人教B版選修23 2.3.1離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望 教案.doc

2.3.1 離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望課堂探究探究一 求離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望解決求離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望問題的關(guān)鍵是求出分布列，只要求出離散型隨機變量的分布列，就可以套用數(shù)學(xué)期望的公式求解對于axb型隨機變量的數(shù)學(xué)期望，可以利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)求解，也可以求出axb的分布列，再用定義求解【典型例題1】 甲、乙兩支排球隊進行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束除第五局甲隊獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是.假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨立(1)分別求甲隊以30,31,32勝利的概率；(2)若比賽結(jié)果為30或31，則勝利方得3分、對方得0分；若比賽結(jié)果為32，則勝利方得2分、對方得1分，求乙隊得分x的分布列及數(shù)學(xué)期望思路分析：(1)利用相互獨立事件的概率求解(2)先列出x的所有值，并求出每個x值所對應(yīng)的概率，列出分布列，然后根據(jù)公式求出數(shù)學(xué)期望解：(1)記“甲隊以30勝利”為事件a1，“甲隊以31勝利”為事件a2，“甲隊以32勝利”為事件a3，由題意，各局比賽結(jié)果相互獨立，故p(a1)3，p(a2)c2，p(a3)c22.所以，甲隊以30勝利、以31勝利的概率都為，以32勝利的概率為.(2)設(shè)“乙隊以32勝利”為事件a4，由題意，各局比賽結(jié)果相互獨立，所以p(a4)c22.由題意，隨機變量x的所有可能的取值為0,1,2,3，根據(jù)事件的互斥性得p(x0)p(a1a2)p(a1)p(a2)，又p(x1)p(a3)，p(x2)p(a4)，p(x3)1p(x0)p(x1)p(x2).故x的分布列為x0123p所以e(x)0123.探究二 特殊分布的數(shù)學(xué)期望解決此類問題，首先應(yīng)依據(jù)二項分布、二點分布及超幾何分布的特點，判斷隨機變量屬于哪一種分布，再寫出隨機變量的分布列，然后利用特殊分布的數(shù)學(xué)期望公式求解【典型例題2】 某單位為綠化環(huán)境，移栽了甲、乙兩種大樹各2棵設(shè)甲、乙兩種大樹移栽的成活率分別為和，且各棵大樹是否成活互不影響求移栽的4棵大樹中：(1)兩種大樹各成活1棵的概率；(2)成活的棵數(shù)的分布列與數(shù)學(xué)期望思路分析：本題主要考查獨立重復(fù)試驗和分布列的應(yīng)用，求解時可由二項分布求數(shù)學(xué)期望解：設(shè)ak表示甲種大樹成活k棵，k0,1,2，bl表示乙種大樹成活l棵，l0,1,2，則ak，bl(k，l0,1,2)相互獨立，由獨立重復(fù)試驗中事件發(fā)生的概率公式，得p(ak)ck2k，p(bl)cl2l.據(jù)此算得：p(a0)，p(a1)，p(a2)，p(b0)，p(b1)，p(b2).(1)所求概率為p(a1b1)p(a1)p(b1).(2)(方法1)的所有可能值為0,1,2,3,4，p(0)p(a0b0)，p(1)p(a0b1)p(a1b0)，p(2)p(a0b2)p(a1b1)p(a2b0)，p(3)p(a1b2)p(a2b1)，p(4)p(a2b2).綜上知的分布列為01234p從而，的數(shù)學(xué)期望為e()01234(棵)(方法2)分布列的求法同方法1，令1，2分別表示甲、乙兩種大樹成活的棵數(shù)，則1b，2b，所以e(1)2(棵)，e(2)21(棵)，所以e()e(1)e(2)1(棵)探究三 期望的應(yīng)用解決數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用問題，首先應(yīng)把實際問題概率模型化，然后利用有關(guān)概率的知識去分析相應(yīng)各事件發(fā)生的可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相應(yīng)的數(shù)學(xué)期望，隨機變量的數(shù)學(xué)期望反映的是離散型隨機變量取值的平均水平在實際問題的決策中，往往把數(shù)學(xué)期望最大的方案作為最佳方案進行選擇【典型例題3】 某公司準備將100萬元資金投入代理銷售業(yè)務(wù)，現(xiàn)有a，b兩個項目可供選擇：投資a項目一年后獲得的利潤x1(萬元)的分布列如下表所示：x1111217pa0.4b且x1的數(shù)學(xué)期望e(x1)12.投資b項目一年后獲得的利潤x2(萬元)與b項目產(chǎn)品價格的調(diào)整有關(guān)，b項目產(chǎn)品價格根據(jù)銷售情況在4月和8月決定是否需要調(diào)整，兩次調(diào)整相互獨立且在4月和8月進行價格調(diào)整的概率分別為p(0p1)和1p.經(jīng)專家測算評估：b項目產(chǎn)品價格一年內(nèi)調(diào)整次數(shù)x(次)與x2的關(guān)系如下表所示：x(次)012x2(萬元)4.1211.7620.40(1)求a，b的值(2)求x2的分布列(3)若e(x1)e(x2)，則選擇投資b項目，求此時p的取值范圍思路分析：(1)由分布列的性質(zhì)及數(shù)學(xué)期望的計算公式列方程組求解(2)利用相互獨立事件同時發(fā)生的概率求解(3)利用數(shù)學(xué)期望公式列出不等式求解解：(1)由題意得解得a0.5，b0.1.(2)x2的可能取值為4.12,11.76,20.40.p(x24.12)(1p)1(1p)p(1p)，p(x211.76)p1(1p)(1p)(1p)p2(1p)2，p(x220.40)p(1p)所以x2的分布列為x24.1211.7620.40pp(1p)p2(1p)2p(1p)(3)由(2)可得e(x2)4.12p(1p)11.76p2(1p)220.40p(1p)p2p11.76.因為e(x1)e(x2)，所以12p2p11.76.所以0.4p0.6.當選擇投資b項目時，p的取值范圍是(0.4,0.6)探究四 易錯辨析易錯點：對隨機變量x取值的意義理解錯誤而致誤【典型例題4】 某人進行一項試驗，若試驗成功，則停止試驗；若試驗失敗，則再重新試驗一次；若試驗3次均失敗，則放棄試驗若此人每次試驗成功的概率均為，且各次試驗互不影響求此人試驗次數(shù)x的數(shù)學(xué)期望錯解：試驗次數(shù)x的可能取值為x1,2,3，p(x1)，p(x2)，p(x3)，所以x的概率分布如下表所示x123p所以e(x)123.錯因分析：錯誤的主要原因是沒有明確隨機變量x的取值意義，x1表示一次試驗就成功，x2表示第一次失敗，第二次成功，由于試驗最多進行3次，所以x3表示前兩次失敗，第三