數(shù)學(xué)廣角——數(shù)與形.doc

數(shù)學(xué)廣角數(shù)與形一、教材分析數(shù)形結(jié)合是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想，把數(shù)和形結(jié)合起來(lái)解決問(wèn)題，可以使復(fù)雜的問(wèn)題變得更簡(jiǎn)單，使抽象的問(wèn)題變得更直觀。1、圖形中隱含著數(shù)的規(guī)律，可利用數(shù)的規(guī)律來(lái)解決圖形的問(wèn)題。本單元的例1以及相關(guān)練習(xí)就屬于這種情況。2、有些情況下，是利用圖形來(lái)直觀地解釋一些比較抽象的數(shù)學(xué)原理與事實(shí)，讓人一目了然。3、還有的時(shí)候，數(shù)與形密不可分，可用“數(shù)”來(lái)解決“形”的問(wèn)題，也可用“形”來(lái)解決“數(shù)”的問(wèn)題。例如，解析幾何中，函數(shù)圖象與方程、方程組互為工具，互為解釋，有機(jī)融合。小學(xué)中的正比例關(guān)系和反比例關(guān)系圖象也很好地反映了這樣的思想。連續(xù)奇數(shù)數(shù)列之和與正方形的關(guān)系教學(xué)內(nèi)容：人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材六年級(jí)上冊(cè)第107頁(yè)例1及相關(guān)練習(xí)。教學(xué)目標(biāo)：1體會(huì)數(shù)與形的聯(lián)系，進(jìn)一步積累數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想意識(shí)。2體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法價(jià)值，激發(fā)學(xué)生用數(shù)形結(jié)合思想方法解決問(wèn)題的興趣，感受數(shù)學(xué)的魅力。3在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，體會(huì)和掌握數(shù)形結(jié)合、歸納推理等基本的數(shù)學(xué)思想。教學(xué)重點(diǎn)：觀察、發(fā)現(xiàn)數(shù)與形的聯(lián)系，感受數(shù)形結(jié)合的價(jià)值教學(xué)難點(diǎn)：滲透極限思想教學(xué)準(zhǔn)備：課件，不同顏色的小正方形。學(xué)具準(zhǔn)備：不同顏色的小正方形，吸鐵板，作業(yè)紙。教學(xué)過(guò)程：一、談話導(dǎo)入，出示課題教師：最近老師發(fā)現(xiàn)，我有一項(xiàng)非常神奇的本領(lǐng)。什么本領(lǐng)呢？我發(fā)現(xiàn)只要從1開(kāi)始的連續(xù)奇數(shù)相加，比如，1+3,1+3+5像這樣的算式，我都算得特別快。你們信嗎？教師：不信也沒(méi)關(guān)系，我們現(xiàn)場(chǎng)來(lái)比一比。 師生比賽，看誰(shuí)算得快。教師：這個(gè)方法快嗎？你們想不想也像老師一樣算得快呢？教師：老師給你們一點(diǎn)點(diǎn)提示，我是借助圖形發(fā)現(xiàn)這個(gè)方法的，今天這節(jié)課我們就來(lái)研究數(shù)與形（板書(shū)）。 二、動(dòng)手實(shí)踐，以形解數(shù)1教師：我先根據(jù)算式中的加數(shù)拿出若干個(gè)圖形。比如，1+3，我就先拿一個(gè)小正方形，再拿三個(gè)小正方形（貼在黑板上），我發(fā)現(xiàn)這些數(shù)量的小正方形剛好可以拼成一個(gè)大正方形，那我就把它們拼成一個(gè)大的正方形。教師：接著，我觀察圖形和算式之間的關(guān)系，就發(fā)現(xiàn)了可以快速算得結(jié)果的方法，你們想不想自己試試看？教師：先來(lái)兩個(gè)加數(shù)的，再來(lái)三個(gè)加數(shù)的。請(qǐng)同學(xué)們?cè)谛〗M內(nèi)先完成第一步，再完成第二步，看看哪個(gè)小組最先發(fā)現(xiàn)老師的方法。2小組動(dòng)手操作，教師巡視。3學(xué)生匯報(bào)，全班交流分析。先討論1+3，再討論1+3+5。教師：根據(jù)同學(xué)們的匯報(bào)，大家認(rèn)為1+3=22，1+3+5=32。除了這兩組同學(xué)的匯報(bào)，你們還有其他發(fā)現(xiàn)嗎？學(xué)生：算式中加數(shù)的個(gè)數(shù)是幾，和就等于幾的平方。教師：你們認(rèn)同他的方法嗎？能不能舉個(gè)具體的例子來(lái)說(shuō)一說(shuō)？學(xué)生1：1+3+5+7+9=52。學(xué)生2：1+3+5+7+9+11=62。教師：那我們從頭來(lái)看一看。請(qǐng)看屏幕：1+3+5+7+9=（52）。教師：一個(gè)小正方形可以看成12，想要拼成一個(gè)更大的正方形，再增加1個(gè)是不夠的，增加的個(gè)數(shù)要比前一個(gè)加數(shù)再多2（也就是3）；想拼成更大的正方形，再增加3個(gè)是不夠的，還要比3個(gè)再多2個(gè)（也就是5個(gè)），此時(shí)是1+3+5；再往下去，要加7才能拼成更大的正方形，依此類推，加到了9，就能排成每行、每列的個(gè)數(shù)是5的大正方形。教師：那看來(lái)只要是1開(kāi)始的，連續(xù)的奇數(shù)相加，就能排成每行、每列個(gè)數(shù)是幾的大正方形，和也就是幾的平方。4練習(xí)。（1）1+3+5+7+9=（ ）2； 1+3+5+7+9+11+13=（ ）2；_=92。教師請(qǐng)學(xué)生獨(dú)立完成，然后全班核對(duì)答案。（2）利用規(guī)律，算一算。1+3+5+7+5+3+1=（ ）；1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1=（ ）。全班交流，請(qǐng)學(xué)生說(shuō)明計(jì)算結(jié)果和原因。5小結(jié)。教師：我們同學(xué)都很細(xì)心，現(xiàn)在不但能很快算出從1開(kāi)始的連續(xù)奇數(shù)的和，稍加一點(diǎn)變化，你們也照樣算得很快?，F(xiàn)在知道老師是用什么方法來(lái)快速計(jì)算這些題的吧？教師：這么巧妙的方法，我們是借助什么發(fā)現(xiàn)的？（圖形）?？磥?lái)，有的計(jì)算問(wèn)題借助圖形解決會(huì)更容易。就像這個(gè)題一樣，我們借助圖形發(fā)現(xiàn)了更巧妙、更簡(jiǎn)便的方法?！驹O(shè)計(jì)意圖】充分讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，感受如何將數(shù)和形結(jié)合，體會(huì)數(shù)和形之間的緊密聯(lián)系，同時(shí)讓學(xué)生感受到“形”可以展示“數(shù)”的特點(diǎn)，通過(guò)“形”使解決“數(shù)”的問(wèn)題變得更加容易。三、練習(xí)鞏固1下面每個(gè)圖中各有多少個(gè)紅色小正方形和多少個(gè)藍(lán)色小正方形？學(xué)生回答，課件出示答案。教師：請(qǐng)你認(rèn)真思考、觀察，上邊的圖形和對(duì)應(yīng)的數(shù)之間有什么規(guī)律？四人小組交流。教師：剛才有一個(gè)同學(xué)說(shuō)，藍(lán)色的小正方形順次增加1個(gè)，紅色的小正方形順次增加2個(gè)。為什么藍(lán)色的小正方形每次增加1個(gè)，而紅色的小正方形每次增加2個(gè)呢？教師：我們一起來(lái)看一看。第一個(gè)圖形，若要增加1個(gè)藍(lán)色小正方形，其上方、下方就要各增加1個(gè)紅色小正方形；依此類推，第三個(gè)圖形在第二個(gè)圖形的基礎(chǔ)上增加了1個(gè)藍(lán)色小正方形，則紅色小正方形就要增加幾個(gè)？教師：如果不讓你看圖，照這樣畫(huà)下去，第6個(gè)和第10個(gè)圖形各有幾個(gè)紅色小正方形和藍(lán)色小正方形呢？你能寫(xiě)出來(lái)嗎？在草稿本上寫(xiě)一寫(xiě)。教師請(qǐng)學(xué)生介紹，說(shuō)說(shuō)是怎么算出來(lái)的。教師：觀察發(fā)現(xiàn)，圖形中左右兩側(cè)的紅色小正方形個(gè)數(shù)固定不變（為6個(gè)），在中間部分，藍(lán)色小正方形的個(gè)數(shù)乘以2就是紅色小正方形的個(gè)數(shù)。即使在藍(lán)色小正方形個(gè)數(shù)較多的情況下，仍然可以算得很快，看來(lái)圖形問(wèn)題確實(shí)也蘊(yùn)涵著數(shù)的規(guī)律。找到了其中的規(guī)律，解決問(wèn)題就清晰、容易多了。2課件出示教材第109頁(yè)練習(xí)二十二第2題。（1）教師：上方有圖，下方有對(duì)應(yīng)的數(shù)字，請(qǐng)你觀察和思考，圖和數(shù)之間有什么規(guī)律？小組交流一下。全班交流。學(xué)生：第2個(gè)圖形中小圓的個(gè)數(shù)為1+2，第3個(gè)圖形中小圓的個(gè)數(shù)為1+2+3，第4個(gè)圖形中小圓的個(gè)數(shù)為1+2+3+4。學(xué)生：是第幾個(gè)圖形，其中就有幾行小圓。教師：照這個(gè)規(guī)律往下畫(huà)，你能畫(huà)出來(lái)嗎？圖形下方的數(shù)字表示的是什么？第5個(gè)、第6個(gè)、第7個(gè)圖形下方的數(shù)，你能不能很快寫(xiě)出來(lái)？教師請(qǐng)學(xué)生獨(dú)立完成在練習(xí)紙上。教師請(qǐng)學(xué)生匯報(bào)，說(shuō)說(shuō)是怎么得到結(jié)果的。教師：圖形中的最后一行是第幾行？含有幾個(gè)小圓？教師：現(xiàn)在如果老師不讓你畫(huà)圖，你能不能想象一下第10個(gè)圖形，它是什么樣子的？一共有多少個(gè)小圓呢？現(xiàn)在我們就不畫(huà)圖，算一算，第10個(gè)圖形下方的那個(gè)數(shù)是多少？能算出來(lái)嗎？動(dòng)筆試一試。展示學(xué)生作品，請(qǐng)學(xué)生介紹方法。（2）教師介紹“三角形數(shù)”“正方形數(shù)”。教師：同學(xué)們發(fā)現(xiàn)沒(méi)有，55個(gè)小圓能排成什么圖形？（三角形）而且這個(gè)三角形的每一行的小圓的個(gè)數(shù)分別是從1到10。教師：回過(guò)頭來(lái)看看。3、6、10、15、21呢？它們是否也具有同樣的特點(diǎn)？教師：在數(shù)學(xué)上，我們把1、3、6、10、15、21、28這樣的數(shù)稱為“三角形數(shù)”。請(qǐng)同學(xué)們想一想，28后面的下一個(gè)三角形數(shù)是多少？（36）教師：大家再看，一個(gè)圖形，如果是4個(gè)小正方形可以拼成大正方形，如果是9個(gè)小正方形可以拼成大正方形，16個(gè)小正方形也可以拼成大正方形。像這樣的數(shù)，我們稱之為“正方形數(shù)”?！驹O(shè)計(jì)意圖】通過(guò)兩個(gè)練習(xí)，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的特點(diǎn)，感受用形來(lái)解決數(shù)的有關(guān)問(wèn)題的直觀性與簡(jiǎn)捷性。在練習(xí)中充分讓學(xué)生動(dòng)腦、動(dòng)口、動(dòng)手，在交流中發(fā)現(xiàn)特點(diǎn)，解決問(wèn)題。四、回顧反思教師：今天這節(jié)課，我們一起學(xué)習(xí)了“數(shù)與形”，說(shuō)說(shuō)你有什么收獲？ 利用圖形求等比數(shù)列之和教學(xué)設(shè)計(jì) 教學(xué)內(nèi)容：人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材六年級(jí)上冊(cè)第107108頁(yè)例2及相關(guān)練習(xí)。教學(xué)目標(biāo)：1在學(xué)習(xí)過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生探索研究數(shù)與形之間的聯(lián)系，尋找規(guī)律，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，學(xué)會(huì)利用圖形來(lái)解決一些有關(guān)數(shù)的問(wèn)題。2讓學(xué)生經(jīng)歷猜想與驗(yàn)證的過(guò)程，體會(huì)和掌握數(shù)形結(jié)合、歸納推理、極限等基本數(shù)學(xué)思想。教學(xué)重難點(diǎn)：探索數(shù)與形之間的聯(lián)系，尋找規(guī)律，并利用圖形來(lái)解決有關(guān)數(shù)的問(wèn)題。教學(xué)準(zhǔn)備：教學(xué)課件。教學(xué)過(guò)程：一、直接導(dǎo)入，揭示課題同學(xué)們，上節(jié)課我們探究了圖形中隱藏的數(shù)的規(guī)律，今天我們繼續(xù)研究有關(guān)數(shù)與圖形之間的聯(lián)系。（板書(shū)課題：數(shù)與形）【設(shè)計(jì)意圖】直奔主題，簡(jiǎn)潔明了，有利于學(xué)生清楚本節(jié)課學(xué)習(xí)的內(nèi)容和方向。二、探索發(fā)現(xiàn)，學(xué)習(xí)新知（一）教師與學(xué)生比賽算題1教師：你知道等于多少嗎？（學(xué)生：）教師：那等于多少呢？（學(xué)生計(jì)算需要時(shí)間）教師緊接著說(shuō)：我已經(jīng)算好了，是，不信你算算。2只要按照這個(gè)分子是1，分母依次擴(kuò)大2倍的規(guī)律寫(xiě)下去，不管有多少個(gè)分?jǐn)?shù)相加，我都能立馬算出結(jié)果。有的同學(xué)不相信是嗎？咱們?cè)囋嚲椭?。為了方便，我?qǐng)我們班計(jì)算最快的同學(xué)跟我一起算，看看結(jié)果是否相同。誰(shuí)來(lái)出題？學(xué)生出題。預(yù)設(shè)：，在學(xué)生出題后，老師都能立刻算出結(jié)果，并且是正確的，學(xué)生感到很驚奇。3知道我為什么算得那么快嗎？因?yàn)槲矣幸患衩氐姆▽?，你們也想知道嗎？【設(shè)計(jì)意圖】一方面，教師通過(guò)與學(xué)生比賽計(jì)算速度，且每次老師勝利，使學(xué)生產(chǎn)生好奇心，再通過(guò)教師幽默的語(yǔ)言，吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲。另一方面，為接下來(lái)學(xué)習(xí)例題做好鋪墊。（二）借助正方形探究計(jì)算方法1這件法寶就是（師邊說(shuō)邊課件出示一個(gè)正方形），讓我們來(lái)把它變一變，聰明的同學(xué)們一定能看明白是怎么回事了。2進(jìn)行演示講解。（1）演示：用一個(gè)正方形表示“1”，先取它的一半就是正方形的（涂紅），再剩下部分的一半就是正方形的（涂黃）。想一想：正方形中表示的涂色部分與空白部分和整個(gè)正方形之間有什么關(guān)系呢？（涂色部分等于“1”減去空白部分）空白部分占正方形的幾分之幾？（）那么涂色部分還可以怎么算呢？（），也就是說(shuō)。（2）繼續(xù)演示，誰(shuí)知道除了通分，還可以怎么算？根據(jù)學(xué)生回答，板書(shū)。（3）演示：那么計(jì)算就可以得到？（）。3看到這兒，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律了嗎？4小結(jié)：按照這樣的規(guī)律往下加，不管加到幾分之一，只要用1減去這個(gè)幾分之一就可以得到答案了。5這個(gè)法寶怎么樣？誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)它好在哪里？你學(xué)會(huì)了嗎？6嘗試練習(xí)：；?！驹O(shè)計(jì)意圖】將復(fù)雜的數(shù)量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的圖形面積計(jì)算，轉(zhuǎn)繁為簡(jiǎn)，轉(zhuǎn)難為易，引導(dǎo)學(xué)生探索數(shù)與圖形的聯(lián)系，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)形結(jié)合、歸納推理的數(shù)學(xué)思想方法。（三）知識(shí)提升，探索發(fā)現(xiàn)1感受極限。（1）剛才我們已經(jīng)從一直加到了，如果我繼續(xù)加，加到，得數(shù)等于？（）再接著加，一直加到，得數(shù)等于？（）隨著不斷繼續(xù)加，你發(fā)現(xiàn)得數(shù)越來(lái)越？（大）無(wú)數(shù)個(gè)這樣的數(shù)相加，和會(huì)是多少呢？（2）這時(shí)候你心中有沒(méi)有一個(gè)大膽的猜想？（學(xué)生猜想：這樣一直加下去，得數(shù)會(huì)不會(huì)就等于1了。）（3）想象一下，如果我們?cè)趧偛偶拥倪^(guò)程中在正方形上不斷涂色，那空白部分的面積就越來(lái)越？（?。┒可糠值拿娣e越來(lái)越接近？（1）也就是求和的得數(shù)越來(lái)越接近？（1）最終得數(shù)是1嗎？你有什么方法來(lái)證明得數(shù)就是1？（學(xué)情預(yù)設(shè)：學(xué)生提出書(shū)本的圓形圖和線段圖，若沒(méi)有學(xué)生提出，教師自己提出。）2利用線段圖直觀感受相加之和等于“1”。（1）書(shū)本上有兩幅圖，我們一起來(lái)看看（課件出示）。一幅是圓形圖，一幅是線段圖，你能看懂它的意思嗎？請(qǐng)你想一想，然后告訴大家你的想法。（2）學(xué)生看書(shū)思考。（3）全班交流，課件演示，得出結(jié)論：這些分?jǐn)?shù)不斷加下去，總和就是1?！驹O(shè)計(jì)意圖】利用數(shù)與形的結(jié)合，讓學(xué)生直觀體會(huì)極限數(shù)學(xué)思想，并讓學(xué)生經(jīng)歷猜想得數(shù)等于“1”，到數(shù)形結(jié)合證明得數(shù)等于“1”的過(guò)程，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生探索新知的精神。3課堂小結(jié)。對(duì)于這種借用圖形來(lái)幫助我們解決問(wèn)題的方法，你有什么感受？教師小結(jié)：是的，“數(shù)”與“形”有著緊密的聯(lián)系，在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。當(dāng)用數(shù)形結(jié)合的方法解決問(wèn)題時(shí)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)許多難題的解決變得很簡(jiǎn)單。4舉一反三。其實(shí)在以前的學(xué)習(xí)中，我們也常用到數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)方法幫助我們解題，你能想到些例子嗎？（如學(xué)生有困難，教師舉例：一年級(jí)加法，分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)，復(fù)雜的路程問(wèn)題線段圖等。）【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常用的方法。三、練習(xí)鞏固1基礎(chǔ)練習(xí)。（1）學(xué)生獨(dú)立計(jì)算。（2）全班交流反饋?！驹O(shè)