練2現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉(cāng)庫(kù) 它由上下兩部分組成 上部的形狀是正四棱錐p a1b1c1d1 下部的形狀是正四棱柱abcd a1b1c1d1 如圖所示 并要求正四棱柱的高o1o是正棱錐的高po1的4倍 1 若ab 6m po1 2m 則倉(cāng)庫(kù)的容積是多少 解答 解由po1 2m知 o1o 4po1 8m 因?yàn)閍1b1 ab 6m 正四棱柱abcd a1b1c1d1的體積v柱 ab2 o1o 62 8 288 m3 所以倉(cāng)庫(kù)的容積v v錐 v柱 24 288 312 m3 2 若正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為6m 則當(dāng)po1為多少時(shí) 倉(cāng)庫(kù)的容積最大 解答 解設(shè)a1b1 am po1 hm 則0 h 6 o1o 4hm 連接o1b1 即a2 2 36 h2 類型三實(shí)際生活中的最值問題 例3已知一家公司生產(chǎn)某種品牌服裝的年固定成本為10萬(wàn)元 每生產(chǎn)1千件需另投入2 7萬(wàn)元 設(shè)該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該品牌服裝x千件并全部銷售完 每千件的銷售收入為r x 萬(wàn)元 且r x 1 求年利潤(rùn)w 萬(wàn)元 關(guān)于年產(chǎn)量x 千件 的函數(shù)解析式 解答 命題角度1利潤(rùn)最大問題 解當(dāng)0 x 10時(shí) 2 當(dāng)年產(chǎn)量為多少千件時(shí) 該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤(rùn)最大 并求出最大值 解答 解當(dāng)年產(chǎn)量為9千件時(shí) 該公司在這一品牌服裝的生產(chǎn)中所獲得的年利潤(rùn)最大 最大利潤(rùn)為38 6萬(wàn)元 解決此類有關(guān)利潤(rùn)的實(shí)際應(yīng)用題 應(yīng)靈活運(yùn)用題設(shè)條件 建立利潤(rùn)的函數(shù)關(guān)系 常見的基本等量關(guān)系有 1 利潤(rùn) 收入 成本 2 利潤(rùn) 每件產(chǎn)品的利潤(rùn) 銷售件數(shù) 反思與感悟 跟蹤訓(xùn)練3某商場(chǎng)銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明 該商品每日的銷售量y 單位 千克 與銷售價(jià)格x 單位 元 千克 滿足關(guān)系式y(tǒng) 10 x 6 2 其中3 x 6 a為常數(shù) 已知當(dāng)銷售價(jià)格為5元 千克時(shí) 每日可售出該商品11千克 1 求a的值 解答 所以a 2 2 若該商品的成本為3元 千克 試確定銷售價(jià)格x的值 使商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大 解答 所以商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)為 2 10 x 3 x 6 2 3 x 6 從而f x 10 x 6 2 2 x 3 x 6 30 x 4 x 6 由上表可知 x 4是函數(shù)f x 在區(qū)間 3 6 內(nèi)的極大值點(diǎn) 也是最大值點(diǎn) 所以當(dāng)x 4時(shí) 函數(shù)f x 取得最大值 且最大值等于42 答當(dāng)銷售價(jià)格為4元 千克時(shí) 商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大 于是 當(dāng)x變化時(shí) f x f x 的變化情況如下表 解答 例4有甲 乙兩個(gè)工廠 甲廠位于一直線河岸的岸邊a處 乙廠與甲廠在河的同側(cè) 乙廠位于離河岸40km的b處 乙廠到河岸的垂足d與a相距50km 兩廠要在此岸邊合建一個(gè)供水站c 從供水站到甲廠和乙廠的水管費(fèi)用分別為3a元 km和5a元 km 問供水站c建在岸邊何處才能使水管費(fèi)用最省 命題角度2費(fèi)用 用材 最省問題 解如圖 由題意知 只有點(diǎn)c位于線段ad上某一適當(dāng)位置時(shí) 才能使總費(fèi)用最省 設(shè)點(diǎn)c距點(diǎn)d為xkm 又設(shè)總的水管費(fèi)用為y元 令y 0 解得x 30 在 0 50 上 y只有一個(gè)極值點(diǎn) 根據(jù)問題的實(shí)際意義 函數(shù)在x 30km處取得最小值 此時(shí)ac 50 x 20 km 供水站建在a d之間距甲廠20km處 可使水管費(fèi)用最省 1 用料最省 成本最低問題是日常生活中常見的問題之一 解決這類問題要明確自變量的意義以及最值問題所研究的對(duì)象 正確書寫函數(shù)表達(dá)式 準(zhǔn)確求導(dǎo) 結(jié)合實(shí)際作答 2 利用導(dǎo)數(shù)的方法解決實(shí)際問題 當(dāng)在定義區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)點(diǎn)使f x 0時(shí) 如果函數(shù)在這點(diǎn)有極大 小 值 那么不與端點(diǎn)值比較 也可以知道在這個(gè)點(diǎn)取得最大 小 值 反思與感悟 跟蹤訓(xùn)練4為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗 房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層 某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層 每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬(wàn)元 該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用c 單位 萬(wàn)元 與隔熱層厚度x 單位 cm 滿足關(guān)系 c x 0 x 10 若不建隔熱層 每年能源消耗費(fèi)用為8萬(wàn)元 設(shè)f x 為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和 1 求k的值及f x 的表達(dá)式 解答 解設(shè)隔熱層厚度為xcm 而建造費(fèi)用為c1 x 6x 因此得隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和為 2 隔熱層修建多厚時(shí) 總費(fèi)用f x 達(dá)到最小 并求最小值 解答 當(dāng)00 答當(dāng)隔熱層修建5cm厚時(shí) 總費(fèi)用達(dá)到最小值為70萬(wàn)元 當(dāng)堂訓(xùn)練 1 方底無蓋水箱的容積為256 則最省材料時(shí) 它的高為a 4b 6c 4 5d 8 答案 2 3 4 5 1 解析 2 3 4 5 1 解析設(shè)底面邊長(zhǎng)為x 高為h 則v x x2 h 256 令s x 0 解得x 8 判斷知當(dāng)x 8時(shí) s x 取得最小值 2 某產(chǎn)品的銷售收入y1 萬(wàn)元 是產(chǎn)品x 千臺(tái) 的函數(shù) y1 17x2 生產(chǎn)總成本y2 萬(wàn)元 也是x的函數(shù) y2 2x3 x2 x 0 為使利潤(rùn)最大 應(yīng)生產(chǎn)a 9千臺(tái)b 8千臺(tái)c 6千臺(tái)d 3千臺(tái) 答案 2 3 4 5 1 解析 解析構(gòu)造利潤(rùn)函數(shù)y y1 y2 18x2 2x3 x 0 y 36x 6x2 由y 0 得x 6 x 0舍去 x 6是函數(shù)y在 0 上唯一的極大值點(diǎn) 也是最大值點(diǎn) 2 3 4 5 1 答案 解析 3 將一段長(zhǎng)100cm的鐵絲截成兩段 一段彎成正方形 一段彎成圓形 當(dāng)正方形與圓形面積之和最小時(shí) 圓的周長(zhǎng)為 cm 2 3 4 5 1 解析設(shè)彎成圓形的一段鐵絲長(zhǎng)為x 則另一段長(zhǎng)為100 x 設(shè)正方形與圓形的面積之和為s 2 3 4 5 1 4 某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品x件的總成本 單位 元 為c x 1200 x3 且產(chǎn)品單價(jià)的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比 若生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品 單價(jià)為50元 則要使總利潤(rùn)最大 產(chǎn)量應(yīng)定為 件 解析 答案 2 3 4 5 1 25 解析設(shè)產(chǎn)品單價(jià)為a元 因?yàn)楫a(chǎn)品單價(jià)的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比 即a2x k k為比例系數(shù) 2 3 4 5 1 由y 0 得x 25 當(dāng)x 0 25 時(shí) y 0 當(dāng)x 25 時(shí) y 0 所以當(dāng)x 25時(shí) y取得最大值 故要使總利潤(rùn)最大 產(chǎn)量應(yīng)定為25件 2 3 4 5 1 5 某公司租地建倉(cāng)庫(kù) 每月土地占用費(fèi)y1 單位 萬(wàn)元 與倉(cāng)庫(kù)到車站的距離成反比 而每月庫(kù)存貨物的運(yùn)費(fèi)y2 單位 萬(wàn)元 與到車站的距離成正比 如果在距離車站10千米處建倉(cāng)庫(kù) 這兩項(xiàng)費(fèi)用y1和y2分別為2萬(wàn)元和8萬(wàn)元 那么 要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小 倉(cāng)庫(kù)應(yīng)建在離車站 千米處 解析 答案 5 令y 0 得x 5 x 5舍去 此點(diǎn)即為最小值點(diǎn) 故當(dāng)倉(cāng)庫(kù)建在離車站5千米處時(shí) 兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小 2 3 4 5 1 規(guī)律與方法 1 利用導(dǎo)數(shù)解決生活中最優(yōu)化問題的基本思路解應(yīng)用題首先要在閱讀材料 理解題意的基礎(chǔ)上 把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題 利用數(shù)學(xué)