第二章-數(shù)學模型最新.ppt

控制工程基礎第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型 1 控制系統(tǒng)的數(shù)學模型 內(nèi)容 2 1系統(tǒng)的微分方程2 2系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2 3系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖及其簡化2 4反饋控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)2 5相似原理 本章基本要求 基本要求 1 了解動態(tài)微分方程建立的一般方法 2 熟記Laplace變換的基本定理 并掌握運用Laplace變換解微分方程的方法 3 熟悉典型信號的Laplace變換 掌握較復雜信號的分解技術 4 正確理解傳遞函數(shù)的定義 性質和意義 5 熟練掌握由系統(tǒng)的微分方程組建立動態(tài)結構圖并通過等效變換計算系統(tǒng)傳遞函數(shù)的方法 引言 1 建立數(shù)學模型 把系統(tǒng)的物理特性表達為數(shù)學形式 定量描述系統(tǒng)的動態(tài)特性 揭示系統(tǒng)的結構參數(shù)與動態(tài)性能之間的關系 采用解析法和實驗法 解析法即依據(jù)元件各變量所遵循的物理 化學定律 列寫變量間的數(shù)學關系式 建立數(shù)學模型 本課程著重于經(jīng)典控制論范疇 主要的研究對象是線性系統(tǒng) 在時域中用線性微分方程描述系統(tǒng)的動態(tài)特性 在復數(shù)域或頻域中 用傳遞函數(shù)或頻率特性來描述系統(tǒng)的動態(tài)特性 引言 2 一般的 表達系統(tǒng)輸入x t 與輸出y t 之間的動態(tài)關系的微分方程為 當出現(xiàn)如下情況則為非線性方程系數(shù)依賴輸入輸出或其導數(shù) 如 出現(xiàn)時間t的其他函數(shù)形式 如 出現(xiàn)常數(shù)項 如 引言 3 線性系統(tǒng) 系統(tǒng)的數(shù)學模型由線性微分方程描述 線性定常系統(tǒng) 用線性常微分方程描述的系統(tǒng) 線性時變系統(tǒng) 描述系統(tǒng)的線性微分方程的系數(shù)為時間的函數(shù) 線性系統(tǒng)滿足疊加原理 即 引言 4 疊加原理說明 對于線性系統(tǒng) 一個輸入的存在不會影響由這個輸入引起的輸出 因此 分析各個輸入作用在線性系統(tǒng)上引起的輸出時 可以先分析單個輸入產(chǎn)生的輸出 再疊加這些輸出 可以用來分析系統(tǒng)存在輸入和擾動的情況 分別分析輸入和擾動引起的輸出 再疊加系統(tǒng)的輸出 2 1系統(tǒng)的微分方程及其列寫 1 一 列寫微分方程的一般方法1 確定系統(tǒng)和各元件的輸入輸出變量 2 從輸入端開始 按照信號傳遞順序 依據(jù)各變量遵循的物理 化學定律 列寫運動過程中的動態(tài)方程 一般為微分方程組 3 消去中間變量 得到輸入輸出微分方程 4 標準化 將與輸入有關的各項放在等號右側 與輸出有關的各項放在等號的左側 并按變量降冪排列 2 1系統(tǒng)的微分方程及其列寫 2 二 示例電系統(tǒng) R L C串聯(lián)電路機械系統(tǒng) 機械平移系統(tǒng)機電系統(tǒng) 直流調速控制系統(tǒng) R L C串聯(lián)電路示意圖 由電阻R 電感L 電容C組成的R L C電路 輸入量為ur t 輸出量為uc t 求該電路的微分方程 數(shù)學模型 R L C串聯(lián)電路的數(shù)學模型 1 確定輸入輸出 輸入ur t 輸出uc t 中間變量i 2 根據(jù)基爾霍夫定律 3 消去中間變量 4 標準化 此即R L C電路的數(shù)學模型 輸入 輸出模型 它描述了輸入ur t 和輸出uC t 之間的動態(tài)關系 機械平移系統(tǒng)示意圖 由彈簧 質量 阻尼器組成的機械平移系統(tǒng) 外力f t 為輸入信號 位移y t 為輸出信號 列寫其運動方程式 k 彈簧的彈性系數(shù) m 運動部件的質量 阻尼器的粘性摩擦系數(shù) 機械平移系統(tǒng)的特點 在機械系統(tǒng)中 通常研究力 或轉矩 與位移 或角位移 的因果關系 組成機械系統(tǒng)的基本元件有 彈簧 或彈性軸 阻尼器和運動部件 阻尼器是一種產(chǎn)生粘性摩擦阻力裝置 所產(chǎn)生的阻力與運動速度成正比 阻尼器不儲存能量 它將動能轉化為熱能消耗掉 機械平移系統(tǒng)的基本關系 假設彈簧和阻尼器運動部分的質量忽略不計 運動部件的質量是集中參數(shù) 設彈簧的變形在彈性范圍內(nèi) 則彈性力為 阻尼器的阻尼力為 機械平移系統(tǒng)的數(shù)學模型 輸入f t 輸出y t 根據(jù)牛頓定律 消去中間變量f1 t f2 t 標準化 此即機械平移系統(tǒng)以外力f t 為輸入信號 位移y t 為輸出信號的運動方程式 即數(shù)學模型 直流調速控制系統(tǒng)示意圖 直流調速控制系統(tǒng)微分方程列寫 1 給定輸入ur 輸出 系統(tǒng)原理圖 直流調速控制系統(tǒng)微分方程列寫 2 1 比較器2 放大器 直流調速控制系統(tǒng)微分方程列寫 3 3 直流電機 ed 給定輸入 電樞電壓ua輸出 電動機轉速 擾動輸入 負載轉矩ML電樞電感La 電樞電阻Ra電樞電流ia 電樞反電勢ed電磁力矩MD恒定的激磁電流If 直流調速控制系統(tǒng)微分方程列寫 4 根據(jù)電機中的電磁變化規(guī)律與機械運動規(guī)律 電壓平衡方程 轉矩平衡方程 另有 電磁轉矩關系 反電勢關系 J為電樞轉動慣量 直流調速控制系統(tǒng)微分方程列寫 5 四個方程聯(lián)立 消去中間變量ed MD ia 則 上式取 電動機的電磁時間常數(shù) s 電動機的機電時間常數(shù) s 直流調速控制系統(tǒng)微分方程列寫 6 同時忽略La 很小 并且擾動輸入ML 0 則微分方程為 直流調速控制系統(tǒng)微分方程列寫 7 4 測速發(fā)電機輸出電壓正比于直流電機轉子角速度 有 直流調速控制系統(tǒng)微分方程列寫 8 得到該負反饋系統(tǒng)的微分方程組 直流調速控制系統(tǒng)微分方程列寫 9 消去中間變量e ua u 得到 2 1系統(tǒng)微分方程及其列寫 3 三 系統(tǒng)元件間的負載效應對于由兩個物理元件組成的系統(tǒng)而言 若其中一個元件的存在使另一個元件在相同輸入下的輸出受到影響 則有如對后者增加了負載 稱為負載效應 這類系統(tǒng)的微分方程必須考慮元件間的負載效應 2 1系統(tǒng)微分方程及其列寫 4 示例一 形式相同的RC電路串聯(lián)的濾波網(wǎng)絡 系統(tǒng)的輸入Ur t 輸出Uc t 微分方程為 2 1系統(tǒng)微分方程及其列寫 6 消去中間變量i1 i2令得到 2 1系統(tǒng)微分方程及其列寫 7 若忽略負載效應 孤立寫出兩個串聯(lián)環(huán)節(jié)的動力學方程前一環(huán)節(jié)后一環(huán)節(jié) 2 1系統(tǒng)微分方程及其列寫 8 消去中間變量 得到未考慮i2對C1的影響 顯然是錯誤的 2 1系統(tǒng)微分方程及其列寫 9 示例二 系統(tǒng)輸入f t 輸出y1 t 微分方程為 2 1系統(tǒng)微分方程及其列寫 10 消去中間變量y2 2 1系統(tǒng)微分方程及其列寫 11 若不計負載效應 顯然是錯誤的 四 變量形式選擇1 以實際值作為變量2 以坐標增量作為變量3 以無量綱坐標作為變量 2 1系統(tǒng)微分方程及其列寫 12 2 1系統(tǒng)微分方程及其列寫 13 五 非線性微分方程的線性化概念實際系統(tǒng)非線性元件的存在 嚴格按照這些關系建立的微分方程必然是非線性微分方程 在實際中常將非線性問題在允許的范圍內(nèi)轉化成線性問題 2 1系統(tǒng)微分方程及其列寫 14 方法 小偏差法 設輸入輸出特性為y f x 平衡位置坐標為 x0 y0 瞬態(tài)位置坐標為 x y 且x x0 x y y0 y 1 將y f x 在平衡工作點 x0 y0 附近按泰勒級數(shù)展開 2 1系統(tǒng)微分方程及其列寫 15 2 忽略 x的高次項3 以變量形式代替增量形式 2 1系統(tǒng)微分方程及其列寫 16 說明 1 適用于非本質非線性特性 即可在平衡點附近求導 2 輸入輸出在平衡點附近做小范圍變化的假設下進行線性化3 通常所列方程為增量方程 即應該