大學(xué)經(jīng)典課件之高等數(shù)學(xué)——11-習(xí)題課.pdf

第十一章 無(wú)窮級(jí)數(shù)習(xí)題課 第十一章 無(wú)窮級(jí)數(shù)習(xí)題課 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 0 xu n n 求和求和 xS 展開展開 在收斂域內(nèi)進(jìn)行在收斂域內(nèi)進(jìn)行 0 xu n n 基本問(wèn)題基本問(wèn)題 判別斂散 求收斂域 求和函數(shù) 級(jí)數(shù)展開 判別斂散 求收斂域 求和函數(shù) 級(jí)數(shù)展開 為傅里葉級(jí)數(shù)為傅里葉級(jí)數(shù) xnbxnaxu nnn sincos 當(dāng)當(dāng) 為傅為傅里葉里葉系數(shù)系數(shù) 時(shí)時(shí) 時(shí)為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)時(shí)為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 0 xx 當(dāng)當(dāng) n nn xaxu 當(dāng)當(dāng) 時(shí)為冪級(jí)數(shù)時(shí)為冪級(jí)數(shù) nn ba 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法一 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法 1 利用部分和數(shù)列的極限判別級(jí)數(shù)的斂散性利用部分和數(shù)列的極限判別級(jí)數(shù)的斂散性 2 正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法 必要條件必要條件0lim n n u 不滿足不滿足 發(fā) 散發(fā) 散 滿足滿足 比值審斂法比值審斂法 lim n 1 n u n u 根值審斂法根值審斂法 n n n ulim 1 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3 任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法 Leibniz判別法判別法 若若 0 1 nn uu且且 0lim n n u 則交錯(cuò)級(jí)數(shù)則交錯(cuò)級(jí)數(shù) n n nu 1 1 收斂收斂 概念概念 且余項(xiàng)且余項(xiàng) 1 nn ur 1n n u 若收斂若收斂 1n n u 稱 絕對(duì)收斂 稱 絕對(duì)收斂 1n n u 若發(fā)散若發(fā)散 1n n u稱條件收斂稱條件收斂 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 為收斂級(jí)數(shù)為收斂級(jí)數(shù) 1n n u 二 求冪級(jí)數(shù)收斂域的方法二 求冪級(jí)數(shù)收斂域的方法 標(biāo)準(zhǔn)形式冪級(jí)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式冪級(jí)數(shù) 先求收斂半徑先求收斂半徑 R 再討論再討論 Rx 非標(biāo)準(zhǔn)形式冪級(jí)數(shù) 通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式 直接用比值法或根值法 處的斂散性 非標(biāo)準(zhǔn)形式冪級(jí)數(shù) 通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式 直接用比值法或根值法 處的斂散性 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 求部分和式極限求部分和式極限 三 冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法三 冪級(jí)數(shù)和函數(shù)的求法 求和求和 逐項(xiàng)求導(dǎo)或求積分逐項(xiàng)求導(dǎo)或求積分 逐項(xiàng)求導(dǎo)或求積分逐項(xiàng)求導(dǎo)或求積分 n n n xa 0 xS 對(duì)和式積分或求導(dǎo)對(duì)和式積分或求導(dǎo) xS 難難 直接求和直接求和 直接變換直接變換 間接求和間接求和 轉(zhuǎn)化成冪級(jí)數(shù)求和轉(zhuǎn)化成冪級(jí)數(shù)求和 再代值 求部分和等 再代值 求部分和等 分解 拆項(xiàng)相消 套用公式 在收斂區(qū)間內(nèi) 分解 拆項(xiàng)相消 套用公式 在收斂區(qū)間內(nèi) 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 求和 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 求和 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 n n nx a 0 常用已知和函數(shù)的冪級(jí)數(shù)常用已知和函數(shù)的冪級(jí)數(shù) 1 1 1 0 x x n n 1 1 1 2 0 x x n nn 5 0 x n n e n x 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 的形式 逐項(xiàng)求導(dǎo)化為的形式 逐項(xiàng)求導(dǎo)化為 1 3 1 n n n x 的形式 逐項(xiàng)求積分化為的形式 逐項(xiàng)求積分化為 1 1 4 1 n n xn 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1ln 9 1 x n x n n x n x n n n sin 12 1 6 0 12 x n x n n n cos 2 1 7 0 2 1ln 1 8 1 1 x n x n n n 四 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)和傅里葉級(jí)數(shù)展開法四 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)和傅里葉級(jí)數(shù)展開法 直接展開法直接展開法 間接展開法間接展開法 利用已知函數(shù)的展開式及冪級(jí)數(shù) 的性質(zhì) 利用已知函數(shù)的展開式及冪級(jí)數(shù) 的性質(zhì) 利用泰勒級(jí)數(shù)利用泰勒級(jí)數(shù) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開法函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開法 1 2 1 1 2 xx n xxe nx LL 常見函數(shù)展開式常見函數(shù)展開式 LL 12 1 5 1 3 1 sin 12 53 n x xxxx n n x LL 2 1 4 1 2 1 1cos 2 42 n x xxx n n x 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1 1 x L L L n x n n xx x 1 1 2 1 1 1 2 1ln x LL n x xxx n n 132 1 3 1 2 1 1 1 x 1 周期為 1 周期為 2 的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)及收斂定理 的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)及收斂定理 sincos 2 1 0 xnbxna a xf nn n 其中其中 xxnxfandcos 1 xxnxfbndsin 1 2 1 L n 2 1 L n 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xxfad 1 0 2 函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開法函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開法 xff xxfxf xxf xs 0 0 2 1 0 0 2 1 為間斷點(diǎn) 為連續(xù)點(diǎn) 為間斷點(diǎn) 為連續(xù)點(diǎn) 則和函數(shù)為 則和函數(shù)為 余弦級(jí)數(shù) 2 周期為 余弦級(jí)數(shù) 2 周期為 2 的奇 偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) 的奇 偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) 奇函數(shù)奇函數(shù)正弦級(jí)數(shù)正弦級(jí)數(shù) 偶函數(shù)偶函數(shù) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3 周期為 3 周期為2l 的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開公式的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開公式 xf 2 0 a l xn b l xn a nn n sincos 1 其中其中 n a x l xn xf l l l dcos 1 n bx l xn xf l l l dsin 1 1 0 L n 2 1 L n 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 lxlflf xxfxf xxf xs 0 0 2 1 0 0 2 1 為間斷點(diǎn) 為連續(xù)點(diǎn) 為間斷點(diǎn) 為連續(xù)點(diǎn) 則和函數(shù)為 則和函數(shù)為 求傅里葉展開式的步驟 求傅里葉展開式的步驟 1 驗(yàn)證是否滿足狄利克雷條件 3 求出傅里葉系數(shù) 4 寫出傅里葉級(jí)數(shù) 1 驗(yàn)證是否滿足狄利克雷條件 3 求出傅里葉系數(shù) 4 寫出傅里葉級(jí)數(shù) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 5 寫出和函數(shù) 5 寫出和函數(shù) 2 判斷奇偶性 2 判斷奇偶性 習(xí)題習(xí)題10 7 P424 1 8 12 15 2 1 4 5 10 11 14 16 17 3 6 18 19 1 4 6 21 2 5 7 24 27 作業(yè)作業(yè) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例1例1 二 典型例題二 典型例題 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 已知 已知 0n n nx a 在 在2 x處條件收斂 求冪處條件收斂 求冪級(jí)級(jí) 數(shù)的收斂半徑 數(shù)的收斂半徑 解 解 由冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)知 由冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)知 2 R 2 R若若 處收斂在使則存在 處收斂在使則存在 0 0 0 2xxax n n n 內(nèi)絕對(duì)收斂因此該級(jí)數(shù)在 內(nèi)絕對(duì)收斂因此該級(jí)數(shù)在 00 xx 而 而 2 00 xx 與題設(shè)矛盾 故此冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為 與題設(shè)矛盾 故此冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為 2 R 例2例2 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 求 求 1 2 1 2 n n n n x 的收斂半徑 的收斂半徑 解 解 此題用公式及比值法都求不出極限 用根值法此題用公式及比值法都求不出極限 用根值法 n n n xu lim n n n n n x 2 1 2 lim 2 x 時(shí)即 時(shí)即2 1 2 1 x x 級(jí)數(shù)發(fā)散 故此冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為 級(jí)數(shù)發(fā)散 故此冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為 2 R 例3 例3 1 3 1 的收斂半徑求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑求冪級(jí)數(shù) n n nn x n 解 解 分別考慮偶次冪與奇次冪組成的級(jí)數(shù)分別考慮偶次冪與奇次冪組成的級(jí)數(shù) lim 1 n n n a a n n n a lim 極限不存在極限不存在 1 k k x 2 4 2 1 2 k k k x k 1 k k x 12 1 12 12 2 k k k x k lim 1 x x n n n 4 2 x 4 1 1 R lim 1 x x n n n 2 2 x 2 1 2 R 原級(jí)數(shù) 原級(jí)數(shù) 1 k k x 1 k k x 其收斂半徑 其收斂半徑 4 1 min 21 RRR 注意 注意 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1 1 1 1 n n n n n n n 例4 例4 判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性 解解 n n n n n n nn u 1 1 1 1 2 1 n n n n 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 n n n n n nn 1 22 1 1 lim 1 1 lim 2 1 0 e x x n n xn 11 limlim x x x e ln 1 lim xx e 1 lim 1 0 e 01lim n n u 根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件 原級(jí)數(shù)發(fā)散 根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件 原級(jí)數(shù)發(fā)散 x xx e ln 1 lim 2 3 cos 2 1 2 n n n n 解解 22 3 cos 2 nn n n n n u 2n n n v 令 令 n n v v n n n n n n 2 2 1 limlim 1 1 Q n n n 2 1 lim 1 2 1 1 0 1 2ln 3 n n a n a n 解解 n a n u n n n n n 1 2ln limlim 2ln lim 1 n n n a 2 2 n enn 時(shí) 時(shí)Q從而有從而有 2ln 1 n n nn 1lim n n n由于由于 1 2ln lim n n n 1 lim a u n n n 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1 1 00時(shí)即當(dāng) 時(shí)即當(dāng) a a原級(jí)數(shù)收斂 原級(jí)數(shù)收斂 1 1 10時(shí)即當(dāng) a a原級(jí)數(shù)發(fā)散 原級(jí)數(shù)發(fā)散 1時(shí)當(dāng) 時(shí)當(dāng) a 1 1 2ln 1 nn n n 原級(jí)數(shù)為原級(jí)數(shù)為 1 1 2ln lim n n n n Q原級(jí)數(shù)也發(fā)散 原級(jí)數(shù)也發(fā)散 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1 lim a u n n n 1 1 4 1 n nn n 解解 1 1 1 n nn n 1 1 1 n nnn 級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)收斂 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1 57 6 5 n nn n 解解 1 57 6 n nn n 1 7 5 1 7 6 n n n n n 比較與 比較與 1 7 6 n n n 知級(jí)數(shù)收斂知級(jí)數(shù)收斂 1 sin 6 n nn 解解 2 0 時(shí)因時(shí)因 x sinxx 時(shí)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)故此級(jí)數(shù)當(dāng) n 比較與 比較與 1 3 n n 3 0 sin lim x xx x 2 0 3 cos1 lim x x x x x x 6 sin lim 0 6 1 6 1 sin lim 3 n nn n 故故 知級(jí)數(shù)收斂知級(jí)數(shù)收斂 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1 1 ln 1 7 n n n n 解解 0時(shí)因時(shí)因 x 1ln xx Q 1 1 發(fā)散而 發(fā)散而 nn ln 1 ln 1 11 發(fā)散 發(fā)散 nn n nnnn 原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 x x n n xn ln lim ln lim Q 0 1 lim x x n n n nln 1 1 lim nn n ln 1 lim Q 0 1 上單增在 上單增在 ln 1 單減即單減即 xx 1 ln 1 時(shí)單減當(dāng)故 時(shí)單減當(dāng)故 n nn 1 1ln 1 1 ln 1 1 nu nnnn u nn 所以此交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂 故原級(jí)數(shù)是條件收斂 所以此交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂 故原級(jí)數(shù)是條件收斂 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 由萊布尼茨定理 由萊布尼茨定理 0 ln xxxxfQ 1 0 1 1 x x xf 例 7 例 7 判斷級(jí)數(shù) 判斷級(jí)數(shù) 1 2 1 1 n n n n 的收斂性 在收斂的 的收斂性 在收斂的情情 況下 說(shuō)明是絕對(duì)收斂還是條件收斂 況下 說(shuō)明是絕對(duì)收斂還是條件收斂 解 解 此級(jí)數(shù)是交錯(cuò)級(jí)數(shù) 且此級(jí)數(shù)是交錯(cuò)級(jí)數(shù) 且0 1 lim 2 n n n 0 1 x x xxf令令0 0 1 1 2 x x xf 即 即 f x 單增 從而單增 從而 n n n n 1 1 1 2 單減 由萊布尼茨定理 級(jí)數(shù)收斂 單減 由萊布尼茨定理 級(jí)數(shù)收斂 比較與而 比較與而 11 2 1 1 nn nn n 故原級(jí)數(shù)條件收斂 知其發(fā)散 故原級(jí)數(shù)條件收斂 知其發(fā)散 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例8例8 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 求下列級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù) 求下列級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù) 1 12 1 n n xn 解 解 易求得此級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?易求得此級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?1 1 1 12 n n xn 11 2 n n n n xnx 1 1 1 1 2 n n n n xxnxx x x xx n n 1 2 1 x x xx n n 1 2 1 x x x x x 1 1 2 x x x x 1 1 2 22 2 1 3 x xx 0 1 1 2 n n xn 解解 1 1 1 0 Rxn n n 斂半徑為的收斂半徑為的收Q 111 x收斂域?yàn)槭諗坑驗(yàn)?20 x即即 則有設(shè)此級(jí)數(shù)的和函數(shù)為則有設(shè)此級(jí)數(shù)的和函數(shù)為 xs 1 1 0 n n xnxs 兩邊逐項(xiàng)積分兩邊逐項(xiàng)積分 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 0 1 1 1 n xn x 0 11 1 1 n xnx dxxndxxs 0 1 1 n n x 1 1 1 x x 2 1 x x 求導(dǎo) 得兩邊再對(duì)求導(dǎo) 得兩邊再對(duì)x 2 1 x x xs 2 1 2 x 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 0 2 2 1 3 n n n x n n 解 解 易求得此級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?易求得此級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?00 22 2 1 2 1 nn nn n x n n x n n xs 0 2 1 1 n n x n nnn xs 012 2 1 2 2 1 n n n n n n x n x n nx n nn 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 012 2 1 2 1 1 2 2 1 n n n n n n x n x n x n 01 1 2 22 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 n n n n n n x n x n xx n x 222 2 2 2 xxx ee x e x 2 2 1 24 x e xx 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 0 2 1 1 n n x n nnn xs 012 2 1 2 2 1 n n n n n n x n x n nx n nn 1 121 12 2 1 4 n nn x n n 解 解 易求得此級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?易求得此級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?1 121 12 2 1 n nn x n n xs 1 2 1 12 1 n n n n x 1 2 1 12 1 n n n n x 1 12 1 12 1 n n n n x x sin xxxxxcossin 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1 22 2 12 5 n n n x n 解 解 易求得此級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?易求得此級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?2 2 1 22 2 12 n n n x n xs 1 12 2 n n n x 時(shí)時(shí)0 1 x n n x x xs 2 1 1 2 1 1 22 2 2 1 n n xx x 2 1 1 2 2 x x 2 2 x x 22 2 2 2 x x 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 時(shí)時(shí)0 2 x 2 1 0 s 2 1 2 2 0 22 2 x x x 于是于是 1 22 2 12 n n n x n xs 22 2 2 2 x x 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1 1 1 1 6 n n x nn 解 解 易求得此級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?易求得此級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?1 1 時(shí)時(shí)0 1 x 1 1 1 1 n n x nn xs 1 1 2 1 1 n n nn x x 1 0 2 11 n x ndx x nx x n n dx n x x 0 1 2 1 x n x n dxdxx x 0 1 0 1 2 1 xx n n dxdxx x 00 1 1 2 1 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xx dxdx xx 00 2 1 1 1 x dxx x 0 2 1ln 1 1 11 1ln 1 0 02 x x dx x x xx x 1ln 1 1 2 xxx x 時(shí)時(shí)0 2 x 1 1 1 1 n n x nn xs 2 1 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1 1 7 n n x n n 解 解 易求得此級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?易求得此級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?1 1 1 1 n n x n n 11n n n n n x x 1ln 1 x x x 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 9 例 9 求下列數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和 求下列數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和 0 2 1 1 n n n 解解1 0 2 1 n n x n n xs令 令 易求得易求得s x 的收斂域?yàn)榈氖諗坑驗(yàn)?所求級(jí)數(shù)為所求級(jí)數(shù)為s 1 0 n n x n x eQ 0 1 n n x n x xe 兩邊求導(dǎo)兩邊求導(dǎo) n n xx x n n exe 0 1 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 兩邊乘以兩邊乘以x 1 0 2 1 n n xx x n n xeex 兩邊求導(dǎo)兩邊求導(dǎo) n n xxxx x n n xeeexxe 0 2 2 1 2 xs eeees 2 1 e5 e n n n 5 1 0 2 即即 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 0 2 1 1 n n n 解解2 0 2 1 n n x n n xs令 令 0 2 1 n n x n n xs 0 2 12 n n x n nn 000 2 1 2 n n n n n n x n x n n x n n 01 1 1 1 1 2 1 n n n n n n n x n x x n nx x 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 e n n n 5 1 0 2 即即 01 1 1 1 2 1 n n n n n n n x n x x n x x 01 1 1 1 1 2 1 n n n n n n n x n x x n x xx xxx exexex 2 xxx exeex 3 2 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2 1 1 2 2 2 n n n 解 解 設(shè)設(shè) 1 2 2 n n n x xs 則則 1 1 收斂域?yàn)槭諗坑驗(yàn)?2 1 12 n n n xx 2 1 12 1 n n n x x 0 x 1 2 n n n xx 3 2 1 n n n x x n n x nn xs 1 1 1 1 2 1 2 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1n n n x 1 0 1 d n x n xx而而 xx x n n d 0 1 1 x x x 0 1 d 1ln x 4 2 1ln 2 1 2 x x x x xs 故故 2 2 2 1 1 n n n 0 x 1 2 1 2 n n n x x x 2 2 1 2 x x x 2 1 s 2ln 4 3 8 5 0 x 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1 2 n n n xx xs 3 2 1 n n n x x 2 2 1 1 3 n n n 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解 解 設(shè)設(shè) 1 2 2 n n n x xs 1 1 收斂域?yàn)槭諗坑驗(yàn)?4 2 1ln 2 1 2 x x x x xs 0 x由上題知 故 由上題知 故 2 2 1 1 n n n 1 s 4 1 問(wèn)題 問(wèn)題 1 1 2 2 n n4 3 lim 1 xs x Q 4 3 1 1 2 2 n n 例 10 例 10 把函數(shù) 把函數(shù) xx x x xf arctan 2 1 1 1 ln 4 1 展開成展開成 x的冪級(jí)數(shù) 的冪級(jí)數(shù) 解解 1 1 1 2 1 1 1 1 1 4 1 2 xxx xf 1 1 1 4 x 1 4 n n x兩邊積分兩邊積分 x n ndx xfxf 0 1 4 0 1 0 4 n x ndx x 1 14 14 n n n x 0 0 f而而 1 14 14 n n n x xf故故11 x 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1lnarctan 2 克勞林級(jí)數(shù) 展開成麥將 克勞林級(jí)數(shù) 展開成麥將xxxxf 例11例11 解解 32 1ln 32 LQ xx xx 1 32 1ln 2 1 64 22 LL n xxx xx n n 11 x x dx x x 02 1 1 arctan又又 xnn dxxxxx 0 2642 1 1 LL 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 LL 12 1 753 12753 n xxxx x n n 11 x 1 2 1 0 22 2 1 2 1 12 1 1lnarctan n n n n n n n x n x xxx故故 0 22 0 22 22 1 2 1 12 1 n n n n n n n x n x 22 12 1 0 22 n n n nn x 11 x 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1 1 12 2 1 20 12 1 1 1 Sx xS n x n n n n 的冪級(jí)數(shù) 并求成 展開的和函數(shù)將級(jí)數(shù) 的冪級(jí)數(shù) 并求成 展開的和函數(shù)將級(jí)數(shù) 例12 解 例12 解的展開式 是分析的展開式 是分析x n x n n n sin 12 1 1 12 1 Q 1 12 1 1 12 1 1 2 12 1 2 12 2 1 n n n n n n n x nn x 2 sin2 x 2 11 sin2 x 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2 1 sin 2 1 cos2 2 1 cos 2 1 sin2 xx 0 2 2 1 2 1 2 1 sin2 n n n x n 0 2 1 2 2 1 2 1 sin2 n n n n x n x 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 0 12 2 1 12 1 2 1 cos2 n n n x n 0 12 1 12 2 1 2 1 cos n n n n x n 202 1 2 1 sin2 20 1 10 10 20 S 2 1 sin 2 2 1 10 20 S 例13 例13 求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù) 12 1 1 12 0 的和函數(shù)的和函數(shù) n n n x n n 法1 法1 易求出級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)橐浊蟪黾?jí)數(shù)的收斂域?yàn)?0 22 12 1 1 2 1 n nn x n 原式原式 12 0 12 1 2 1 n n n x n x sin 2 1 xx cos 2 sin 2 1 x x x x 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 法2法2先求出收斂區(qū)間先求出收斂區(qū)間 xS則則 x n n n x xx n n xxS 0 12 0 0 d 12 1 1 d 22 0 12 1 n n n x n2 1 12 0 12 1 2 n n n x n x x x sin 2 cos 2 sin 2 1 x x xxS 設(shè)和函數(shù)為設(shè)和函數(shù)為 x 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例13 例13 求冪級(jí)數(shù)求冪級(jí)數(shù) 12 1 1 12 0 的和函數(shù)的和函數(shù) n n n x n n 例14 例14 設(shè)設(shè) xf 0 arctan 1 2 xx x x 0 1 x 將 將 f x 展開成展開成 x 的冪級(jí)數(shù) 的冪級(jí)數(shù) 1 2 41 1 n n n 的和 的和 01考研 01考研 解 解 2 1 1 x Q 1 0 2 n nn x 1 1 x xarctan x x x 0 2 d 1 1 12 1 0 12 n n n x n 1 1 x xf 1 2 12 1 1 n n n x n 0 22 12 1 n n n x n 于是 并求級(jí)數(shù) 于是 并求級(jí)數(shù) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 0 22 12 1 n n n x n 1 2 1 12 1 n n n x n xf 1 2 12 1 1 n n n x n 1 2 12 1 1 n n n x n 1 2 12 1 12 1 1 1 n nn x nn 41 1 21 1 2 2 n n n x n 1 1 x 1 2 41 1 n n n 1 1 2 1 f 2 1 4 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例15 例15 LL 3 9 6 3 1 3963 n xxxx xy n 1 驗(yàn)證函數(shù) 1 驗(yàn)證函數(shù) x 滿足微分方程滿足微分方程 x eyyy 2 利用 1 的結(jié)果求冪級(jí)數(shù) 2 利用 1 的結(jié)果求冪級(jí)數(shù) 3 3 0 n x n n 的和 的和 解 解 1 1 LL 3 9 6 3 1 3963 n xxxx xy n LL 13 8 5 2 13852 n xxxx xy n LL 23 7 4 2374 n xxx xxy n 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 02考研 02考研 0 n x n n 所以所以 yyy x e 2 由 1 的結(jié)果可知所給級(jí)數(shù)的和函數(shù)滿足 2 由 1 的結(jié)果可知所給級(jí)數(shù)的和函數(shù)滿足 x eyyy 1 0 y0 0 y 其特征方程 其特征方程 01 2 rr特征根 特征根 ir 2 3 2 1 2 1 齊次方程通解為 齊次方程通解為 2 3 sin 2 3 cos 21 2 1 xCxCeY x 設(shè)非齊次方程特解為設(shè)非齊次方程特解為 x eAy 代入原方程得代入原方程得 3 1 A 故非齊次方程通解為故非齊次方程通解為 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 x e 3 1 2 3 sin 2 3 cos 21 2 1 xCxCey x 代入初始條件可得代入初始條件可得0 3 2 21 CC 故所求級(jí)數(shù)的和故所求級(jí)數(shù)的和 3 1 2 3 cos 3 2 2 1 xexe x x 3 3 0 n x n n 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 的圖形 的和函數(shù) 同時(shí)畫出它 寫出該級(jí)數(shù)期的正弦級(jí)數(shù)并在 為周內(nèi)展開成以在將 的圖形 的和函數(shù) 同時(shí)畫出它 寫出該級(jí)數(shù)期的正弦級(jí)數(shù)并在 為周內(nèi)展開成以在將 22 20cos x xx 例16 解 例16 解 cos sincos 2 0 cos 1 進(jìn)行奇開拓內(nèi)對(duì) 必須在為周期的正弦級(jí)數(shù) 內(nèi)展開成以在要將 進(jìn)行奇開拓內(nèi)對(duì) 必須在為周期的正弦級(jí)數(shù) 內(nèi)展開成以在要將 x nxbx xxf n n 0 cos 00 0 cos xx x xx xF令令 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 0 sincos 2 nxdxxbn 0 1sin 1 sin 1 dxxnxn 1 1 1 1 1 1 1 11 nn nn mn n n mn 2 1 4 12 0 2 1 n 0 n a 2 1 0 L n 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 01 2sin 1 xdxb 0 1 2 0 2sin 14 8 cos m xmx m m x 上級(jí)數(shù)的和函數(shù)為在上級(jí)數(shù)的和函數(shù)為在 22 x 2 0 cos 2 00 2 0 cos U U xx x xx xs 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 和函數(shù)的圖形為和函數(shù)的圖形為 x y o 2 2 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 的和 由此求級(jí)數(shù)為周期的付氏級(jí)數(shù) 并以 內(nèi)展開成將函數(shù) 的和 由此求級(jí)數(shù)為周期的付氏級(jí)數(shù) 并以 內(nèi)展開成將函數(shù) 1 2 1 2 11 2 nn xxxf例17 解 例17 解 11 2 是偶函數(shù)是偶函數(shù) xxxfQ 1 00 2 1 2 dxxa 5 1 0 1 cos 2 1 2 dx xn xan 1 0 cos2xdxnx 1 0 sin 2 xnxd n 1 1 2 22 n n 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 12 4 2 0 22 kn n kn 2 1 L k 0 n b 1 22 12cos 12 4 2 5 2 k xk k x 故故 1 22 12 12cos 4 2 5 kk xk 11 x 2 1 L n 0 x取取 由上式得由上式得 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1 22 12 14 2 5 2 kk 1 2 2 8 12 1 kk 1 2 1 2 1 2 2 1 12 11 kknkkn 而而 1 4 1 12 1 1 2 1 2 kkkk 3 4 8 1 2 1 2 nn 6 2 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 18 例 18 設(shè)設(shè) 0 01 xx x xf xS是是 xf的以的以 2 為周期的傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù) 寫出為周期的傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù) 寫出 xS的函數(shù)表的函數(shù)表達(dá)達(dá) 式 并求式 并求 2 1 S 5 S 解解 00 00 2 1 0 ffs 2 1 01 2 1 0 0 2 1 ffs 1 2 1 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 x x x xx xs 1 2 1 01 0 2 1 0 故故 2 1 2 1 2 1 s 52 5 ss1 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解解 00 00 2 1 0 ffs 2 1 01 2 1 02 02 2 1 2 ffs 212 2 1 2 3 故故 2 3 2 s 4 2 5 2 5 ss 2 1 0 s 2 3 s 2 3 例 19 例 19 設(shè)設(shè) 201 02 xx xx xf xS是是 xf的以的以4為 周期的傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù) 求 為 周期的傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù) 求 2 S 0 S 2 5 S 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 20 例 20 設(shè)設(shè) 2 xxf 0 x xS是是 xf在在 0上上 的以的以 2為周期的正弦級(jí)數(shù)的和函數(shù) 寫出為周期的正弦級(jí)數(shù)的和函數(shù) 寫出 xS在在 0 上的函數(shù)表達(dá)式 并求上的函數(shù)表達(dá)式 并求 5 S 6 S 解解 上作奇延拓在把 上作奇延拓在把 xf xx xx xf 0 0 2 2 0 0 2 1 ffs0 2 1 22 故故 x xx xs 0 0 2 45 5 ss0 s0 0 6 ss 2 xy 2 xy x y o 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 21 例 21 設(shè)設(shè) 1 2 1 22 2 1 0 xx xx xf xS是是 xf在在 1 0 上的以上的以 2為周期的余弦級(jí)數(shù)的和函數(shù) 寫出為周期的余弦級(jí)數(shù)的和函數(shù) 寫出 xS在在 1 1 上的函數(shù)表達(dá)式 并求上的函數(shù)表達(dá)式 并求 2 5 S 解解 延拓成偶函數(shù)把 延拓成偶函數(shù)把 xf 2 1 2 1 11 oo x y o 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 0 2 1 0 2 1 2 1 2 1 ffs 4 3 2 1 1 2 1 0 2 1 0 2 1 2 1 2 1 ffs 4 3 1 2 1 2 1 1 2 1 22 2 1 0 0 2 1 2 1 122 xx xx xx xx xf 01 01 2 1 1 ffs0 00 2 1 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 n a 0 n b 并 并且且 11 nnnn baba 證明 若 證明 若 1n n b收斂 則收斂 則 1n n a也收斂 也收斂 證 證 n nn n b ba a 1 1 n n n a b b 1 1 1 1 n n n n n a b b b b 2 2 1 1 1 n n n n n a b b b b L 1 1 1 a b bn 1 1 1 n b b a 是常數(shù) 是常數(shù) 1 1 b a 1 收斂收斂 n n bQ 1 收斂收斂 n n a 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 25 例 25 若級(jí)數(shù)若級(jí)數(shù) 1 2 n n a收斂 則級(jí)數(shù)收斂 則級(jí)數(shù) 1n n n a 絕對(duì)收斂 絕對(duì)收斂 證 證 n an 1 n a n 1 2 1 2 2n a n 都收斂和因?yàn)?都收斂和因?yàn)?1 2 1 2 1 n n n a n 收斂所以 收斂所以 1 n n n a 絕對(duì)收斂從而 絕對(duì)收斂從而 1n n n a 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 26 例 26 已知 已知 Anu n n 級(jí)數(shù) 級(jí)數(shù) 1 1 1 n n