小學(xué)數(shù)學(xué)基本概念.doc

第一章 數(shù)與代數(shù)一、整數(shù)整數(shù)的概念和組成：整數(shù)：像-3、-2、-1、1、2、3這樣的數(shù)叫做整數(shù)，整數(shù)分為正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)（整數(shù)也可以分為自然數(shù)和負(fù)整數(shù)）。自然數(shù) 正整數(shù)（1、2、3）整數(shù) 0 負(fù)整數(shù)（-3、-2、-1）不是自然數(shù)自然數(shù)：數(shù)物體的時(shí)候，用來(lái)表示物體個(gè)數(shù)的0,1,2,3叫做自然數(shù)。自然數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，沒(méi)有最大的自然數(shù)。一個(gè)物體也沒(méi)有，用0表示。0也是自然數(shù)，它是最小的自然數(shù)。0的作用：1、表示沒(méi)有。2、表示起點(diǎn)。3、表示分界。4、用來(lái)占位。自然數(shù)由若干個(gè)1組成，1是所有自然數(shù)的單位，如5里面有5個(gè)1。自然數(shù)具有基數(shù)性，還有序數(shù)性。如“5個(gè)同學(xué)做第5路公交車(chē)回家”，“5個(gè)同學(xué)”中的“5”表示人的個(gè)數(shù)叫做基數(shù)，“第5路公交車(chē)”中的“5”表示事物的次序叫做序數(shù)。負(fù)數(shù)：為了表示兩種相反意義的量，出現(xiàn)了一種新的數(shù)，如-2、-6、-9.5、 這樣的數(shù)叫做負(fù)數(shù)。0不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)。負(fù)數(shù)都比0小，正數(shù)都比0大，正數(shù)都大于負(fù)數(shù)。十進(jìn)制計(jì)數(shù)法、計(jì)數(shù)單位、數(shù)位、位數(shù)：十進(jìn)制計(jì)數(shù)法：每相鄰的兩個(gè)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率都是十的計(jì)數(shù)法叫做十進(jìn)制計(jì)數(shù)法。如10個(gè)一是十，10個(gè)一百是一千計(jì)數(shù)單位：一（個(gè)）、十、百、千、萬(wàn)、十萬(wàn)、百萬(wàn)、千萬(wàn)、億、十億、百億、千億都是計(jì)數(shù)單位。數(shù)位：不同的計(jì)數(shù)單位，按照一定的順序排列，它們所占的位置叫做數(shù)位。同一個(gè)數(shù)字所在的數(shù)位不同，表示的意義也就不同。如3寫(xiě)在十位上表示3個(gè)十，寫(xiě)在百位上是3個(gè)百。位數(shù)：一個(gè)數(shù)占有數(shù)位的個(gè)數(shù)叫做數(shù)位，如5是1位數(shù)，25是兩位數(shù)，256是3位數(shù)，3000是4位數(shù)。整數(shù)的讀法：讀一個(gè)多位數(shù)，從高位到低位，一級(jí)一級(jí)地讀。每級(jí)都按照個(gè)級(jí)的讀法來(lái)讀，讀億級(jí)、萬(wàn)級(jí)時(shí)，必須加上“億”字或“萬(wàn)”字。每級(jí)末尾的“0”都不讀，其它數(shù)位有一個(gè)或連續(xù)有幾個(gè)“0”的都只讀一個(gè)零。讀數(shù)時(shí)，先畫(huà)出分級(jí)線(xiàn)，再讀數(shù)，這樣可以快速、準(zhǔn)確地讀出一個(gè)多位數(shù)。整數(shù)的寫(xiě)法：寫(xiě)數(shù)時(shí)，按從高位到低位的順序，一級(jí)一級(jí)地寫(xiě)。哪個(gè)數(shù)位上一個(gè)單位也沒(méi)有，就在那一位上寫(xiě)0。寫(xiě)完后，畫(huà)上分級(jí)線(xiàn)檢查，每一級(jí)都只能寫(xiě)四位，不要多寫(xiě)或少寫(xiě)0。整數(shù)的改寫(xiě)與省略：一個(gè)較大的多位數(shù)，為了讀寫(xiě)方便，常常把它改寫(xiě)成用“萬(wàn)”或“億”作單位的數(shù)。有時(shí)還可以根據(jù)需要，省略這個(gè)數(shù)某一位后面的尾數(shù)，寫(xiě)成近似數(shù)。整數(shù)的大小比較：（1）正整數(shù)大小的比較：位數(shù)不同的正整數(shù)比較，位數(shù)多的數(shù)就大；位數(shù)相同時(shí)，從左起第一位大的數(shù)就大，如果左起第一位數(shù)相同，就比較左起第二位，第二位的數(shù)大這個(gè)數(shù)就大，以此類(lèi)推直到比較出數(shù)的大小。（2）負(fù)整數(shù)大小的比較：在數(shù)軸上，從左到右的順序就是數(shù)從小到大的順序。也就是負(fù)號(hào)后面的數(shù)越大，這個(gè)負(fù)數(shù)就越小。（3）整數(shù)大小的比較： 正整數(shù)0負(fù)整數(shù)二、小數(shù)小數(shù)的概念：把整數(shù)“1”平均分成10份、100份、1000份這樣的一份或幾份可以用十分之幾、百分之幾、千分之一表示；也可以用小數(shù)表示。小數(shù)中圓點(diǎn)“”叫做小數(shù)點(diǎn)。小數(shù)點(diǎn)左邊是整數(shù)部分，小數(shù)點(diǎn)右邊是小數(shù)部分。小數(shù)的計(jì)數(shù)單位和數(shù)位：計(jì)數(shù)單位：小數(shù)的計(jì)數(shù)單位是十分之一、百分之一、千分之一；也可以寫(xiě)成0.1、0.01、0.001小數(shù)部分的最大計(jì)數(shù)單位是十分之一，沒(méi)有最小的計(jì)數(shù)單位。數(shù)位：小數(shù)部分從左往右依次是十分位、百分位、千分位位數(shù)：小數(shù)部分有幾個(gè)數(shù)字，這個(gè)小數(shù)就是幾位小數(shù)。小數(shù)的讀法：讀小數(shù)時(shí)，小數(shù)的整數(shù)部分按整數(shù)的讀法來(lái)讀,小數(shù)點(diǎn)讀作“點(diǎn)”,小數(shù)部分按照從左往右的順序依次讀出每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字。如：45.732 讀作：四十五點(diǎn)七三二。小數(shù)的寫(xiě)法：寫(xiě)小數(shù)時(shí)，整數(shù)部分按照整數(shù)的寫(xiě)法來(lái)寫(xiě)，如果整數(shù)部分一個(gè)都沒(méi)有就寫(xiě)“0”，小數(shù)點(diǎn)寫(xiě)在個(gè)位右下角，小數(shù)部分順次寫(xiě)出每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字。如：零點(diǎn)一零四二 寫(xiě)作：0.1042 四十八點(diǎn)二六 寫(xiě)作：48.26小數(shù)的基本性質(zhì)：小數(shù)的末尾添上0或者去掉0，小數(shù)的大小不變，這叫做小數(shù)的基本性質(zhì)。小數(shù)的大小比較：（1）正小數(shù)0負(fù)小數(shù)（2）正小數(shù)的大小比較：先看整數(shù)部分，整數(shù)部分大的小數(shù)就大。整數(shù)部分相同，再看小數(shù)部分；十分位上的數(shù)大的小數(shù)就大，十分位上的數(shù)相同，百分位上的數(shù)大的小數(shù)就大（3）負(fù)小數(shù)的大小比較：在數(shù)軸上，左邊的數(shù)小于右邊的數(shù)。也就是負(fù)號(hào)后面的數(shù)越大，這個(gè)負(fù)數(shù)就越小。小數(shù)的分類(lèi)：純小數(shù)：整數(shù)部分為“0”的小數(shù)按整數(shù)部分的情況分類(lèi)按小數(shù)部分位數(shù)多少分類(lèi)有限小數(shù)無(wú)限小數(shù)（小數(shù)部分位數(shù)有限的小數(shù)）（小數(shù)部分位數(shù)無(wú)限的小數(shù)）循環(huán)小數(shù)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)純循環(huán)小數(shù)混循環(huán)小數(shù)（從小數(shù)部分第一位出現(xiàn)循環(huán)節(jié)的小數(shù)）（從小數(shù)部分第二位或以后才出現(xiàn)循環(huán)節(jié)的小數(shù)）（如3.1415926） 帶小數(shù)：整數(shù)部分不為“0”的小數(shù)小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)引起小數(shù)大小的變化：小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)一位、兩位、三位數(shù)就擴(kuò)大10倍、100倍、1000倍如果要把一個(gè)數(shù)擴(kuò)大或縮小10倍、100倍只需要移動(dòng)小數(shù)點(diǎn),數(shù)位不夠時(shí)用0補(bǔ)足.三、分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)的概念：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)。表示其中一份的數(shù)叫做這個(gè)分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位。注意：?jiǎn)挝弧?”既可以表示1千克、1米等具體的計(jì)量單位，也可以表示一個(gè)物體如一個(gè)蘋(píng)果、一個(gè)蛋糕，還可以表示一個(gè)整體如一堆沙、一條路、一個(gè)班級(jí)等。分?jǐn)?shù)的讀法：先讀分母，再讀“分之”，最后讀分子。帶分?jǐn)?shù)要先讀整數(shù)部分，然后讀“又”，再讀分?jǐn)?shù)部分。分?jǐn)?shù)的寫(xiě)法：寫(xiě)分?jǐn)?shù)時(shí)，先寫(xiě)分?jǐn)?shù)線(xiàn)，再寫(xiě)分母，最后寫(xiě)分子（帶分?jǐn)?shù)先寫(xiě)整數(shù)部分，再寫(xiě)分?jǐn)?shù)部分，整數(shù)部分要對(duì)準(zhǔn)分?jǐn)?shù)線(xiàn)）。分?jǐn)?shù)的分類(lèi)：真分?jǐn)?shù)（分子比分母?。?）分 整數(shù)（分子是分母的倍數(shù)）數(shù) 假分?jǐn)?shù)（分子等于分母或分子大于分母（1）帶分?jǐn)?shù)（分子不是分母的倍數(shù)）假分?jǐn)?shù)與帶分?jǐn)?shù)或整數(shù)的互化：用假分?jǐn)?shù)的分子除以分母，如果分子能被分母整除，所得的商就是整數(shù)；如果不能整除，所得的商就是帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分，用原來(lái)的分母作分母，用余數(shù)作分?jǐn)?shù)部分的分子。整數(shù)（0除外）化成假分?jǐn)?shù)，用指定的數(shù)作分母，用分母與整數(shù)的乘積作分子。帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，用原來(lái)的分母作分母，用分母與整數(shù)的乘積再加上原來(lái)的分子作分子。分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或者除以相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變，這叫做分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)可以把分?jǐn)?shù)通分和約分。分?jǐn)?shù)的大小比較：（1）正分?jǐn)?shù)0負(fù)分?jǐn)?shù)（2）正分?jǐn)?shù)的大小比較： 分母相同的分?jǐn)?shù)，分子大的分?jǐn)?shù)就大。 分子相同的分?jǐn)?shù)，分母小的分?jǐn)?shù)反而大。 分子分母都不同的分?jǐn)?shù)，先通分成同分母分?jǐn)?shù)或同分子分?jǐn)?shù)，再比較大小。也可以化成小數(shù)再比較。帶分?jǐn)?shù)比較大小，先比較整數(shù)部分，整數(shù)部分大的就大，整數(shù)部分相同，比較分?jǐn)?shù)部分，分?jǐn)?shù)部分大的就大。（3）負(fù)分?jǐn)?shù)的大小比較：在數(shù)軸上，左邊的分?jǐn)?shù)小于右邊的分?jǐn)?shù)。也就是負(fù)號(hào)后面的數(shù)越大，這個(gè)負(fù)數(shù)就越小。分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系：兩個(gè)自然數(shù)相除（0除外），它們的商可以用分?jǐn)?shù)來(lái)表示：分?jǐn)?shù)與除法的聯(lián)系與區(qū)別:聯(lián) 系區(qū)別分?jǐn)?shù)分子分?jǐn)?shù)線(xiàn)分母（不能為0）分?jǐn)?shù)值分?jǐn)?shù)是一種數(shù)除法被除數(shù)除號(hào)除數(shù)商除法是一種運(yùn)算最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)：分子和分母互質(zhì)的分?jǐn)?shù)叫做最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。計(jì)算的結(jié)果,能約分的要約成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù);假分?jǐn)?shù)的,一般要化成帶分?jǐn)?shù)或整數(shù).判斷一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)能不能化成有限小數(shù):分母中除了2和5以外,不含有其他的質(zhì)因數(shù),就能化成有限小數(shù).約分-把一個(gè)分?jǐn)?shù)化成和它相等,但分子和分母都比較小的分?jǐn)?shù).約分的方法:1.用分子分母的公約數(shù)(1除外)逐次去除分子和分母,直到得到最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)為止.2.用分子和分母的最大公約數(shù)去除分子和分母.四、百分?jǐn)?shù)百分?jǐn)?shù)的概念：表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)叫百分?jǐn)?shù)。百分?jǐn)?shù)又叫百分率或百分比。百分?jǐn)?shù)通常用百分號(hào)“%”表示。百分?jǐn)?shù)的讀法：“%”讀作“百分之”。先讀“百分之”，再讀“%”前面的數(shù)。如：37% 讀作：百分之三十七0.5% 讀作：百分之零點(diǎn)五百分?jǐn)?shù)的寫(xiě)法：百分?jǐn)?shù)通常不寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式，而是在原來(lái)的分子后面加上百分號(hào)“%”來(lái)表示。百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)的區(qū)別：（1）分?jǐn)?shù)既可以表示一個(gè)數(shù)，如 千克、 米，又可以表示兩個(gè)數(shù)量之間的倍比關(guān)系，如公雞只數(shù)是母雞只數(shù)的 。百分?jǐn)?shù)只能表示一個(gè)數(shù)量占另一個(gè)數(shù)量的百分比，不能用來(lái)表示具體的數(shù)。所以分?jǐn)?shù)可以有單位名稱(chēng)，百分?jǐn)?shù)不能有單位名稱(chēng)。（2）分?jǐn)?shù)的分母可以是除0以外的任何自然數(shù)，百分?jǐn)?shù)的分母只能是100。分 數(shù)百分?jǐn)?shù)聯(lián)系百分?jǐn)?shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù)。都可以表示兩個(gè)數(shù)的關(guān)系。意義不同把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的1 份或幾份的數(shù)。表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾。實(shí)際應(yīng)用不同可以表示倍數(shù)關(guān)系，不帶任何計(jì)量單位名稱(chēng)；也可以帶上計(jì)量單位名稱(chēng)，表示一個(gè)具體的量。兩個(gè)數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系，后面不帶任何計(jì)量單位名稱(chēng)。性質(zhì)應(yīng)用不同根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，可以把一些分?jǐn)?shù)化簡(jiǎn)，約成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。百分?jǐn)?shù)不能約分，也不能化成整數(shù)或帶分?jǐn)?shù)。讀寫(xiě)方法不同讀做“一百分之二十五”，一般規(guī)定分子是整數(shù)。25%讀作“百分之二十五”，寫(xiě)法上必須用百分號(hào)，而百分號(hào)前的數(shù)可以是整數(shù)也可以是小數(shù)，且一般保留一位小數(shù)。小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)之間的互化：百分?jǐn)?shù)小數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)比較大?。盒?shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)比較大小時(shí)，最好先把它們統(tǒng)一化成小數(shù)，再進(jìn)行比較。五、數(shù)的整除整除：自然數(shù)a除以自然數(shù)b（b0），除得的商正好是整數(shù)而沒(méi)有余數(shù)，我們就說(shuō)a能被b整除，或b能整除a。判斷一個(gè)算式是否是整除的方法：被除數(shù)、除數(shù)、商都是整數(shù)（除數(shù)不能為0）。沒(méi)有余數(shù)。因數(shù)和倍數(shù)：如果數(shù)a能被數(shù)b整除（b0），數(shù)a就叫做數(shù)b的倍數(shù)，數(shù)b就叫做數(shù)a的因數(shù)。倍數(shù)和因數(shù)是互相依存的。不能單獨(dú)說(shuō)一個(gè)數(shù)是因數(shù)或倍數(shù)。如305=6 30是5的倍數(shù)，也是6的倍數(shù)； 5是30的因數(shù)。6也是30的因數(shù)。一個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的。其中最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身。一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的。其中最小的倍數(shù)是它本身，沒(méi)有最大的倍數(shù)。2、3、5的倍數(shù)的特征：2的倍數(shù)的特征：個(gè)位上是0、2、4、6、8的數(shù)。3的倍數(shù)的特征：各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)的數(shù)。5的倍數(shù)的特征：個(gè)位上是0或5的數(shù)。能同時(shí)被2、5整除的數(shù)的特征：個(gè)位上是0。能同時(shí)被2、3整除的數(shù)的特征：個(gè)位上是0、2、4、6、8，并且各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和能被3整除。能同時(shí)被3、5整除的數(shù)的特征：個(gè)位上是0或5，并且各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字的和能被3整除。能同時(shí)被2、3、5整除的數(shù)的特征：個(gè)位上是0，并且各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字的和能被3整除。奇數(shù)和偶數(shù)：奇數(shù)：在自然數(shù)中，不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)，個(gè)位上是1，3，5，自然數(shù) 7，9。偶數(shù)：在自然數(shù)中，能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)，個(gè)位上是0，2，4，6，8。最小的偶數(shù)是0，沒(méi)有最大的偶數(shù)。最小的奇數(shù)是1，沒(méi)有最大的奇數(shù)。質(zhì)數(shù)和合數(shù)：一個(gè)數(shù)，如果只有1和它本身兩個(gè)因數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（或素?cái)?shù)）。最小的質(zhì)數(shù)是2。一個(gè)數(shù)，如果除了1和它本身以外還有別的因數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù)。最小的合數(shù)是4。1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。1： 只有一個(gè)因數(shù)（只有1）自然數(shù) 質(zhì)數(shù)：只有兩個(gè)因數(shù)（1和它本身） 合數(shù)：因數(shù)超過(guò)兩個(gè)（除了1和它本身以外還有別的因數(shù)）質(zhì)因數(shù)和分解質(zhì)因數(shù)：每個(gè)合數(shù)都可以寫(xiě)成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式，其中每個(gè)質(zhì)數(shù)都是這個(gè)合數(shù)的因數(shù)，叫做這個(gè)合數(shù)的質(zhì)因數(shù)。如：12=223，2、3都是質(zhì)數(shù)，并且又是6的因數(shù)，所以，2、3叫做12的質(zhì)因數(shù)。把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來(lái)，這個(gè)過(guò)程就叫做分解質(zhì)因數(shù)。分解質(zhì)因數(shù)通常用短除法。如：把30分解質(zhì)因數(shù)。30=235注意：如果寫(xiě)成235=30是錯(cuò)誤的，這表示一個(gè)算式，不是分解。公因數(shù)和最大公因數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)；其中最大的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。幾個(gè)數(shù)的最小公因數(shù)都是1。所有的公因數(shù)都是最大公因數(shù)的因數(shù)；最大公因數(shù)是所有公因數(shù)的倍數(shù)。利用分解質(zhì)因數(shù)的方法，可以比較簡(jiǎn)便地求出兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。例如：求24和36的最大公因數(shù)。24和36的最大公因數(shù)是26 = 12。兩個(gè)數(shù)既不是互質(zhì)數(shù)關(guān)系又不是倍數(shù)關(guān)系，先用這兩個(gè)數(shù)公有的因數(shù)連續(xù)去除（一般從最小的開(kāi)始），一直除到所得的商是互質(zhì)數(shù)為止，然后把所有的除數(shù)連乘起來(lái)。4和8的最大公因數(shù)：416和32的最大公因數(shù)：1617和34的最大公因數(shù)：17當(dāng)兩個(gè)數(shù)成倍數(shù)關(guān)系時(shí)，較小的數(shù)就是它們的最大公因數(shù)。 1和7的最大公因數(shù)：18和9的最大公因數(shù)：19和16的最大公因數(shù)：1當(dāng)兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)時(shí)，它們的最大公因數(shù)是1?；ベ|(zhì)數(shù)：公因數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)。公倍數(shù)和最小公倍數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的因倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。幾個(gè)數(shù)的最大公倍數(shù)不存在。6的倍數(shù)有：6，12，18，24，30，36，42，48，54，60，66，72，78，84，90，9610的倍數(shù)有：10，20，30，40，50，60，70，80，906和10的公倍數(shù)是:30、60、906和10的最小公倍數(shù)是:30。兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。3和6的最小公倍數(shù)是6。2和8的最小公倍數(shù)是8。兩個(gè)數(shù)是倍數(shù)關(guān)系，它們的最小公倍數(shù)就是較大的數(shù)。5和6的最小公倍數(shù)是30。4和9的最小公倍數(shù)是36。兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)關(guān)系，它們的最小公倍數(shù)就是它們的乘積。我們也可以利用分解質(zhì)因數(shù)的方法，比較簡(jiǎn)便地求出兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。兩個(gè)數(shù)既不是互質(zhì)數(shù)關(guān)系又不是倍數(shù)關(guān)系，先用這兩個(gè)數(shù)公有的因數(shù)連續(xù)去除（一般從最小的開(kāi)始），一直除到所得的商是互質(zhì)數(shù)為止，然后把所有的除數(shù)和最后的兩個(gè)商連乘起來(lái)。求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，還可以用下面的方法：18和24的最大公因數(shù)是23 = 618和24的最小公倍數(shù)是：23 3 5 = 90100以?xún)?nèi)的質(zhì)數(shù)表：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97熟記以下數(shù)據(jù)對(duì)快速解題有很大幫助：20以?xún)?nèi)的奇數(shù)有： 1，3，5，7，9，11，13，15，17，19。20以?xún)?nèi)的偶數(shù)有：2，4，6，8，10，12，14，16，18，20。20以?xún)?nèi)的質(zhì)數(shù)有：2，3，5，7，11，13，17，19。20以?xún)?nèi)的合數(shù)有：4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20。第二章 數(shù)的運(yùn)算六、四則運(yùn)算：加法、減法、乘法、除法四種運(yùn)算叫做四則運(yùn)算。加法的意義：把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算。減法的意義：已知兩個(gè)數(shù)的和與其中的一個(gè)加數(shù)，求另一個(gè)加數(shù)是多少。乘法的意義：一個(gè)數(shù)整數(shù)：求幾個(gè)相同加數(shù)的和是多少?；蚯笠粋€(gè)數(shù)的幾倍是多少。一個(gè)數(shù)小于1的小數(shù)：求一個(gè)數(shù)的十分之幾、百分之幾、千分之幾是多少。一個(gè)數(shù)大于1的小數(shù)求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少。一個(gè)數(shù)小于1的分?jǐn)?shù)求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少。一個(gè)數(shù)大于1的分?jǐn)?shù)求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少。除法的意義：已知兩個(gè)因數(shù)的積和其中的一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)是多少。四則運(yùn)算的法則：整數(shù)小數(shù)分?jǐn)?shù)加減法相同數(shù)位對(duì)齊；從低位算起；加法中滿(mǎn)幾十就向前一位進(jìn)幾；減法中不夠減時(shí)，就從前一位借，借幾當(dāng)幾十。相同數(shù)位對(duì)齊（小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊）；從低位算起；按整數(shù)加減法的法則進(jìn)行計(jì)算。同分母分?jǐn)?shù)相加減，分母不變，分子相加減；異分母分?jǐn)?shù)相加減，先通分再計(jì)算；結(jié)果能約分的要約分。乘法從個(gè)位乘起，依次用第二個(gè)因數(shù)每位上的數(shù)字去乘第一個(gè)因數(shù)；用第二個(gè)因數(shù)哪一位上的數(shù)字去乘，得數(shù)的末位就和第二個(gè)因數(shù)的那一位對(duì)齊；再把幾次乘得的數(shù)加起來(lái)按整數(shù)乘法的法則先求出積；看因數(shù)中共有幾位小數(shù)，就從積的右邊起數(shù)出幾位點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)。數(shù)位不夠0補(bǔ)足。分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，用分子相乘的積做分子，分母相乘的積做分母。有整數(shù)的把整數(shù)看作分母是1的假分?jǐn)?shù)。有帶分?jǐn)?shù)的，通常先把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)。能約分的要先約分。除法從被除數(shù)的高位除起，除數(shù)是幾位數(shù)，就先看被除數(shù)的前幾位，如果不夠除，就要多看一位。除到哪一位就要把商寫(xiě)到哪一位的上面。余數(shù)必須比除數(shù)小。如果除數(shù)是小數(shù)，先把它變成整數(shù)。除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)幾位，被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)也向右移動(dòng)相同的位數(shù)（位數(shù)不夠的補(bǔ)“0”），然后按照除數(shù)是整數(shù)的除法進(jìn)行計(jì)算。商的小數(shù)點(diǎn)要和被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊。甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外），等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù)。加、減、乘、除法各部分之間的關(guān)系：（1）加數(shù)加數(shù)=和和一個(gè)加數(shù)=另一個(gè)加數(shù)（2）被減數(shù)減數(shù)=差被減數(shù)差=減數(shù) 被減數(shù)減數(shù)=差（3）因數(shù)因數(shù)=積積一個(gè)因數(shù)=另一個(gè)因數(shù)（4）被除數(shù)除數(shù)=商被除數(shù)商=除數(shù) 商除數(shù)=被除數(shù)被除數(shù)除數(shù)=商余數(shù)（被除數(shù)余數(shù)）商=除數(shù)（被除數(shù)余數(shù)）除數(shù)=商商除數(shù)余數(shù)=被除數(shù)四則運(yùn)算之間的關(guān)系：加法可用減法驗(yàn)算，減法可用加法或減法驗(yàn)算。乘法可用除法驗(yàn)算，除法可用乘法或除法驗(yàn)算。四則運(yùn)算中要注意的特殊情況：（以下算式中的a 作除數(shù)時(shí)不等于0）加法：aa=2a a0=a減法：aa=0 a0=a乘法：aa=a2 a0=0 a1=a除法：aa=1 0a=0 a1=a 1a=1/a四則運(yùn)算中和、差、積、商的變化規(guī)律：和的變化規(guī)律： 如果一個(gè)加數(shù)增加（或減少）一個(gè)數(shù)，另一個(gè)加數(shù)不變，那么它們的和也跟著增加（或減少）同一個(gè)數(shù)。如果一個(gè)加數(shù)增加一個(gè)數(shù)，而另一個(gè)加數(shù)減少同一個(gè)數(shù)，那么它們的和不變。差的變化規(guī)律： 如果被減數(shù)增加（或減少）一個(gè)數(shù)，減數(shù)不變，那么它們的差也增加（或減少）同一個(gè)數(shù)。如果減數(shù)增加（或減少）一個(gè)數(shù)，被減數(shù)不變，那么它們的差也減少（或增加）同一個(gè)數(shù)。如果被減數(shù)和減數(shù)都增加（或減少）同一個(gè)數(shù)，那么它們的差不變。積的變化規(guī)律：如果一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大（或縮小）若干倍，另一個(gè)因數(shù)不變，那么它們的積也擴(kuò)大(或縮小)相同的倍數(shù)。如果一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大若干倍，而另一個(gè)因數(shù)縮小同樣的倍數(shù)，那么它們的積不變。如：180X25=（1804）X（25X4）=45X100=4500商的變化規(guī)律：如果被除數(shù)擴(kuò)大（或縮?。┤舾杀?，除數(shù)不變，那么它們的商也擴(kuò)大（或縮?。┫嗤谋稊?shù)。如果被除數(shù)不變，除數(shù)擴(kuò)大（或縮?。┤舾杀叮敲此鼈兊纳叹涂s?。ɑ驍U(kuò)大）同樣的倍數(shù)。被除數(shù)和除數(shù)都擴(kuò)大（或縮?。┩瑯拥谋稊?shù)，他們的商不變。如：37525=（375X4）（25X4）=1500 100=15七、四則混合運(yùn)算：（1）在數(shù)的運(yùn)算中，加法和減法叫做第一級(jí)運(yùn)算。乘法和除法叫做第二級(jí)運(yùn)算。（2）四則混合運(yùn)算的順序。有括號(hào)的要先算小括號(hào)里面的，再算中括號(hào)里面的，最后算括號(hào)外面的；在沒(méi)有括號(hào)的算式里，要先算乘、除法，再算加、減法；一個(gè)算式里只有乘、除法或者只有加、減法，要按照從左到右的順序依次進(jìn)行計(jì)算。運(yùn)算定律和運(yùn)算性質(zhì)：名稱(chēng)用字母表示舉例加法交換律a+b=b+a 8+5=5+8加法結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c)37+46+23=46+(37+23)乘法交換律ab=ba56=65乘法結(jié)合律(ab)c=a( bc)37254=37( 254)乘法分配律acbc=(ab)c2436+7636=(24+76)36減法的性質(zhì)1a-b-c=a-(b+c)72-9-21=72-(9+21)減法的性質(zhì)2a-b-c=a-c-b75-39-25=75-25-39除法的性質(zhì)1abc=a(bc)21065=210 (65)除法的性質(zhì)2abc=acb210157=210715“除以”與“除”的區(qū)別：“除以”是正敘，前面的是被除數(shù)，后面的是除數(shù)?！俺笔堑箶?，前面的是除數(shù)，后面的是被除數(shù)。解答文字題的規(guī)律：規(guī)律1：如果問(wèn)題中有“和是多少？”、“差是多少？”、“積是多少？”或“商是多少？”，那么題目里一定有“加”、“減”、“乘”、“除以”、“除”等相對(duì)應(yīng)的詞語(yǔ)。規(guī)律2：題目里有“和”、“差”、“積”、“商”的，要先算出來(lái)。規(guī)律3：題目要求“求這個(gè)數(shù)”或“這個(gè)數(shù)是多少？”的文字題，一般要用方程解答比較簡(jiǎn)便。規(guī)律4：注意“比多（少）”這樣的關(guān)鍵字，這樣的問(wèn)題涉及較大量、較小量和相差量。規(guī)律5：括號(hào)是為了改變運(yùn)算順序，必要時(shí)才能使用，規(guī)律是先用小括號(hào)，再用中括號(hào)。八、用字母表示數(shù)字母在數(shù)學(xué)中的作用：（1）字母可以表示任何數(shù)。（2）字母可以表示數(shù)量關(guān)系。（3）字母可以表示運(yùn)算定律和性質(zhì)。（4）字母可以表示公式、計(jì)算法則。（5）字母可以表示計(jì)量單位。含有字母的式子的書(shū)寫(xiě)規(guī)則：（1）字母和字母相乘，乘號(hào)可簡(jiǎn)寫(xiě)為“”，也可省略不寫(xiě)。如果要省略，字母的先后順序要盡量按字母表上的先后順序。如：xy=xy=xy （2）數(shù)和字母相乘，乘號(hào)可簡(jiǎn)寫(xiě)為“”，也可省略不寫(xiě)。如果要省略，數(shù)字要寫(xiě)在字母前面。如：a8=a8=8a（3）幾個(gè)相同字母相乘可以寫(xiě)成字母的幾次方。如：aa=a2 aaa=a3（4）幾個(gè)相同字母相加可以用乘法表示。如：a+a=2a a+a+a=3a（5）1和字母相乘時(shí)，1省略不寫(xiě)。如：1a=a（6）用含有字母的式子表示問(wèn)題的答案或表示數(shù)量時(shí)，如果式子中有加號(hào)或減號(hào)，要用括號(hào)把含有字母的式子括起來(lái)。如：小明有a歲，媽媽比他大24歲，媽媽有（a+24）歲。求代數(shù)式的值：求含有字母的式子的值，只要用數(shù)代替式子中的字母，計(jì)算出結(jié)果即可。 解答此類(lèi)題目的關(guān)鍵在于正確地用含有字母的式子表示出數(shù)量關(guān)系和解答時(shí)的書(shū)寫(xiě)格式。例如：小明每天做a道口算題，小亮每天做的口算題比小明的2倍少3道。（1）用式子表示出小亮做幾道算術(shù)題。（2）根據(jù)這個(gè)式子，當(dāng)a=20時(shí)，計(jì)算小亮每天做多少道口算題。解：（1）2a-3（2）當(dāng)a=20時(shí)， 2a-3 =220-3 =37（道） 答：小亮每天做37道口算題。九、簡(jiǎn)易方程式子、等式和方程：（1）像23、a3、6b、a8、32=5、2x8=10用來(lái)表示幾個(gè)數(shù)之間關(guān)系的，都叫做式子。（2）像32=5、2x8=10這樣表示左右兩邊相等的式子，都叫做等式。（3）像x=2、3a2=5、2x8=10這樣含有未知數(shù)（x等字母）的等式，叫做方程。式子、等式和方程三者之間的關(guān)系：方程是等式中的一部分；等式又是式子中的一部分。換句話(huà)說(shuō)式子包含等式；等式包含方程。方程的解和解方程：（1）使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解。（2）求方程的解的過(guò)程叫做解方程。方程的解是一個(gè)結(jié)果，如x=7。解方程是一個(gè)過(guò)程。解方程的方法：等式的性質(zhì)：等式的左邊和右邊同時(shí)加上、減去、乘上、除以（不為0）一個(gè)數(shù)，左右兩邊仍然相等。 利用等式的基本性質(zhì)，可以用于解方程，也可以根據(jù)四則運(yùn)算中各部分的關(guān)系解方程。另外，解比例方程就要用到比例的基本性質(zhì)：兩外項(xiàng)的積等于兩內(nèi)項(xiàng)的積。列方程解應(yīng)用題的步驟：第一步：弄清題意，設(shè)未知數(shù)為x第二步：分析、寫(xiě)數(shù)量關(guān)系第三步：列方程并解方程第四步：檢驗(yàn)，寫(xiě)出答案如何找等量關(guān)系：（1）充分利用表示等量關(guān)系的關(guān)鍵性詞語(yǔ)；（2）利用常見(jiàn)的四則運(yùn)算的意義及數(shù)量關(guān)系；（3）利用常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系式；（4）利用計(jì)算公式十、常見(jiàn)計(jì)量單位及進(jìn)率常見(jiàn)的量長(zhǎng)度單位：1000 10 10 10 千米 米 分米 厘米 毫米（km） （m） （dm） （cm） （mm）面積單位： 100 10000 100 100平方千米 公頃 平方米 平方分米（km2） （ha） （m2） （dm2） 100平方厘米 平方毫米（cm2） （mm2）體積單位和容積單位：體積單位： 1000 1000立方米 立方分米 立方厘米（m3） （dm3） （cm3） 1 1容積單位： 1000升 毫升（L） （ml）時(shí)間單位： 100 12 24 60 60世紀(jì) 年 月 日 時(shí) 分 秒季度：1年=4個(gè)季度 注：季度不是季節(jié)第一季度：1月、2月、3月閏年91天，平年90天第二季度：4月、5月、6月91天第三季度：7月、8月、9月92天第四季度：10月、11月、12月92天旬：1個(gè)月=3個(gè)旬上旬：頭10天中旬：中間10天下旬：剩下的天數(shù)（大月11天，小月10天， 閏年二月9天，平年二月8天）周：1周=7天=168小時(shí)判斷閏年、平年的方法：用年份數(shù)除以4，能被4整除的是閏年，不能被4整除的是平年。如果年份數(shù)的是整百、整千或幾千幾百的，能被400整除的，才是閏年，反之，則是平年。例如：20104=5022 所以2010年是平年 20124=503 所以2012年是閏年 1800400=4200 所以1800年是平年 2000400=5 所以2000年是閏年時(shí)間與時(shí)刻：下午1時(shí)30分 下午3時(shí)1時(shí)30分圖中的“下午1時(shí)30分”叫做起始時(shí)刻，“下午3時(shí)”叫做終止時(shí)刻，“1時(shí)30分”叫做經(jīng)過(guò)時(shí)間。 時(shí)刻是一個(gè)點(diǎn)，時(shí)間是一條線(xiàn)段。時(shí)刻可以用24時(shí)計(jì)時(shí)法和12時(shí)計(jì)時(shí)法表示，也可以用時(shí)間的格式表示。而時(shí)間不能用計(jì)時(shí)法的格式表示。經(jīng)過(guò)時(shí)間=終止時(shí)刻起始時(shí)刻終止時(shí)刻=起始時(shí)刻經(jīng)過(guò)時(shí)間起始時(shí)刻=終止時(shí)刻經(jīng)過(guò)時(shí)間質(zhì)量單位： 1000 1000噸 千克 克（t） （kg） （g）人民幣單位： 10 10元 角 分十一、名數(shù)的改寫(xiě)名數(shù)的概念：聯(lián) 系區(qū)別除法被除數(shù)除號(hào)除數(shù)（不能為0）商除法是一種運(yùn)算分?jǐn)?shù)分子分?jǐn)?shù)線(xiàn)分母（不能為0）分?jǐn)?shù)值分?jǐn)?shù)是一種數(shù)比前項(xiàng)比號(hào)后項(xiàng)（不能為0）比值比是一種關(guān)系名數(shù)：計(jì)量的結(jié)果，要用數(shù)來(lái)表示，并且還要帶上單位名稱(chēng)，通常把它們合起來(lái)叫做名數(shù)。如： 8 千米 名數(shù)數(shù) 單位名稱(chēng)單名數(shù)：只帶一個(gè)單位名稱(chēng)的名數(shù)叫單名數(shù)。如：40ml、5kg、3m2、0.5cm。復(fù)名數(shù)：含有兩個(gè)或兩個(gè)以上單位名稱(chēng)的名數(shù)叫復(fù)名數(shù)。如：17時(shí)30分、3米40厘米。名數(shù)的改寫(xiě)方法：同一種量卻不同單位的名數(shù)，在進(jìn)行相互改寫(xiě)時(shí)，用如下方法：高級(jí)單位 低級(jí)單位低級(jí)單位 高級(jí)單位在具體計(jì)算時(shí)，可以用小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)引起小數(shù)大小變化的規(guī)律來(lái)簡(jiǎn)化計(jì)算。單名數(shù)改寫(xiě)為復(fù)名數(shù)：?jiǎn)蚊麛?shù)的單位和復(fù)名數(shù)的高級(jí)單位相同，整數(shù)部分直接提出。剩下的小數(shù)部分乘上進(jìn)率，作低級(jí)單位的數(shù)值。單名數(shù)的單位和復(fù)名數(shù)的低級(jí)單位相同，先除以進(jìn)率，得到的整數(shù)商作高級(jí)單位的數(shù)值，余數(shù)作低級(jí)單位的數(shù)值。復(fù)名數(shù)改寫(xiě)為單名數(shù)：復(fù)名數(shù)的低級(jí)單位和單名數(shù)的單位相同，則低級(jí)單位的數(shù)值不變。把復(fù)名數(shù)的高級(jí)單位乘上進(jìn)率化為低級(jí)單位，最后把不變的數(shù)與換算后的數(shù)相加。復(fù)名數(shù)的高級(jí)單位和單名數(shù)的單位相同，則高級(jí)單位的數(shù)值不變。把復(fù)名數(shù)的低級(jí)單位除以進(jìn)率化為高級(jí)單位，最后把不變的數(shù)與換算后的數(shù)相加。十二、比比的意義：兩個(gè)數(shù)相除又叫做兩個(gè)數(shù)的比，“:”叫做比號(hào)，讀作“比”。比號(hào)前面的數(shù)叫做比的前項(xiàng)，比號(hào)后面的數(shù)叫做比的后項(xiàng)。 比的后項(xiàng)不能為0，比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)所得的商，叫做比值。比值既可以是整數(shù)，也可以用小數(shù)、分?jǐn)?shù)表示。比值后面不能帶單位。比、除法、分?jǐn)?shù)的區(qū)別與聯(lián)系：根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，兩個(gè)數(shù)的比也可以寫(xiě)成分?jǐn)?shù)的形式。例如：15 : 10也可以寫(xiě)成 ，仍讀作：“15比10”寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式時(shí)，只能出現(xiàn)真分?jǐn)?shù)或假分?jǐn)?shù)的形式，不能出現(xiàn)帶分?jǐn)?shù)形式。比的基本性質(zhì)：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0除外），比值不變。這叫做比的基本性質(zhì)。利用商不變性質(zhì)，我們可以進(jìn)行除法的簡(jiǎn)算，也可以把小數(shù)除法變?yōu)檎麛?shù)除法計(jì)算。 根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，我們可以把分?jǐn)?shù)約分成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。應(yīng)用比的基本性質(zhì)，我們可以把比化成最簡(jiǎn)整數(shù)比。化簡(jiǎn)比：（1）最簡(jiǎn)整數(shù)比：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)是互質(zhì)數(shù)的比，叫做最簡(jiǎn)整數(shù)比。（2）化簡(jiǎn)比：把一個(gè)比化成和它比值相等的最簡(jiǎn)整數(shù)比的過(guò)程。怎樣化簡(jiǎn)整數(shù)比？比的前、后項(xiàng)都除以它們的最大公因數(shù)最簡(jiǎn)比。怎樣化簡(jiǎn)小數(shù)比？比的前、后項(xiàng)都擴(kuò)大相同的倍數(shù)整數(shù)比最簡(jiǎn)比。怎樣化簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)比？比的前、后項(xiàng)都乘它們分母的最小公倍數(shù)整數(shù)比最簡(jiǎn)比。帶有單位名稱(chēng)的兩個(gè)比，不管是求比值還是化簡(jiǎn)比，結(jié)果都不能帶單位名稱(chēng)。通常，無(wú)論求比值還是化簡(jiǎn)比，還可以用另外一種方法，即都可以用前項(xiàng)除以后項(xiàng)來(lái)計(jì)算，只是在最后結(jié)果的書(shū)寫(xiě)形式上不同。求比值和化簡(jiǎn)比的區(qū)別：求比值化簡(jiǎn)比意義比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)所得的商把一個(gè)比化成最簡(jiǎn)整數(shù)比的過(guò)程方法前項(xiàng)后項(xiàng)前、后項(xiàng)同時(shí)乘或除以一個(gè)不為0的數(shù)結(jié)果是一個(gè)數(shù)是一個(gè)比十三、比例比例的意義：表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。組成比例的四個(gè)數(shù)，叫做比例的項(xiàng)。兩端的兩項(xiàng)叫做比例的外項(xiàng)，中間的兩項(xiàng)叫做比例的內(nèi)項(xiàng)。比例的基本性質(zhì)：在比例里，兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積，這叫做比例的基本性質(zhì)。用字母表示為：如果a:b=c:d，那么ad=bc。比和比例的區(qū)別與聯(lián)系：意義項(xiàng)數(shù)基本性質(zhì)區(qū)別比表示兩個(gè)數(shù)相除2項(xiàng)比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0除外），比值不變。比是一個(gè)除法算式比例表示兩個(gè)比相等的式子4項(xiàng)兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積。比例是一個(gè)等式比例的判斷：判斷兩個(gè)比能不能組成比例，可以有兩種方法： （1）根據(jù)比例的意義判斷：看兩個(gè)比值是否相等。 （2）根據(jù)比例的基本性質(zhì)判斷：看兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積是否等于兩個(gè)外項(xiàng)的積。解比例：根據(jù)比例的基本性質(zhì)，如果已知比例中的任意三項(xiàng)，求另外一個(gè)未知項(xiàng)。叫做解比例。解比例的方法： 根據(jù)比例的基本性質(zhì)，把比例式轉(zhuǎn)化為乘積相等的等式，再根據(jù)以前學(xué)過(guò)的解方程的方法求解。比例尺：一幅圖的圖上距離和實(shí)際距離的比，叫做這幅圖的比例尺。比例尺的分類(lèi)：數(shù)值比例尺 1:5000000線(xiàn)段比例尺 縮小比例尺 1:5000000放大比例尺 50:1注意：（1）比例尺與一般的尺不同，它是一個(gè)比，不能帶有計(jì)量單位；（3）求比例尺時(shí)，一般要把較小的項(xiàng)化簡(jiǎn)成“1”。（4）無(wú)論是計(jì)算比例尺、計(jì)算實(shí)際距離，還是計(jì)算圖上距離，都要先把參加計(jì)算的數(shù)量統(tǒng)一成較小的長(zhǎng)度單位，然后再計(jì)算。這樣方便一些。 （5）計(jì)算實(shí)際距離和計(jì)算圖上距離時(shí)，數(shù)值比例尺最好寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式，這樣可以把比例尺當(dāng)作一個(gè)分?jǐn)?shù)來(lái)參加計(jì)算。十四、正比例和反比例：正比例的意義：兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化。如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系反比例的意義：兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化。如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的積一定，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。正比例和反比例的對(duì)比：正比例反比例相同點(diǎn)都是兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量隨著另一種量變化。不同點(diǎn)變化規(guī)律變化的方向相同，一種量擴(kuò)大(或縮小)，另一種量也擴(kuò)大(或縮小)。相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值（商）一定。變化的方向相反，一種量擴(kuò)大（或縮?。?，另一種量反而縮?。ɑ驍U(kuò)大）。相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的乘積一定。關(guān)系式關(guān)系式：關(guān)系式：判斷正、反比例的方法：（1）兩種量是否相關(guān)聯(lián)。（2）它們的關(guān)系是商一定，還是積一定。（3）商一定是正比例關(guān)系，積一定是反比例關(guān)系。不相關(guān)聯(lián)不成比例兩種量相加的關(guān)系不成比例相減的關(guān)系不成比例相關(guān)聯(lián)相乘的關(guān)系積一定成反比例相除的關(guān)系商(比值)一定成正比例正、反比例應(yīng)用題：用比例解問(wèn)題的過(guò)程可以歸納為以下幾個(gè)步驟： （1）設(shè)要求的問(wèn)題為x；（2）判斷題目中哪個(gè)量是一定的？另外兩種量成正比例關(guān)系（除的關(guān)系）還是成反比例關(guān)系（乘的關(guān)系）？（3）列比例式；（4）解比例，驗(yàn)算，作答。十五、點(diǎn)和線(xiàn)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)：我們學(xué)過(guò)哪些點(diǎn)？端點(diǎn)、頂點(diǎn)、交點(diǎn)、垂足、圓心討論點(diǎn)的時(shí)候，我們只討論點(diǎn)的位置，不討論它的大小、顏色、形狀等。一條線(xiàn)：線(xiàn)段：直線(xiàn)上兩點(diǎn)間的一段叫做線(xiàn)段。射線(xiàn)：把線(xiàn)段的一端無(wú)限延長(zhǎng)，就得到一條射線(xiàn)。直線(xiàn)：把線(xiàn)段的兩端無(wú)限延長(zhǎng)，就可以得到一條直線(xiàn)?？梢赃@樣理解：線(xiàn)段取消一個(gè)端點(diǎn)之后就成為射線(xiàn)，射線(xiàn)再取消端點(diǎn)就成為直線(xiàn)。經(jīng)過(guò)一點(diǎn)可以畫(huà)無(wú)數(shù)條直線(xiàn)。從一點(diǎn)可以引出無(wú)數(shù)條射線(xiàn)。經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)只可以畫(huà)一條直線(xiàn)。直線(xiàn)、射線(xiàn)和線(xiàn)段的比較：端點(diǎn)數(shù)量延長(zhǎng)性能否度量長(zhǎng)度比較直線(xiàn)沒(méi)有端點(diǎn)可向兩端無(wú)限延長(zhǎng)不能測(cè)量長(zhǎng)度無(wú)限長(zhǎng)，不能測(cè)量長(zhǎng)度射線(xiàn)有一個(gè)端點(diǎn)可向一端無(wú)限延長(zhǎng)不能測(cè)量長(zhǎng)度無(wú)限長(zhǎng)，不能測(cè)量長(zhǎng)度線(xiàn)段有兩個(gè)端點(diǎn)不能向兩端延長(zhǎng)能測(cè)量長(zhǎng)度有限長(zhǎng)，能測(cè)量長(zhǎng)度關(guān)于距離：兩點(diǎn)之間的距離，直線(xiàn)最短。直線(xiàn)外一點(diǎn)到這條直線(xiàn)的距離，垂直線(xiàn)段最短。兩條平行線(xiàn)之間的距離，垂直線(xiàn)段最短。兩條線(xiàn)：（一）兩條直線(xiàn)同一平面內(nèi)的兩條直線(xiàn)，要么相交，要么互相平行。同一平面內(nèi)永不相交的兩條直線(xiàn)叫做平行線(xiàn)，也可以說(shuō)兩條直線(xiàn)互相平行。兩條直線(xiàn)相交成直角時(shí)，這兩條直線(xiàn)互相垂直，其中一條直線(xiàn)叫做另一條直線(xiàn)的垂線(xiàn)，這兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)叫做垂足?；ハ嗥叫袃蓷l直線(xiàn)相交 互相垂直（二）兩條射線(xiàn)從一點(diǎn)引出的兩條射線(xiàn)所組成的圖形叫做角。這個(gè)點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，這兩條射線(xiàn)叫做角的邊，角通常用符號(hào)“”來(lái)表示。角的兩條邊叉開(kāi)得越大，角越大；叉開(kāi)得越小，角就越小。角的大小與兩條邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)。測(cè)量角的大小的工具是量角器。把半圓分成180等份，每一份所對(duì)的角叫做度數(shù)。記作 “ 1” 。量角的方法：把量角器放在角的上面，使量角器的中心與角的頂點(diǎn)重合。調(diào)整量角器，使“0”刻度線(xiàn)與角的一條邊重合。讀出角的另一邊所對(duì)量角器上的度數(shù)，就是這個(gè)角的度數(shù)。畫(huà)角的方法：確定頂點(diǎn)，畫(huà)一條射線(xiàn)；使量角器的中心與射線(xiàn)的端點(diǎn)重合，“0”刻度線(xiàn)與射線(xiàn)重合；在量角器上找出要畫(huà)的角的度數(shù)的刻度，點(diǎn)上一個(gè)點(diǎn)；把射線(xiàn)的端點(diǎn)與剛才的點(diǎn)連起來(lái)。角的分類(lèi)銳角：小于90的角直角：等于90的角角 鈍角：大于900而小于1800的角平角：等于180的角周角：等于360的角十六、面的歸類(lèi)三角形：（一）三角形的概念由三條線(xiàn)段圍成的封閉圖形叫做三角形。三角形具有穩(wěn)定性（不易變形）；三角形的三個(gè)內(nèi)角和是180。（二）三角形的分類(lèi)三角形按角分：一個(gè)三角形里最多會(huì)有一個(gè)鈍角，最多會(huì)有一個(gè)直角，最多會(huì)有三個(gè)銳角，最少會(huì)有兩個(gè)銳角。三角形按邊分：等腰三角形有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形。其中相等的兩條邊叫做腰，另一條叫做底。兩條腰的夾角叫做頂角，腰和底的夾角叫做底角，等腰三角形的兩個(gè)底角度數(shù)相等。不等邊三角形等邊三角形（正三角形）三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，又叫正三角形。等邊三角形的三條邊長(zhǎng)度相等，三個(gè)角的大小相等，都是60。等邊三角形是特殊的等腰三角形。三角形其中兩條線(xiàn)段的和大于第三條線(xiàn)段時(shí)，這樣的三條線(xiàn)段才能組成一個(gè)三角形。 換句話(huà)說(shuō)，較短的兩條邊的長(zhǎng)度之和要大于最長(zhǎng)的一條邊的長(zhǎng)度，那么這三條線(xiàn)段才能拼成一個(gè)三角形。四邊形：（一）四邊形的概念由四條線(xiàn)段圍成的封閉圖形叫做四邊形。四邊形具有不穩(wěn)定性（容易變形）；四邊形的四個(gè)內(nèi)角和是360。梯 形：只有一組對(duì)邊平行的四邊形叫做梯形。 在梯形里，互相平行的一組對(duì)邊叫做梯形的上底和下底，不平行的一組叫做梯形的腰，上底和下底之間的距離叫做梯形的高。 兩腰相等的梯形叫做等腰梯形；有一個(gè)直角的梯形叫做直角梯形。平行四邊形：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。平行四邊形對(duì)邊的長(zhǎng)度相等，對(duì)角的大小也相等。 從平行四邊形一條邊上的一點(diǎn)向?qū)呉粭l垂線(xiàn)，這點(diǎn)和垂足之間的線(xiàn)段叫做平行四邊形的高，這條邊叫做平行四邊形的底。 四條邊相等的平行四邊形叫做菱形。長(zhǎng)方形：兩組對(duì)邊分別平行并且相等，四個(gè)角都是直角的四邊形叫做長(zhǎng)方形。長(zhǎng)方形中較長(zhǎng)的一組對(duì)邊叫做長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，較短的一組對(duì)邊叫做長(zhǎng)方形的寬。 長(zhǎng)方形是特殊的平行四邊形。正方形四條邊相等，四個(gè)角都是直角的四邊形叫做正方形。正方形是特殊的長(zhǎng)方形。圓形：（一）圓形的概念在一個(gè)平面上，到定點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做圓。畫(huà)圓時(shí)，固定的一點(diǎn)叫做圓心（o），從圓心到圓上任意一點(diǎn)的線(xiàn)段叫做半徑（r），半徑有無(wú)數(shù)條；通過(guò)圓心并且兩端都在圓上的線(xiàn)段叫做直徑（d），直徑有無(wú)數(shù)條。圓心決定圓的位置，半徑（直徑）決定圓的大小。同圓或等圓中，所有的直徑都相等，所有的半徑也相等，直徑的長(zhǎng)度是半徑的兩倍（半徑的長(zhǎng)度是直徑的二分之一）。（二）圓環(huán)的概念在大圓中間挖去一個(gè)小圓，剩下的部分就形成了一個(gè)圓環(huán)，組成圓環(huán)的是兩個(gè)同心圓。（三）扇形的概念扇形是圓的一部分，扇形的大小與圓心角的度數(shù)有關(guān)系。十七、與面相關(guān)的計(jì)算平面圖形的周長(zhǎng)：圍成平面圖形的所有邊長(zhǎng)的總和，叫做平面圖形的周長(zhǎng)。平面圖形的面積：物體表面的大小或物體所占平面的大小，叫做面積。平面圖形的周長(zhǎng)和面積公式推導(dǎo)： a a h b a a a h a h b ar與平面圖形周長(zhǎng)、面積有關(guān)的計(jì)算公式：長(zhǎng)方形：正方形：平行四邊形：三角形：梯形：與圓有關(guān)的計(jì)算公