第16講圓錐曲線與方程.doc

課題 圓錐曲線與方程考點(diǎn)透析選修2圓錐曲線與方程（必修）中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)B中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)A中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)A曲線與方程A中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)B知識(shí)整合 1對(duì)于與圓錐曲線有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，要善于應(yīng)用圓錐曲線的有關(guān)定義解題。一般的，若橢圓、雙曲線上一點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)有關(guān)，應(yīng)聯(lián)想到它們的第一定義，若圓錐曲線上一點(diǎn)與一個(gè)焦點(diǎn)或準(zhǔn)線有關(guān)，應(yīng)聯(lián)想到它們的統(tǒng)一定義。2求圓錐曲線的方程時(shí)，“先定型，后計(jì)算”，所謂“定型”是指曲線的類型，焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，然后根據(jù)條件應(yīng)用待定系數(shù)法求解。3利用圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)解題，一是要熟悉掌握?qǐng)A錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，掌握基本量a，b，c，P的幾何意義與基本關(guān)系；二是根據(jù)圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題。4求動(dòng)點(diǎn)軌跡，要熟悉求軌跡的幾個(gè)基本步驟以及求軌跡的基本方法，比如直接法、定義法、幾何法、參數(shù)法等?？键c(diǎn)自測(cè) 1.（2010 安徽）雙曲線方程為，則它的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為 2. (2010 南京一模) 以橢圓 （ab0）的右焦點(diǎn)為圓心的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，且與該橢圓的右準(zhǔn)線交與A，B兩點(diǎn)，已知OAB是正三角形，則該橢圓的離心率是 。3.（2010 重慶）已知以F為焦點(diǎn)的拋物線上的兩點(diǎn)A、B滿足,則弦AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為_(kāi).4.（2010揚(yáng)州四模）已知橢圓與拋物線有相同的焦點(diǎn)，是橢圓與拋物線的的交點(diǎn)，若經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)，則橢圓的離心率為 . 典型例題 高考熱點(diǎn)一：求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程例1.(2010江蘇)在平面直角坐標(biāo)系中，如圖，已知橢圓的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F。設(shè)過(guò)點(diǎn)T（）的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M、，其中m0,。（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足,求點(diǎn)P的軌跡；（2）設(shè)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；（3）設(shè),求證：直線MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與m無(wú)關(guān)）?！痉治觥?本小題主要考查求簡(jiǎn)單曲線的方程，考查方直線與橢圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí)?？疾檫\(yùn)算求解能力和探究問(wèn)題的能力。高考熱點(diǎn)二：圓錐曲線的定義及其應(yīng)用例2.(2010江西) 已知拋物線：經(jīng)過(guò)橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn).(1) 求橢圓的離心率；(2) 設(shè)，又為與不在軸上的兩個(gè)交點(diǎn)，若的重心在拋物線上，求和的方程. 【分析】考查橢圓和拋物線的定義、基本量，通過(guò)交點(diǎn)三角形來(lái)確認(rèn)方程。高考熱點(diǎn)三：圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其應(yīng)用例3. （2010 南通）已知F1、F2為橢圓的焦點(diǎn)，P為橢圓上的 任意一點(diǎn)，橢圓的離心率為以P為圓心PF2長(zhǎng)為半徑作圓P， 當(dāng)圓P與x軸相切時(shí)，截y軸所得弦長(zhǎng)為（1）求圓P方程和橢圓方程；（2）求證：無(wú)論點(diǎn)P在橢圓上如何運(yùn)動(dòng)，一定存在一個(gè)定圓與圓P相切，試求出這個(gè)定圓方程高考熱點(diǎn)四：圓錐曲線的幾何性質(zhì)及其應(yīng)用例4(2010 天津）已知橢圓的離心率，連接橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)得到的菱形的面積為4。（1） 求橢圓的方程；（2） 設(shè)直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為（），點(diǎn)在線段的垂直平分線上，且，求的值【分析】本小題主要考察橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線的方程，平面向量等基礎(chǔ)知識(shí)，考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)及數(shù)形結(jié)合的思想，考查運(yùn)算和推理能力。高考熱點(diǎn)五：與圓錐曲線有關(guān)的綜合性問(wèn)題例5. （2010 山東）如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的周長(zhǎng)為.一等軸雙曲線的頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，設(shè)為該雙曲線上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，直線和與橢圓的交點(diǎn)分別為和.（）求橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）設(shè)直線、的斜率分別為、，證明；（）是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【分析】本題考查了橢圓的定義、離心率、橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，是一道綜合性的試題，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力。其中問(wèn)題（3）是一個(gè)開(kāi)放性問(wèn)題，考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力， 誤區(qū)分析 F1、F2是雙曲線的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，若點(diǎn)P到焦點(diǎn)F1的距離為7，求P到焦點(diǎn)F2的距離試分析下面的解答錯(cuò)在哪里？解：雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為6，由|PF1|-|PF2|=6，即|7-|PF2|=6，|PF2|=13或|PF2|=1隨堂練習(xí) 1（2010 湖南）設(shè)拋物線上一點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離是4，則點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離是_ 2（2010 江蘇）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線上一點(diǎn)M，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是3，則M到雙曲線右焦點(diǎn)的距離是 3.（2010 泰州）以為焦點(diǎn)且與直線有公共點(diǎn)的橢圓中，離心率最大的橢圓方程是 。4（2010 全國(guó)）已知是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，且，則的離心率為 . 5已知定點(diǎn)M（3，2），F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，在此拋物線上求一點(diǎn)P，使|PM|+|PF|取得最小值，求點(diǎn)P的坐標(biāo)6一動(dòng)點(diǎn)在橢圓上移動(dòng)，求它與定點(diǎn)連線中點(diǎn)的軌跡方程學(xué)力測(cè)評(píng) 1(2010 蘇北四市二模)若橢圓的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的和為18，焦距為6，則橢圓的方程為 2（2010 南京）拋物線y2 = 8x的焦點(diǎn)到雙曲線 = 1的漸近線的距離為 3如圖，已知雙曲線以長(zhǎng)方形ABCD的頂點(diǎn)A，B為左、右焦點(diǎn)，且過(guò)C，D兩頂點(diǎn)若AB=4，BC=3，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 . ABCDxyO第四題第三題4（2010揚(yáng)州三模）如圖，已知是橢圓 的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，線段與圓相切于點(diǎn)，且點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則橢圓的離心率為 . 5（2010 北京）已知雙曲線的離心率為2，焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)相同，那么雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ；漸近線方程為 。6（2010 福建）若點(diǎn)O和點(diǎn)分別是雙曲線的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn),則的取值范圍為_(kāi) . 7設(shè)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)F是焦點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與點(diǎn)P到直線的距離之和的最小值 .8（2010 廣東）若一個(gè)橢圓長(zhǎng)軸的長(zhǎng)度、短軸的長(zhǎng)度和焦距成等差數(shù)列，則該橢圓的離心率是 9已知?jiǎng)訄AA和圓B：(x+3) +y=81內(nèi)切，并和圓C：(x-3) +y=1外切，求動(dòng)圓圓心A的軌跡方程。10設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)A且與AF垂直的光線經(jīng)橢圓的右準(zhǔn)線反射，反射光線與直線AF平行.(1)求橢圓的離心率；(2)設(shè)入射光線與右準(zhǔn)線的交點(diǎn)為B，過(guò)A，B，F(xiàn)三點(diǎn)的圓恰好與直線3x一y+3=0相切，求橢圓的方程.11（2010 南通三模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知對(duì)于任意實(shí)數(shù)，直線恒過(guò)定點(diǎn)F. 設(shè)橢圓C的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F，且橢圓C上的點(diǎn)到F的最大距離為. （1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)（m，n）是橢圓C上的任意一點(diǎn)，圓O：與橢圓C有4個(gè)相異公共點(diǎn)，試分別判斷圓O與直線l1：mx+ny=1和l2：mx+ny=4的位置關(guān)系. 12（2010 宿遷）如圖， 已知橢圓的長(zhǎng)軸為，過(guò)點(diǎn)的直線與軸垂直直線所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)恰好是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn),且橢圓的離心率.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； B（2）設(shè)是橢圓上異于、的任意一點(diǎn)，軸，為垂足，延長(zhǎng)到點(diǎn)使得，連結(jié)延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，為的中點(diǎn)試判斷直線與以為直徑的圓的位置關(guān)系參考答案圓錐曲線與方程考點(diǎn)自測(cè) 1、 2、3、 4、典型例題例1解：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），則：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。由，得 化簡(jiǎn)得。故所求點(diǎn)P的軌跡為直線。（2）將分別代入橢圓方程，以及得：M（2，）、N（，）直線MTA方程為：，即，直線NTB 方程為：，即。聯(lián)立方程組，解得：，所以點(diǎn)T的坐標(biāo)為。（3）點(diǎn)T的坐標(biāo)為直線MTA方程為：，即，直線NTB 方程為：，即。分別與橢圓聯(lián)立方程組，同時(shí)考慮到，解得：、。（方法一）當(dāng)時(shí)，直線MN方程為： 令，解得：。此時(shí)必過(guò)點(diǎn)D（1，0）；當(dāng)時(shí)，直線MN方程為：，與x軸交點(diǎn)為D（1，0）。所以直線MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)D（1，0）。（方法二）若，則由及，得，此時(shí)直線MN的方程為，過(guò)點(diǎn)D（1，0）。若，則，直線MD的斜率，直線ND的斜率，得，所以直線MN過(guò)D點(diǎn)。因此，直線MN必過(guò)軸上的點(diǎn)（1，0）。例2解：（1）因?yàn)閽佄锞€經(jīng)過(guò)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)， 所以，即，由得橢圓的離心率.（2）由（1）可知，橢圓的方程為： 聯(lián)立拋物線的方程得：，解得：或（舍去），所以 ，即，所以的重心坐標(biāo)為.因?yàn)橹匦脑谏?，所以，?所以.所以拋物線的方程為：，橢圓的方程為：.例3解：（1），a=3c，b=，橢圓方程設(shè)為， 2分當(dāng)圓P與x軸相切時(shí)，PF2x軸，故求得P（c，），圓半徑r=，由得c=2， 6分橢圓方程為， 8分此時(shí)圓P方程為 10分（2）以F1為圓心，作圓M，使得圓P內(nèi)切于圓M，公切點(diǎn)設(shè)為Q，則點(diǎn)F1、P、Q在一直線上，從而F1Q=F1P+PQ=F1P+PF2=2a=6，存在圓M：滿足題設(shè)要求 15分例4.（1）解：由，得，再由，得由題意可知， 解方程組 得 a=2,b=1所以橢圓的方程為(2)解：由（1）可知A（-2,0）。設(shè)B點(diǎn)的坐標(biāo)為（x1,y1）,直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=k(x+2),于是A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程組由方程組消去Y并整理，得由得設(shè)線段AB是中點(diǎn)為M，則M的坐標(biāo)為以下分兩種情況：（1）當(dāng)k=0時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2,0）。線段AB的垂直平分線為y軸，于是（2）當(dāng)K時(shí)，線段AB的垂直平分線方程為令x=0，解得由整理得綜上例5.解：（）由題意知，橢圓離心率為，得，又，所以可解得，所以，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），因?yàn)殡p曲線為等軸雙曲線，且頂點(diǎn)是該橢圓的焦點(diǎn)，所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。誤區(qū)分析分析：本解答錯(cuò)了，錯(cuò)在哪里？這個(gè)錯(cuò)誤非常隱蔽，不容易發(fā)現(xiàn)以上出現(xiàn)兩解的原因是考慮到P可能在不同的兩支上，而實(shí)際上呢？根據(jù)雙曲線定義可知：點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值為常數(shù)且這個(gè)常數(shù)小于兩焦點(diǎn)距離，即|PF1|-|PF2|= 2a|F1F2|，由已知得：a=3，b=2，c=5，雙曲線上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離的最小值為c-a=21，P與F1在y軸的同一側(cè)，故|PF2|-|PF1|=2a，|PF2|=13一般地，若|PF1| a+c,則P可能在兩支上，若|PF1| a+c,則P只能在一支上正解：顯然雙曲線關(guān)于y軸對(duì)稱，不妨設(shè)F1為左焦點(diǎn)，則| PF1|= |a+exP|=7，xP=6或，將xP=6或代入|PF2|= |a-exP|得：|PF2|=13或|PF2|=1，而|PF2|= |a-exP|exP|-ae|-a|-a=c-a=2，|PF2|=13隨堂練習(xí) 16 24 3 45由拋物線的定義：拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離相等。 即|PF| = |PN| |PM|+|PF|= |PM|+|PN|當(dāng) M、P、N三點(diǎn)共線時(shí)距離之和最小。6解：設(shè)中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)，由題意知即在橢圓上，所求的軌跡方程為學(xué)力測(cè)評(píng) 1或； 21345，6789解：設(shè)動(dòng)圓的半徑為，則_y_x_P_o_A_B_C_Q動(dòng)圓A和圓B內(nèi)切，所以AB=PBR,動(dòng)圓A和圓C外切,所以 AC=CQ+R，所以AB AC PBCQ=9+1=10由橢圓定義知，動(dòng)圓圓心A的軌跡為，為焦點(diǎn)的橢圓，方程為10【解】因?yàn)槿肷涔饩€與反射光線垂直，所以入射光線與準(zhǔn)線所成的角為， 即，所以，所以橢圓的離心率為 由知，可得，又，所以過(guò)三點(diǎn)的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑， 因?yàn)檫^(guò)三點(diǎn)的圓恰好與直線相切， 所以圓心到直線的距離等于半徑，即，得，所以，所以橢圓的方程為11解：（1）, 解得. 3分設(shè)橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距分別為2a，2b，2c，則由題設(shè)，知 于